Plan
1 Minimisation des coûts de production . . . 50
2 Les fonctions de coût . . . 58
Prérequis
¼ Représenter les isoquantes associées à une fonction de production à deux facteurs.
¼ Dériver une fonction à une et à deux variables.
¼ Trouver le minimum d’une fonction à deux variables .
Objectifs
¼ Comprendre ce que sont les demandes de facteurs et apprendre à les déduire d’une fonction de production.
¼ Évaluer l’impact d’une augmentation des prix des facteurs sur leur demande.
¼ Définir le coût total et ses composantes, le coût fixe et le coût variable et comprendre leur signification.
¼ Définir le coût marginal et le coût moyen, comprendre leur signification et leurs propriétés.
D
ans ce chapitre, nous déterminerons d’abord la demande de facteurs d’une entreprise en fonction des prix de ces derniers et de sa technologie. Nous en déduirons une fonction de coût dont nous étudierons ensuite les propriétés.1 Minimisation des coûts
de production
Les technologies de production de la plupart des biens permettent de produire une même quantité de bien de plusieurs façons. Par exemple, nous avons vu dans le chapitre 2 que l’enregistrement des passagers dans un aéroport peut être fait soit par des agents, soit par des machines d’enregistrement automatique. De même, les centres d’appels peuvent utiliser des opérateurs localisés, soit en France, soit à l’étranger.
Quelle est la combinaison de facteurs de production qu’une entreprise va choisir ? Si son objectif est de maximiser son profit1 et si elle n’est soumise à aucune contrainte sur la quantité des différents inputs2, la quantité utilisée de chaque facteur va dépendre de son prix et de la substituabilité entre facteurs. Intuitivement, un facteur sera d’autant plus utilisé qu’il est peu coûteux et facilement substituable aux autres facteurs (éventuellement plus coûteux). La substituabilité entre facteurs va dépendre de la technologie utilisée et pourra être mesurée par le taux marginal de substi-tution technique (TMST) entre facteurs que nous avons défini dans le chapitre 2. Avant de faire des hypothèses sur la formation des prix des facteurs de production, considérons la façon dont une entreprise se procure ces facteurs. S’il s’agit d’un produit uniformisé, son prix est fixé par le marché. L’entreprise passe commande auprès de n’importe quel fournisseur de ce produit et obtient une livraison rapi-dement. En revanche, s’il s’agit d’un produit sur mesure, comme une presse pour des pièces mécaniques ou une chaîne de montage, l’entreprise peut s’adresser à plusieurs fournisseurs, leur soumettre un cahier des charges et obtenir des devis. Le produit ne pourra être réalisé, et livré, qu’après un certain laps de temps et le prix sera souvent le résultat d’une négociation entre le fournisseur et l’entreprise. Nous allons, dans ce qui suit, considérer le cas le plus simple, et le plus fréquent. Chaque entreprise considère les prix des facteurs de production qu’elle achète comme donnés. Elle ne peut pas les modifier et peut acheter des quantités illi-mitées de facteurs à ces prix.
1 Cet objectif sera présenté plus en détail et discuté dans le chapitre 4.
2 La quantité disponible de certains inputs peut être limitée (ressources naturelles, qualifications pointues et très recherchées). Des contraintes règlementaires peuvent imposer un seuil maximal pour l’utilisation de certains produits (par exemple, produits polluants ou potentiellement dangereux pour la santé dans l’industrie agro-alimentaire).
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Toute r
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oduction non autorisée est un délit.
1. 1 Demande de facteurs
La société Vikea veut créer son propre centre d’appels pour traiter les demandes de renseignements et de réclamations de ses clients. Les gérants de la société estiment à 150 le nombre d’appels qui doivent être traités par heure. Les appels peuvent être traités par des répondeurs automatiques (robots) ou des opérateurs. La relation entre nombre d’opérateurs (facteur travail noté L), nombre de robots (facteur capital noté K) et nombre d’appels traités par heure (y) est donnée par la fonction de production suivante : y = 10L0,6 K0,4.
Si le salaire horaire d’un opérateur est de 20 euros et si l’équivalent horaire du coût d’un robot est de 10 euros, combien d’opérateurs et de robots la société doit-elle utiliser pour traiter ses 150 appels au moindre coût ? L’entreprise doit déterminer quelle est, parmi toutes les combinaisons possibles d’opérateurs et de robots qui permettent de traiter 150 appels, celle qui lui coûtera le moins cher. Notons cette combinaison (L*, K*) et donnons la formulation mathématique du problème que doit résoudre l’entreprise.
(L*, K*) sont les solutions du problème de minimisation sous contrainte suivant : +
L K
Min20 10L K, sous la contrainte 10L0,6K0,4 = 150.
1.1.1 Droites d’isocoût
Nous allons d’abord proposer une résolution graphique de ce problème. Toutes les combinaisons de facteurs possibles (L, K) peuvent être représentées dans un repère orthonormé avec en abscisse, la quantité de facteur L et en ordonnée, la quantité de facteur K.
Intéressons-nous d’abord au coût total des facteurs. Considérons par exemple toutes les combinaisons de travail et de capital qui entraînent un coût total de 550 euros. Elles vérifient 20L + 10K = 550 et se situent donc le long d’une droite, notée D1, d’équation K = −1020L+ 55010. Les combinaisons de facteurs qui donnent un coût total de 450 euros se situent sur une autre droite, D2, d’équation K = − 1020L+45010 . Cette droite D2 est parallèle à la précédente car de même pente (égale à − 20
10 = – 2) et se trouve plus près de l’origine, car son ordonnée à l’origine ( 450
10 = 45) est plus petite. Ces droites, appelées droites d’isocoût, sont représentées sur la figure 3.1.
Facteur Capital (K) Facteur Travail (L) 55 45 22,5 27,5 D1 D2
La droite D1 d’équation K = – 2L + 55 passe par les points (0, 55) et (27,5, 0) et la droite D2 d’équation K = – 2L + 45 passe par les points (0, 45) et (22,5, 0). D2 regroupe des combinaisons de facteurs dont le coût total est plus faible que celles situées sur D1.
Définition 1
Une droite d’isocoût de niveau C associée à une technologie à deux facteurs de production, dont les prix sont donnés, est l’ensemble de toutes les com-binaisons de facteurs qui conduisent au même coût C.
Formulation mathématique : Notons z1 et z2, les quantités de deux fac-teurs de production et p1 et p2, leurs prix respectifs. Les combinaisons de facteurs qui conduisent au coût C, étant donné les prix p1 et p2, véri-fient p1 z1 + p2 z2 = C. Dans le plan (z1, z2), l’équationde la droite d’isocoût associée est : z2 = − p +
p12z1 pC2 .
Les propriétés générales des droites d’isocoût sont les suivantes : ■ Les droites d’isocoût sont décroissantes car leur pente est négative.
■ Les droites d’isocoût sont parallèles entre elles et leur pente est égale au rapport des prix des facteurs.
■ Le coût associé à une droite d’isocoût est d’autant plus faible que cette droite est proche de l’origine.
1.1.2 Minimisation du coût de production
Revenons aux choix de l’entreprise Vikea. Elle doit déterminer, parmi toutes les combinaisons d’opérateurs et de robots qui permettent le traitement de 150 appels par heure, celle qui correspond au coût total le plus faible. L’ensemble des combi-naisons de facteurs qui permettent de traiter 150 appels correspond ( chapitre 2) à l’isoquante de niveau 150 dont l’équation est 10L0,6 K0,4= 150 et notée I150.
▶ Figure 3.1 Droites d’isocoût
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oduction non autorisée est un délit.
Nous devons chercher la droite d’isocoût la plus proche de l’origine qui ait un point commun avec l’isoquante I150. Cette droite doit être tangente à l’iso-quante ( figure 3.2). Ainsi, la combinaison de facteurs qui minimise le coût total, notée A = (L*, K*), est le point de tangence entre la droite d’isocoût et l’isoquante I150. K* L* I150 B A C Facteur Capital (K) Facteur Travail (L)
Au point A, la pente de la droite d’isocoût (ici égale à 2 en valeur absolue) doit donc être égale à la pente de l’isoquante I150 (ici K
L
0,6 0,4 ).
La combinaison A = (L*, K*) optimale vérifie donc deux conditions : i. L’égalité entre les pentes de l’isoquante I150 et d’une droite d’isocoût : 0, 6
0, 4 KL = 2010 * * ii. A appartient à l’isoquante I150 : 10 (L*) 0,6 (K*)0,4 = 150.
Interprétons la condition (i). Le terme de gauche est égal au taux marginal de substitution technique du capital au travail ( chapitre 2). Il donne le nombre d’unités de capital nécessaires pour remplacer une unité de travail. Le terme de droite est égal au rapport des prix du travail et du capital. Il donne le nombre d’unités de capital que l’entreprise peut acheter en plus si elle diminue d’une unité le travail. Il s’agit d’un taux de substitution « économique » du capital au travail.
Pourquoi des quantités de facteurs qui ne vérifient pas la condition (i) ne peuvent pas être optimales ?
Considérons le point C sur la figure 3.2. Il est sur I150 , ses quantités de facteurs permettent de traiter 150 appels. Mais, la droite d’isocoût qui passe par C est plus éloignée de l’origine que celle qui passe par A. C ne minimise pas le coût de production. Plus précisément, TMST (C) < 2. L’entreprise a intérêt à
◀ Figure 3.2 Minimisation du coût de production
en diminuant de 1 unité le travail dans C l’entreprise peut acheter 2 unités de capital. Or, elle a besoin de moins de 2 unités de capital pour compenser la perte en travail. Ainsi, elle pourra donc réaliser des économies. Un raisonne-ment inverse s’applique au point B.
Le résultat ci-dessus se généralise à toute technologie à deux facteurs (hors les cas de substituabilité parfaite ou complémentarité parfaite des facteurs).