→∞B B lim
m m avec B = (9, 2). Sous l’axiome de continuité, nous ne devons pas observer un « renversement » des préférences lorsque m tend vers l’infini et nous devons avoir A ≽ B avec A = (10, 1) et B = (9, 2)1.
F o C U S
Existence d’une fonction d’utilité
Si les préférences d’un consommateur sont complètes, réflexives, transitives, monotones et continues, alors il existe une fonction d’utilité qui représente ses préférences. Cette fonction est continue et crois-sante par rapport à toutes ses variables.
Éléments de preuve
Nous allons construire une fonction d’utilité qui associe un nombre à chaque panier composé de deux biens et montrer que cette fonction représente bien les préférences.
Considérons un panier quelconque A. La monotonie et la continuité des préférences impliquent qu’il existe un panier unique Ac = (ac, ac) dans lequel il y a la même quantité ac de biens 1 et 2 et tel que
A ~ Ac. Si nous posons U(A) = ac nous pouvons montrer que U est bien une fonction représentant les préférences du consommateur.
Pour cela, nous devons montrer que pour tous paniers A et B, A ≽ B ⇔ U(A) ≥ U(B). Soient U(A) = ac et U(B) = bc.
i. Supposons ac ≥ bc. Par l’axiome de monotonie, (ac, ac) ≽ (bc, bc). Par construction, A ~ (ac, ac) et
B ~ (bc, bc). L’axiome de transitivité implique A ≽ B.
ii. Supposons A ≽ B. Par l’axiome de transitivité, ceci implique (ac, ac) ≽ (bc, bc) ce qui, par l’axiome de monotonie n’est possible que si U(A) = ac≥ bc = U(B).
Les fonctions d’utilité les plus couramment utilisées dans le cas de deux biens, dont les quantités sont notées (x1, x2), sont les suivantes, avec a, b, c, d, α, β > 0 : ■ U(x1, x2) = x1a x2b
■ U(x1, x2) = aln x1 + blnx2 ■ U(x1, x2) = (αx1a + βx2b )c
■ U(x1, x2) = min {ax1 + b, cx2 + d}
1 L’axiome de continuité n’est pas vérifié par certaines relations de préférences, comme les préférences dites « lexicographiques » (par référence à l’ordre des mots dans les dictionnaires). Un individu avec ces préférences compare deux paniers en fonction de la quantité de bien 1 (sans se préoccuper de la quantité de bien 2). En cas d’égalité, il regardera la quantité de bien 2. Nous pouvons montrer que
Les fonctions d’utilité permettent de retrouver les principales caractéristiques des préférences que nous avons introduites dans le chapitre 5 et de les étendre à des paniers avec plus de deux biens. Nous verrons des similitudes techniques entre les fonctions d’utilité et les fonctions de production ( chapitre 2).
1. 2 Utilité marginale
Le raisonnement économique est essentiellement basé sur les variations de la quantité de différentes variables plutôt que sur les quantités elles-mêmes. Il s’agit de raisonnements « à la marge » qui justifient l’appellation de « marginaliste » du courant à l’origine de la microéconomie moderne. Nous avons vu dans les cha-pitres 2 et 3 que les productivités marginales des facteurs de production jouent un rôle déterminant dans les choix de production des entreprises. De manière similaire, les utilités marginales jouent un rôle tout aussi important dans les choix de consommation.
Exemple 1
Ron aime lire et jouer aux jeux vidéo. Le tableau 6.2 donne les valeurs d’une fonction d’utilité représentant ses préférences en fonction du temps passé à lire (en heures) et du temps passé à jouer (en heures).
Jeu (en heures) Lecture (en heures) 0 1 2 3 4 5 0 0 40 56 70 80 90 1 10 50 66 80 90 99 2 14 54 71 83 94 103 3 17 57 74 87 97 107 4 20 60 76 89 100 110 5 22 62 79 92 102 112
▲ Tableau 6.2 Fonction d’utilité de la lecture et du jeu vidéo
Si Ron ne lit qu’une heure dans la journée, comment varie sa satisfaction en fonction du nombre d’heures passées à jouer ? Sa satisfaction passe de 10 à 50 s’il joue 1 heure au lieu de 0 (soit une augmentation de 40). De même, sa satisfaction passe de 50 à 66 s’il joue 2 heures au lieu de 1 heure. Le supplément d’utilité des jeux vidéo (lorsque la lecture est fixée à 1 heure) ou utilité marginale est donné dans le tableau 6.3.
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
Jeux vidéo J (en heures) Utilité U pour 1 heure de lecture Utilité marginale des jeux =∆U/∆ J 0 10 1 50 40 2 66 16 3 80 14 4 90 10 5 99 9
▲ Tableau 6.3 Utilité marginale des jeux vidéo
Nous pouvons de la même façon nous demander comment varie sa satisfaction en fonction du nombre d’heures de lecture par jour s’il ne peut jouer qu’une heure. Le tableau 6.4 présente le supplément d’utilité (ou utilité marginale) de la lecture lorsque la durée du jeu est de 1 heure.
Lecture L (en heures) Utilité U pour 1 heure de jeu Utilité marginale de la lecture=∆U/∆L
0 40 1 50 10 2 54 4 3 57 3 4 60 3 5 62 2
▲ Tableau 6.4 Utilité marginale de la lecture
Nous constatons que, pour Ron, l’utilité marginale du jeu est environ 4 fois plus grande que celle de la lecture. La définition générale de l’utilité marginale d’un bien est donnée ci-dessous.
Définition 2
L’utilité marginale d’un bien pour un consommateur désigne la satisfaction supplémentaire qui résulte de l’augmentation (minimale) de la quantité consommée de ce bien.
Formulation mathématique : Soit U(x1, …, xn), la fonction d’utilité d’un consom-mateur. Si quand la quantité du bien i passe de xi0 à xi1 (alors que la quantité des autres biens reste inchangée), l’utilité passe de Ui0 = U(x1, …, xi0, …, xn) à Ui1 = U (x1, …, xi1, …, xn), alors l’utilité marginale du bien i, notée Umi (x1, …, xi0, …, xn), est donnée par :
= ∆ ∆
( )
Um x x, ...,xn Uxi i 1 i i0 , ∆Ui = Ui1 – Ui0 , ∆xi = xi1 – xi0Umi n’est généralement pas constante ce qui justifie la présence de (x1, …, xi0, …, xn) dans son écriture.
Pour des biens dont la quantité est infiniment divisible (loisir mesuré en heures, boissons mesurées en litres, etc.), nous pouvons considérer des variations infinitésimales (très petites). ∆xiest alors proche de zéro et l’utilité marginale devient égale (si la fonction d’utilité est différentiable) à la dérivée partielle de la fonction d’utilité par rapport au bien i :
∂ ∂
) )
( (
Um xi 1, ..., , ...,xi xn = U x1, ..., , ...,xxi xn iL’utilité marginale d’un bien en un point est représentée graphiquement par la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction d’utilité en ce point ( figure 6.1). A U Jeu vidéo Utilité (en heures) 10 1 2 3 80 66 0 50
nous avons représenté la fonction d’utilité du jeu vidéo pour un niveau fixé (égal à 1) de la lecture. Les valeurs reportées sont celles du tableau 6.3. L’utilité marginale au point A, correspondant
à 2 heures de jeu vidéo, est égale à la pente de la droite tangente à la courbe représentant la fonction d’utilité.
Les données des tableaux 6.3 et 6.4 font apparaître deux propriétés très générales des utilités marginales.
i. Les utilités marginales sont positives. Cette propriété résulte directement de l’axiome de monotonie des préférences. Elle signifie que l’utilité augmente toujours avec la quantité de bien.
ii. Les utilités marginales sont décroissantes. Cette propriété est souvent appelée « loi des utilités marginales décroissantes ». C’est en réalité une hypothèse, souvent observée, mais qui ne résulte pas directement des axiomes. Elle implique que l’accroissement d’une unité de la quantité d’un bien est d’autant
▶ Figure 6.1 Fonction d’utilité et utilité marginale du jeu vidéo
unod –
Toute r
epr
oduction non autorisée est un délit.
plus apprécié par le consommateur que la quantité initiale de ce bien est faible1. Ainsi, si Ron découvre qu’il peut jouer 1 heure, alors qu’il n’a pas joué de la journée, sa satisfaction augmente de 40, alors que si son temps de jeu passe de 4 heures à 5 heures, sa satisfaction n’augmente que de 9.