• La demande d’assurance d’un individu diminue avec son revenu si sa fonction d’utilité est DARA ( définition 7).
• La demande d’assurance d’un individu ne dépend pas de son revenu si sa fonction d’utilité est CARA.
• La demande d’assurance d’un individu augmente avec son revenu si sa fonction d’utilité est IARA.
Preuve
La condition de premier ordre qui caractérise I* peut s’écrire f(I*, w) = 0. En calculant la différentielle totale de f, nous pouvons écrire :
− ∂ ∂ ∂ ∂ = dI dw f w f I = I I * * , ∂ ∂f < I 0 à cause de la concavité de u. Par conséquent, dI dw * est du signe de ∂ ∂ = f wI I* . γ γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∂ ∂ = − + − f wI I* = 1p u w'' 1 p u w'' 1
À partir de la condition de premier ordre qui caractérise I*, nous pouvons écrire p
(
−γ) (
−p u w)(
γ)
( ) u w1 = 1 ' ' . En remplaçant dans (1) et en mettant (1 – p)γu’(w) en facteur nous obtenons :
γ
) )
(
( ) ( )(
∂ ∂ = − ⎣ − ⎦ f wI I* = 1 p u w A w A w' u u ⎣ ⎦• si u est DARA alors ∂
( )
γ ( ) ( )( )
∂ = − ⎣ − ⎦
f
wI I* = 1 p u w A w A w' u u
⎣ ⎦
< 0 car dans ce cas w > w implique Au(w) < Au(w).
• si u est CARA alors ∂
( )
γ ( ) ( )( )
∂ = − ⎣ − ⎦
f
wI I* = 1 p u w A w A w' u u
⎣ ⎦
= 0 car dans ce cas, Au(w) = Au(w).
• si u est IARA ∂
( )
γ ( ) ( )( )
∂ = − ⎣ − ⎦
f
wI I* = 1 p u w A w A w' u u
⎣ ⎦
> 0 car dans ce cas, w > w implique Au(w) > Au(w).
Exemple 4
Revenons maintenant aux choix de Lando. Pour déterminer son choix, nous devons d’abord comparer la prime d’assurance qui lui est demandée avec la prime actua-rielle. Étant donné la probabilité estimée de vol, la prime actuarielle π0 pour un contrat remboursant complètement le vélo en cas de vol est π0 = 201 ×600 30= euros. Or le contrat proposé à Lando coûte 40 euros. Par conséquent, la prime est chargée et s’il a le choix entre tous les niveaux de remboursement possibles de son vélo, il n’achètera pas ce contrat et choisira une assurance partielle ( Focus).
Cependant, si aucun autre contrat ne lui est proposé, et donc si son choix est uni-quement entre acheter ce contrat ou ne pas s’assurer du tout, s’il est suffisamment adversaire du risque, il est possible qu’il achète le contrat.
Supposons que sa fonction d’utilité est u(x) = x0,5. Si son revenu annuel (bourse d’études plus aide de ses parents) est de 6 000 euros, il va souscrire l’assurance si sa satisfaction avec l’assurance est supérieure ou égale à celle sans assurance, c’est-à-dire si la condition suivante est vérifiée :
− ≥ − +
6000 40 120 6000 600 1920 6000.
Cette condition n’étant pas vérifiée, Lando ne prendra pas d’assurance car la prime demandée est trop élevée.
3 Les choix de portefeuille
Exemple 5
Anakin a obtenu une mention Très Bien au Baccalauréat. En récompense, la banque Idej lui propose d’ouvrir un compte épargne en lui offrant 200 euros. Il a le choix entre deux types de titres financiers : des obligations dont les rendements sont de 2,50 % par an et des actions dont les rendements sont aléatoires et varient entre 1,50 % et 3,50 %. Anakin doit décider de la répartition de ses 200 euros entre les deux types de titres. Il constitue alors un portefeuille de titres. Plusieurs portefeuilles peuvent être construits. Il peut tout investir dans les obligations ou investir 100 euros dans les obligations et 100 euros dans les actions ou encore investir 50 euros dans les obligations et le reste dans les actions. Quel sera son choix ? La réponse dépend notamment de son attitude vis-à-vis du risque. S’il est très adversaire du risque, il peut choisir de tout investir dans le titre sûr (les obligations) et, s’il l’est moins, il peut investir un peu dans les titres risqués (les actions).
L’analyse des choix de portefeuille permet d’étudier comment un individu va allouer sa richesse entre différents actifs. Dans ce manuel, nous n’étudierons que des choix simples sur une période.
Nous supposons qu’il n’existe que deux types de titres financiers, un actif dit risqué et un actif dit sûr. Le rendement de l’actif sûr, i, est connu en début de période. Le rendement de l’actif risqué est incertain au moment du choix de
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
l’individu et est représenté par une variable aléatoire, R, dont la distribution de probabilité est connue.
Anakin reçoit une somme d’argent de la part de sa famille qui vient s’ajouter aux 200 euros de la banque Idej. La richesse totale qu’il peut investir est maintenant w0. Il doit décider de sa répartition entre les deux actifs.
S’il investit un montant a dans l’actif risqué en début de période, il recevra en fin de période ce montant initial et les intérêts aléatoires : a(1 + R).
S’il investit un montant m dans l’actif sûr en début de période, il recevra en fin de période ce montant initial et les intérêts certains : m(1 + i).
Pour une répartition, w0 = a + m, la richesse finale de Anakin sera alors : Wf = a(1 + R) + m(1 + i)
Anakin peut décider de ne pas subir de risque en choisissant a = 0 ou investir dans l’actif risqué en choisissant a > 01.
Le choix optimal sera celui qui lui permet d’atteindre la plus grande satisfac-tion. Les préférences dans le risque d’Anakin sont représentées par le modèle d’espérance d’utilité avec u, supposée croissante et concave. Le programme de maximisation s’écrit :
( )
Eu W maxa m, fsous les contraintes Wf = a(1 + R) + m(1 + i)
w0 = a + m
Nous pouvons exprimer la richesse finale comme une fonction du montant investi dans l’actif risqué en utilisant les contraintes :
Wf = a(1 + R) + (w0 – a)(1 + i) = a(R – i) + w0 (1+ i) Le programme d’Anakin s’écrit maintenant :
( − + + )
Eu a R i w i
maxa ( ) 0(1 )
La condition d’optimalité du premier ordre est :
[ ]
= − × − + + =
dEu W
da( )f E R i u a R i w( ) '( ( ) 0(1 )) 0i
La condition du second ordre est :
= − × − + + < d Eu W da E R i u a R i w i ( )f ( ) ''( ( ) (1 )) 0 2 2 2 0
Commençons par étudier sous quelles conditions, Anakin investira dans l’actif risqué. La condition sous laquelle a* > 0 ( figure 7.4) est :
[ ]
> ⇔ − × − + + > = = dEu W da E R i u a R i w i ( )f 0 ( ) '( ( ) (1 )) 0 a 0 0 a 0[ ]
⇔E R i( − ×) u w'( (1 )) 00 +i >Comme u'(w0(1 + i)) ne dépend pas de la variable aléatoire R, cette expression stricte-ment positive peut « sortir » de l’espérance et la condition requise s’écrit simplestricte-ment :
E(R – i) > 0 ou E(R ) > i
Par conséquent, Anakin investira un montant strictement positif dans l’actif risqué si et seulement si le rendement espéré de l’actif risqué E(R) est supérieur à celui de l’actif sans risque i. En effet, si ce n’était pas le cas, l’actif risqué présenterait un double inconvénient : il est risqué (et Anakin est adversaire du risque) et son rendement moyen est inférieur à celui de l’actif certain.
Nous supposerons que la condition E(R) > i est bien vérifiée tout au long de ce chapitre.
a Eu
0 a*
La condition sous laquelle a* > 0 est que la pente de la courbe d’utilité espérée soit positive en
a = 0. Cette condition est simplement E(R) > i.