▲ Figure 7.3 Prime de risque et équivalent certain pour un individu ayant du goût pour le risque
Lorsque la fonction d’utilité est convexe, la droite d’équation au(1 200)+(1-a)u(1 400) est au-dessus de la courbe de la fonction d’utilité, l’équivalent certain est supérieur à l’espérance de gain et la prime de risque est négative.
La prime de risque permet de comparer l’attitude vis-à-vis du risque de deux décideurs à partir de leurs fonctions d’utilité. Nous pouvons obtenir une valeur approchée de la prime de risque qui précisera cette comparaison.
F o C U S
Approximation de la prime de prime de risque
Soit un décideur ayant une richesse initiale w qui fait face à un risque caractérisé par une variable ε telle que E(ε) = 0 et Var(ε) = σ2.
La prime de risque Π telle que Eu(w + ε) = u(w – Π) peut s’écrire, par approximation : σ ) ) ( ( Π − ε u w u w ≈ 22 ''' Pour la preuve,voir Eeckhoudt, Gollier, Schlesinger (2005).
L’approximation de la prime de risque permet d’identifier deux parties bien distinctes :
■ une partie « objective », qui dépend des caractéristiques objectives du risque ε :
2
2
σε ;
■ une partie « subjective » qui dépend des préférences du décideur, représentée par la fonction u, ( )
( ) − u w
u w''' .
La partie subjective de la prime de risque indique le niveau d’aversion pour le risque du décideur. Plus l’individu présentera de l’aversion pour le risque (utilité
Définition 6
L’indice absolu d’aversion pour le risque d’un décideur dont les préférences sont représentées par le modèle d’espérance d’utilité et dont la fonction d’utilité est u est, pour un niveau de richesse w :
A wu( ) = −u wu w'''( )
( )
L’indice absolu d’aversion pour le risque est une mesure locale de l’aversion pour le risque car il intervient dans la mesure de la prime de risque au voisinage d’une richesse w. Il permet un classement (partiel) des individus en fonction de l’impact du revenu sur l’attitude vis-à-vis du risque.
Définition 7
Soit un individu dont les préférences dans le risque sont représentées par le modèle d’espérance d’utilité et dont la fonction d’utilité est u. Nous dirons que la fonction d’utilité u est :
■ à indice absolu d’aversion pour le risque décroissant (DARA, Decreasing Absolute Risk Aversion) si dA w
dwu( ) < 0 pour tout w.
■ à indice absolu d’aversion pour le risque constant (CARA, Constant Absolute Risk Aversion) si dA w
dwu( ) = 0 pour tout w.
■ à indice absolu d’aversion pour le risque croissant (IARA, Increasing Absolute Risk Aversion) si dA w
dwu( ) > 0 pour tout w.
Les études empiriques effectuées sur des choix de portefeuilles d’actifs financiers penchent en faveur des fonctions d’utilité DARA : les individus les plus fortunés semblent être ceux qui investissent le plus dans des actifs financiers à risque. Les études sur les choix d’assurance sont plus nuancées.
La comparaison de l’aversion au risque de deux décideurs se fait naturellement en comparant leurs primes de risque.
Définition 8
Un décideur est plus adversaire du risque qu’un autre si le montant maximal que ce décideur est prêt à payer pour se débarrasser d’un risque est toujours plus élevé que celui de l’autre.
Formulation mathématique : Soient deux décideurs dont les fonctions d’utilité sont u1 et u2 telles que u’i > 0, u’’i < 0, i = 1, 2. Le décideur 1 est plus adversaire du risque que 2 si, pour tout X, Π1XΠX2.
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
La difficulté dans la comparaison de l’aversion pour le risque vient du fait qu’il est difficile de calculer les primes de risques pour toute décision et de les comparer. Le résultat suivant permet d’utiliser l’indice absolu d’aversion pour le risque.
F o C U S
Comparaison des comportements dans le risque
1Soient deux décideurs dont les fonctions d’utilité sont u1 et u2 telles que u’i > 0, u’’i 0, i = 1, 2. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
i. Le décideur 1 est plus adversaire du risque que 2 (au sens de la définition 8).
ii. Pour tout niveau de richesse w, Au1(w) ≥ Au2(w).
iii. Il existe une fonction ϕ : ℝ → ℝ, croissante et concave, telle que u1 = ϕ (u2).
Il est possible, en plus de l’indice absolu d’aversion pour le risque, de définir un indice relatif d’aversion pour le risque. Cet indice relatif est obtenu en suivant une démarche similaire à celle pour l’indice absolu.
Définition 9
L’indice relatif d’aversion pour le risque d’un décideur dont les préférences sont représentées par le modèle d’espérance d’utilité et dont la fonction d’utilité est u est, pour un niveau de richesse w :
Ru( )w = w u wu w'''( )
( ) −
Les fonctions d’utilité dont l’indice relatif d’aversion pour le risque est constant sont appelées CRRA (Constant Relative Risk Aversion).
Nous constatons directement que Ru(w) = wAu(w). L’indice relatif d’aversion pour le risque est surtout utile dans l’analyse des décisions individuelles d’épargne et de choix de portefeuille d’actifs financiers.
1. 3 Quelques fonctions d’utilité usuelles
Nous allons présenter les fonctions d’utilité les plus utilisées dans les études aussi bien théoriques qu’empiriques des décisions en présence de risque.
1.3.1 La fonction d’utilité quadratique
u(w) = w – aw2, a > 0, w <
a
1 2
■ u’’(w) = – 2a < 0 : cette fonction correspond à de l’aversion pour le risque ; ■ −
)
(
A wu = 21 2aaw ; ■ u est une fonction IARA.Cette fonction d’utilité doit son succès au fait qu’elle est équivalente au critère Espérance-Variance, très utilisé en finance pour l’évaluation des portefeuilles d’actifs financiers. Avec ce critère, un actif financier est évalué uniquement à partir de son rendement espéré et de la variance de son rendement (supposée être une mesure du risque).
Soit un actif X,
{
Var (X)+ E(X) 2}
Eu (X) = E (X– aX2) = E (X) – aE(X2) = E(X) – a
1.3.2 La fonction d’utilité exponentielle
u(w) = – e –aw, a > 0
■ u’’(w) = – a2 e –aw < 0 : cette fonction correspond à de l’aversion vis-à-vis du risque ;
■ Au(w) = a ;
■ u est une fonction CARA.
1.3.3 La fonction d’utilité logarithmique
u(w) = lnw, w > 0
■ u w''
( )
= 1w2 < 0: cette fonction correspond à de l’aversion vis-à-vis du risque ; ■ A wu( )
= 1w ;■ u est une fonction DARA.
1.3.4 La fonction puissance
−
)
(
−u w = 1w1aa , a > 0, a ≠ 1
■ un(w) = – aw –a–1 < 0: cette fonction correspond à de l’aversion vis-à-vis du risque ; ■ A wu
( )
= wa ;unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.