La fonction de production Cobb-Douglas s’écrit : F (z1, z2) = Az za b
1 2 où les paramètres A, a et b sont positifs. Pour étudier les rendements d’échelle associés à cette fonction, nous devons calculer F (δz1, δz2) où δ est un nombre plus grand que 1.
F (z1, z2) = A (δz1)a (δz2)b = A a b a bz z
1 2
δ + = Aδa+b F (z1, z2)
Par conséquent, les rendements d’échelle d’une fonction Cobb-Douglas dépendent de la valeur de
a + b :
• Si a + b =1 les rendements d’échelle sont constants. • Si a + b < 1 les rendements d’échelle sont décroissants. • Si a + b >1 les rendements d’échelle sont croissants.
Ces résultats montrent que la fonction Cobb-Douglas, tout en ayant une forme simple, et seulement trois paramètres dont deux significatifs (a et b), a une grande flexibilité et peut être utilisée comme fonction de production dans des technologies aux propriétés très variées. C’est ce qui explique sa large utilisation dans les modèles aussi bien microéconomiques que macroéconomiques.
Comme nous allons le voir dans le chapitre 8, les rendements d’échelle d’une industrie peuvent expliquer la structure concurrentielle du secteur. Ainsi, des rendements d’échelle croissants peuvent être à l’origine de fusions successives d’entreprises du secteur et donner naissance à une structure oligopolistique ou monopolistique.
Les points clés
¼ La technologie de production regroupe toutes les caractéristiques d’un processus de production qui sont pertinentes pour un microéconomiste. Elle établit une relation entre les quantités de facteurs de production et la quantité de bien produit. La fonction de production est propre à une tech-nologie donnée. Elle associe à toute combinaison de facteurs de production la quantité maximale de bien qui peut être produit avec ces facteurs. ¼ La productivité marginale (Pm) mesure l’accroissement de produit qui résulte
d’un faible accroissement de la quantité d’un facteur donné, les quantités des autres restant constantes. La productivité marginale est positive et, en général, diminue lorsque la quantité initiale de facteur augmente.
¼ La productivité moyenne (PM) est la quantité de bien produite par unité de facteur. La productivité moyenne est positive et décroît lorsqu’elle est en dessous de la productivité marginale.
¼ Les isoquantes permettent la représentation graphique des fonctions de production à deux facteurs. Leurs courbes sont décroissantes et généra-lement convexes.
¼ Le taux marginal de sustituabilité technique (TMST) permet de mesurer le degré de substituabilité entre les facteurs de production.
¼ Deux cas extrêmes de substituabilité sont à distinguer : le cas des facteurs parfaitement substituables et le cas des facteurs parfaitement complémen-taires.
¼ Les rendements d’échelle caractérisent la variation de la quantité produite à la suite d’une même augmentation de tous les facteurs de production.
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
ÉvALUAtIon
QCM
Corrigés p. 348
1
Un bien est produit à l’aide d’un seul facteur, le travail, dont la quantité est notée L. La fonc-tion de producfonc-tion du bien est F(L) = L2+ 2L. La productivité marginale du travail est :a. Croissante.
b. Décroissante.
c. Constante.
2
Un bien est produit à partir de deux facteurs : capital, dont la quantité est notée K et travail, dont la quantité est notée L. La fonction de pro-duction est F(K, L) = L K2 + .
1. La productivité marginale du travail est :
a. Croissante.
b. Décroissante.
c. Constante.
2. La productivité marginale du capital est :
a. Croissante.
b. Décroissante.
c. Constante.
3. Les rendements d’échelle sont :
a. Croissants.
b. Décroissants.
c. Constants.
d. Aucune des précédentes.
3
Un bien est produit à partir de deux facteurs qui sont le travail (L) et les matières premières (M). Deux technologies sont possibles pour la production du bien. La technologie A a comme fonction de production FA(L, M) = L + 3M et la technologie B a comme fonction de production FB(L, M) = 2L + 5M.1. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
a. La technologie A est plus efficace que B.
b. La technologie B est plus efficace que A.
c. Les deux ont la même efficacité.
2. Dans la technologie A, les deux facteurs sont :
a. Parfaitement substituables
b. Parfaitement complémentaires.
exercices
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4
Productivités moyennes, productivités margi-nales et isoquantesSoient les fonctions de production suivantes : (1) F (L) = L1/4
(2) F (K, L) = (2K + L)1/2
(1) F (K, L) = K1/3 L1/3
Pour chacune des fonctions :
1. Calculez les productivités moyennes et marginales du facteur L.
2. Représentez une isoquante correspondant à un niveau de produit y0 donné.
5
Rendements d’échelleOn considère une firme dont la fonction de production est F = L0,5 :
1. Définissez, calculez et étudiez la productivité mar-ginale du travail.
2. Définissez et déterminez la nature des rendements d’échelle.
6
Taux marginal de substitution techniqueSoit la fonction de production :
y = A(α L–ρ + (1 – α) K–ρ)–1/ρ
1. Quelle est la nature des rendements d’échelle ?
2. Déterminez les productivités marginales des fac-teurs de production.
3. Déterminez le taux marginal de substitution technique.
7
Technologie à trois facteurs complémentairesUne compagnie aérienne organise des vols Paris-Nice. Un vol nécessite 1 avion, 2 pilotes et 4 hôtesses (ou stewards).
1. Écrire la fonction de production associée à cette technologie à 3 facteurs.
2. En supposant que la société dispose de 5 avions, représentez l’isoquante associée à 5 vols.
3. En supposant que la société achète un nouvel avion, représentez la nouvelle isoquante.
4. Que devient le nombre de vols si la société mul-tiplie par 2 ses avions, ses pilotes et ses hôtesses (ou stewards) ? Que pouvez-vous en déduire concernant les rendements d’échelle de cette technologie ?
8
Technologie à trois facteurs substituablesUne entreprise utilise trois facteurs de production qui sont : le travail qualifié (noté L1), le travail non qua-lifié (L2) et le capital (K). Sa fonction de production est y = A La
1 Lb
2 Kc, a, b, c sont strictement positifs.
Calculez les élasticités des trois facteurs. Si a = 0,5 ; b = 0,3 et c = 0,2 que pouvez-vous en déduire ?
1. Calculez le taux marginal de substitution (TMS) du travail non qualifié au travail qualifié. Si a = 0,5 ;
b = 0,3 et c = 0,2 comment pouvez-vous interpréter ce TMS ?
2. Calculez le taux marginal de substitution (TMST) du capital au travail non qualifié. Si a = 0,5 ; b = 0,3 et
c = 0,2 comment pouvez-vous interpréter ce TMST ? Comparez ce TMS avec celui du capital au travail qualifié.
3. Si l’entreprise multiplie par 3 le nombre de travail-leurs qualifiés et non qualifiés en ne changeant pas le niveau du capital, que deviendra la quantité produite si a = 0,5 ; b = 0,4 et c = 0,3 ?
4. Si maintenant l’entreprise multiplie par 3 les trois facteurs de production, que deviendra la quantité produite si a = 0,5 ; b = 0,3 et c = 0,2 ? Et si a = 0,5 ;
b = 0,4 et c = 0,4 ? Que pouvez-vous dire des rende-ments dans ces deux cas ?
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
P o U r A L L e r P L U S L o I n
Variations de PM
iet Pm
iLes variations des productivités moyennes et marginales d’un facteur sont liées. Plus précisément, la productivité moyenne d’un facteur augmente lorsque sa productivité marginale est supérieure à sa productivité moyenne et diminue sinon :
PM z z z , ..., i n i 1
( )
∂ ∂ > 0 ⇔ Pmi(z1, …, zn) > PMi(z1, …, zn) PM z z z , ..., i n i 1( )
∂ ∂ ≤ 0 ⇔ Pmi(z1, …, zn) ≤ PMi(z1, …, zn)Ce résultat se démontre facilement en partant de la définition de la productivité moyenne. Pour alléger les notations, on note z = (z1, zi, …, zn).
PMi (z) = F z zi ( ) ⇒ PM z zii( ) 1zi2 F zz( )i z F zi ( ) z1i F zz( )i F zz( )i z1i