La fonction d’offre y(p) d’une entreprise en concurrence parfaite est donnée par l’égalité entre le coût marginal et le prix :
( )
( )
=( )
=( )
= y p C m y p p p p CM y 0 pour min sinon lt R y ltLa fonction d’offre, y(p), est croissante par rapport à p.
La figure 4.4 représente une courbe d’offre. Nous constatons qu’à un prix plus élevé est associée une quantité plus élevée de produit. Cette propriété se montre facilement à partir de l’équation de la fonction d’offre. Considérons la partie correspondant à une production positive : Cm(y(p)) = p. En dérivant par rapport à p les deux côtés de l’égalité précédente, nous obtenons : Cm’(y(p)) · y’(p) = 1 et donc y’(p) =
(
( ))
Cm y p’1 . D’après la condition de second ordre du problème de
maximisation du profit, Cm’(y(p)) > 0. Par conséquent, la dérivée de la fonction d’offre est positive, y’(p) > 0.
L’élasticité-prix de l’offre, définie dans la section 3.4. du chapitre 1, permet de mesurer plus précisément l’impact d’une augmentation du prix sur la quantité de bien produite. Considérons les cas de prix supérieurs au seuil de fermeture. Par définition, l’elasticité de l’offre est ( )
( ) ( ) ε p dy p dp y p p = y . En utilisant l’équation
qui définit la fonction d’offre, Cm(y(p)) = p, nous obtenons
( )
( ) ( ) = dy p dp Cm y p’1 .Nous en déduisons l’expression de l’élasticité de l’offre individuelle :
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
ε p Cm y p y p Cm y p = 'y . Cette élasticité est bien positive.
p PF Cm(y) CM(y) y y(p) CVM(y)
La courbe d’offre (en orange) fait correspondre à chaque prix (p) la quantité de bien y(p) que l’entreprise produira et mettra sur le marché. Si p < pF, l’entreprise ne produira pas.
▶ Figure 4.4 Courbe d’offre concurrentielle
Exemple 1
La fonction de coût total de l’entreprise Topclic, qui fabrique des souris pour ordina-teurs, est CT(y) = 0,2y2 + 40. Commençons par déterminer sa fonction d’offre y(p). Pour des prix supérieurs au seuil de fermeture, p > pF, la fonction d’offre vérifie l’égalité entre le prix et le coût marginal. Le coût marginal de l’entreprise Topclic est Cm(y) = CT’(y) = 0,4y. Il en suit que la fonction d’offre vérifie p = 0,4y(p) et donc y(p) = 2,5p. Il nous faut maintenant déterminer le seuil de fermeture, pF. Pour cela, nous devons trouver le minimum du coût variable moyen. Ce dernier est égal à CVM(y) = 0,2y. Son minimum est obtenu pour y = 0. Ainsi, pF = 0. À court terme, l’entreprise Topclic a tou-jours intérêt à produire. La fonction d’offre est donnée par : y(p) = 2,5p pour tout p > 0. Pour terminer, nous devons chercher le seuil de rentabilité pR. Ce dernier est obtenu en trouvant le minimum du coût moyen, CM(y) = 0,2y + 40/y. Le coût moyen est mi-nimum au point qui annule sa dérivée première, CV’(y) = 0. La quantité qui annule cette dérivée est y = 10 2 et donc p = CM 10 2 = 2 2 4
2
R
( )
+ = p 2 2 42 + . Par conséquent, Topclic fait des profits positifs si p 2 2 4
2 + .
Jusqu’à présent, nous avons analysé les décisions des entreprises en raisonnant en deux étapes :
■ Dans une première étape, nous avons déterminé la façon la plus efficace de produire une quantité donnée de produit (en résolvant un programme de minimisation des coûts).
■ Dans une seconde étape, nous avons déterminé la quantité optimale de production en fonction du prix du marché.
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
Cette analyse du problème du producteur, appelée programme dual, permet de mieux comprendre les déterminants de la demande de facteurs de production en les dissociant des décisions de quantité produite. Il est cependant possible de résoudre le problème du producteur en une seule étape, en choisissant simul-tanément les quantités de facteurs et la quantité de bien produite.
3. 3 Le surplus du producteur
Les bénéfices que retire une entreprise de sa production sont habituellement mesurés par son profit. Le profit est, comme nous l’avons vu, la différence entre la recette totale de l’entreprise et son coût total, π(y) = py – CT(y). Il est aussi égal à la quantité produite multipliée par la différence entre le prix et le coût moyen de production d’une unité, y · (p – CM(y)). Ce que rapporte à l’entreprise une unité supplémentaire est un montant constant, égal à p, mais ce que coûte une unité supplémentaire n’est en général pas constant (ce coût supplémentaire est égal au coût marginal). L’écart entre le prix du bien et le coût marginal permet de mesure les bénéfices de la production. Cette mesure est le surplus du producteur.
Définition 6
Le surplus du producteur, pour un prix p et un niveau de production y, est la somme, pour toutes les unités produites entre 0 et y, des différences entre le prix du bien et le coût marginal de production de cette unité.
Formulation mathématique : Soit p, le prix d’un bien, y la quantité de ce bien produite par une entreprise et Cm(y), sa fonction de coût marginal, supposée continue. Le surplus, noté SP, est donné par :
∫
∫(
−)
−( )
( ) ( ) S p y, = y p Cm x dx py = yCm x dx 0 0 PGraphiquement, le surplus du producteur est égal à la surface entre la courbe de coût marginal et la droite correspondant au prix du bien ( figure 4.5).
PoUr ALLer PLUS LoIn
p Cm(y) CM(y) A B C D y y0 SP(p,y0 )
Le surplus du producteur est la somme des différences entre le prix de vente et le prix maximal pour toute quantité, le coût marginal. Il est représenté par la surface en orangé. Le profit est égal à la différence entre les recettes et les coûts et est représenté par la surface du rectangle ABCD.
▶ Figure 4.5 Surplus du producteur
Nous pouvons remarquer que le coût marginal étant égal à la dérivée du coût variable, sa primitive est le coût variable. Nous pouvons ainsi relier le surplus et le profit d’une entreprise : SP(p, y) = py – CV(y) et donc π(y) = SP(p, y) – CF. Enfin, notons qu’à long terme, tous les facteurs étant variables, le surplus est exactement égal au profit, π(y) = SP(p, y).