Directeur de l’actuariat assurance de personnes, AXA France
Comment se répartit le chiffre d’affaires d’AXA par branche d’assurance et quelle est la part approximative des assurances obligatoires (MRH, automobile au tiers) dans ce chiffre d’affaires ?
Le chiffre d’affaires n’est pas le meilleur indicateur de la répartition de l’activité puisqu’il favorise artificiellement l’activité vie.
Pour l’année 2012, le chiffre d’affaires IArD était de 6.8 Md€, en vie individuelle, de 8 Md€ et en Assurance collective de 6.4 Md€. L’essentiel de notre chiffre d’affaires n’est pas dans l’assurance obligatoire. en effet, seuls 5 % du chiffres d’affaires MrH (Multi-risques Habitation) et 30 % du chiffre d’affaires Auto sont obligatoires. en revanche, les incitations fiscales sont efficaces pour favoriser certaines branches en vie ou en collectives. en France, le législateur ne favorise en général pas l’assurance obligatoire comme l’atteste le récent débat sur l’obligation de l’assurance dépendance qui est pour l’instant exclu par les différents gouvernements.
Peut-on considérer que les individus s’assurent plus aujourd’hui qu’il y a une dizaine d’années ? Si c’est le cas, qu’est ce qui expliquerait l’augmentation de l’intérêt pour l’assurance ? L’apparition de nouveaux risques ? Un besoin de sécurité accru ? Une meilleure communication de la part des sociétés d’assurance sur leurs produits ?
Il est très difficile de répondre à cette question. Mais si on prend le rapport entre le chiffre d’affaire direct (net des cessions) et le PIB alors le taux passe de 2,1 % en 2006 à 2,5 % en 2013 alors on peut conclure qu’il y a une augmentation relative de la demande d’assurance. en pratique, cette « augmentation » est le résultat de plusieurs facteurs : les assureurs ont pris conscience de l’ampleur de risques qu’ils portaient dans leur bilan comme les catastrophes naturelles ou l’allongement de l’espérance de vie et ont augmenté leurs prix pour le même niveau de couverture. Il y a des risques nouveaux que les assureurs ont contribué à faire connaitre auprès du grand public et donc à améliorer la couverture : le risque de perte d’autonomie ; les garanties contre les accidents de la vie et plus récemment les risques numériques.
Les compagnies d’assurance proposent régulièrement de nouveaux produits d’assurance-vie. En quoi le vieillissement de la population et la nouvelle problématique de la dépendance influencent cette offre de nouveaux produits ?
Les compagnies d’assurance ont effectivement pris une place importante pour la couverture du risque dépendance. Ils ne cessent d’innover pour convaincre plus de personnes à souscrire une couverture contre ce risque. L’année dernière, la FFSA a lancé un nouveau label (GAD) qui garantit un socle commun de caractéristiques et de couverture pour améliorer la qualité de l’information aux clients sur ce risque de long terme. Le vieillissement de la population ouvre en outre des perspectives intéressantes en matière de retraite pour les assureurs surtout compte tenu de l’état des comptes nationaux. Le principal défi pour les actuaires consiste à gérer ces produits dans un
Les points clés
¼ Une relation de préférences, dans un ensemble de décisions dans le risque qui vérifie les axiomes de la théorie classique du consommateur, plus un axiome d’indépendance, peut être représentée par une espérance mathéma-tique des conséquences des décisions évaluées avec une fonction d’utilité. ¼ La fonction d’utilité qui transforme les conséquences des décisions dans le
modèle d’espérance d’utilité caractérise l’attitude des décideurs vis-à-vis du risque. Une fonction d’utilité concave correspond à de l’aversion pour le risque, une fonction linéaire, à de la neutralité vis-à-vis du risque, et une fonction convexe, à du goût pour le risque.
¼ L’indice absolu d’aversion pour le risque permet de comparer l’attitude vis-à-vis du risque de deux décideurs et aussi de déterminer l’impact d’un accroissement du revenu sur l’aversion au risque d’un individu.
¼ Un individu qui a de l’aversion pour le risque choisit toujours un contrat d’assurance partielle si la prime d’assurance est chargée. Un individu qui a de l’aversion pour le risque choisit toujours d’investir une part de son patrimoine dans un actif dont le rendement est risqué si le rendement espéré de cet actif est strictement supérieur à celui de l’actif sans risque.
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
ÉvALUAtIon
QCM
Corrigés p. 348
1.
L’équivalent-certain est le montant qui : a. apporterait au décideur le même bien-être que sarichesse aléatoire.
b. permettrait au décideur de vendre sa loterie risquée. c. apporterait au décideur un bien-être minimal en
situation risquée.
d. inciterait le décideur à prendre un risque.
2.
Lorsque la prime de risque est positive : a. la différence entre l’équivalent certain et l’espérancede gains est positive.
b. le décideur est adversaire du risque. c. le décideur est joueur.
d. le décideur investit sur les marchés financiers.
3.
Un individu adversaire du risque a une fonc-tion d’utilité :a. convexe. b. concave. c. linéaire.
d. on ne sait pas a priori.
4.
Une fonction d’utilité exponentielle corres-pond à une :a. aversion absolue pour le risque constante. b. aversion absolue pour le risque décroissante. c. aversion relative pour le risque constante. d. aversion relative pour le risque décroissante.
5.
Un adversaire du risque s’assure à 100 % : a. si la prime d’assurance est égale à 20 % du montantde la perte.
b. si sa fonction d’utilité est quadratique.
c. si la prime d’assurance est égale à l’espérance de
la perte.
d. si la compagnie d’assurance se trouve près de chez
lui.
6.
Lucas (dont la fonction d’utilité est u) est plus adversaire du risque que George (dont la fonction d’utilité est v) si :a. Lucas a souscrit plus de contrats d’assurance que
George.
b. u(w) = 10v(w) c. u(w) = v w( )
d. aucune des précédentes.
exercices
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Équivalence entre deux loteriesBen dont les préférences sont représentées par u(w) = w2/2 est indifférent entre les loteries :
A = (2, 4 : 0.75, 0.25) et B = (1, 5 ; p, 1 – p).
■Déterminer p.
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Prix d’un billet de loterieHan dont la fonction d’utilité est la suivante
U(W) = W possède un billet de loterie lui donnant la
possibilité de gagner soit 96 euros avec la probabilité (1–a), soit 0 avec la probabilité a.
1. Si Han est disposé à vendre le billet pour un prix
minimum de 10,25 euros et que sa richesse est égale à 100 euros, quelle est la valeur de a ?
2. Pour cette valeur de a, quel sera le prix minimum
du billet, si la richesse de Han est maintenant égale à 100 000 euros ?
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Choix de deux individusLudo et Naga ont le même niveau de richesse initiale
W0 = 100, mais avec des fonctions d’utilité différentes, respectivement U(W) =lnW et V(W) = W . En plus
de W0, ils possèdent un billet de loterie chacun dont les gains et les probabilités associées sont indiqués dans le tableau ci-dessous :
Gains 1 10 100
Probabilités 1/3 1/3 1/3
■ Calculez et comparez les primes de risque respec-tives de Ludo et Naga pour cette loterie.
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Assurance contre le volUn médecin souhaite souscrire une assurance pour son cabinet situé au premier étage d’un immeuble en plein centre d’une ville moyenne. La valeur de ses biens est estimée à 200 000 €. Le cabinet est exposé à un risque de cambriolage.
Un cambriolage « simple » survient avec une probabilité
p2 égale à 30 % et se traduit par une perte de 50 % de la valeur des biens.
Un cambriolage « complet » survient avec une pro-babilité p3 égale à 20 % et ne laisse au médecin que 10 000 € de matériel, c’est-à-dire l’ordinateur et les dossiers qu’il emporte chez lui pour travailler. La fonction d’utilité du médecin est u(w) = avec a = 0,05 et b = 10 et où w est la richesse finale.
1. Calculez la probabilité p1 qu’il ne se passe rien. Calculez ensuite l’espérance de richesse du médecin, l’utilité de cette espérance, son utilité dans chaque état de la nature et son espérance d’utilité.
2. Quelle est la prime d’assurance maximale que le
médecin est prêt à payer pour s’assurer complètement ? La prime d’assurance est de la forme :
π(α) = α (1 + λ) E(L) où :
– L est le montant aléatoire de la perte ;
– λ est le facteur de chargement appliqué par la compagnie d’assurance ;
– α est la part de la perte remboursée par la compa-gnie d’assurance.
3. Si la prime est actuarielle (λ = 0), quel taux de couverture le médecin choisira-t-il ? Quel est le taux de chargement maximal que le médecin accepterait pour une couverture complète ?
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Choix de portefeuilleLa fonction d’utilité de la richesse de Dormé est définie par :
u w 1e w
β ( ) = − −β
Il existe deux titres. Un titre sûr dont le taux de renta-bilité, i, est 4 % et un titre risqué, A, dont la rentabilité
r est une variable aléatoire réelle qui vérifie :
Probabilités Rendements
0,5 8 %
0,5 2 %
La richesse initiale de Dormé est w0.
■Déterminez le montant investi dans l’actif risqué (a*) en fonction de β et de w0.
Supposons qu’un nouveau titre risqué, B, apparaisse sur le marché. Ses caractéristiques sont :
Probabilités Rendements
0,75 6 % 0,25 2 %
Si Dormé n’a plus la possibilité d’investir dans le titre
A, mais seulement dans le titre certain et le titre B, quel sera le montant investi dans le titre B (a**) ?
■Que pouvez-vous en conclure ?
Sujet d’examen
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Université Paris Ouest, 2013M. Dupont a des préférences dans le risque qui peuvent être modélisées par le modèle d’Espérance d’Utilité, sa fonction d’utilité est u(x) = lnx. Il doit prendre une assurance multirisques habitation. La probabilité de dégâts relevant de ce type de contrat est estimée à 0,01. On suppose, par souci de simplification, qu’un montant de dommage unique est possible, de 20 000 €. La fortune de M. Dupont s’élève à 50 000 €.
Une compagnie d’assurance X lui propose 2 contrats : – contrat A, qui offre le remboursement total de
son dommage en cas de sinistre et qui coûte 240 € ; – contrat B, qui rembourse 10 000 € en cas de sinistre
et coûte 120 €.
– On suppose que l’indemnité donnée est brute, ainsi, dans le cas du contrat B, la richesse en cas de sinistre est de 39 880 €.
1. Quel est le contrat que choisira M. Dupont ?
Comptetenu de la croissance très lente de la fonction lnx, vous devez, pour comparer les différents contrats conserver dans vos résultats au moins 4 chiffres après la virgule.