Rôle du maître

Peut-on analyser l'action du maître en essayant de caractériser ses interventions en termes d'effet possible sur l'activité de l'élève, cette activité étant elle-même repérée et analysée en termes de schème?

La première séance en classe est composée de deux séquences correspondant à deux situations de calcul. Il s'agit alors pour le maître d'initialiser la recherche, de progressivement mettre les élèves en situation "de recherche", en situation de "micro société scientifique" (pour reprendre l'expression de Brousseau) sans dévoiler, à priori, l'objet d'enseignement en jeu, sans pouvoir annoncer, compte tenu de la durée de cette recherche, les différentes étapes à venir. Dans les termes de la théorie des situations, il s'agit pour le maître d'enclencher un processus de dévolution censé permettre l'émergence de ce que nous appellerons une macro situation a-didactique.

La première séance s'ouvre donc sur une activité numérique; dans cette séance deux calculs seront en jeu, [990 :9] et [1818 :9]. Le choix de ces données a été fait par le maître qui a expérimenté ces divisions l'année précédente - avec une autre classe - dans des circonstances de départ similaires. Nous allons analyser cette première séance dont le protocole se trouve en annexe75_.

10.1.1 Analyse de la première séquence

Une lecture linéaire de ce protocole permet de repérer du point de vue de la gestion temporelle de la séance par le maître, cinq grandes phases ayant des fonctions différentes:

1. introduction à la situation générale de recherche, 2. mise en place d'une situation d'action,

3. mise en place d'une situation de communication, 4. verbalisation des procédures par les élèves, 5. clôture de la séquence "premier calcul".

Phase introductive

Dans cette partie brève (non enregistrée), le maître76 _{présente le chercheur, observateur au fond de} la classe et indique:

- que des chercheurs viendront "souvent",

- qu'ils travaillent dans le domaine des mathématiques,

- que les parents ont été informés de l'existence d'une recherche dans la classe .

75 _{Annexe III.3 - Protocoles}

76 _{Dans les extraits de protocoles cités:}

"LM" est Le Maître , la liste des élèves se trouve en annexe II.2 "élève" correspond à un élève non identifié

106 Rien d'usuel donc dans une séance qui s'ouvre ainsi avec l'indication claire que ce n'est que le début d'une série de séances inhabituelles puisqu'observées pour une "recherche".

Le fait que les chercheurs travaillent dans le champ mathématique ne suffit pas à indiquer aux élèves ce qu'eux-mêmes auront exactement à faire, ni sur quel objet précis cette recherche va porter, mais leur présence modifie d'entrée le jeu didactique qui se joue habituellement à huis - clos entre le maître et sa classe. Le caractère presque "public" de cette aventure est accentué par l'indication de l'annonce faite aux parents de l'existence de cette recherche dont la durée est signalée d'emblée. Un contrat de recherche commence à exister pour les élèves, contrat qui va s'articuler progressivement au contrat didactique habituel. (voir §10.2 sur le contrat de recherche). D'une certaine façon la durée de la recherche est immédiatement annoncée puisque les chercheurs "viendront souvent", il n'est cependant pas possible aux élèves d'anticiper qu'il s'agira d'une macro situation sur le même objet mathématique et non une série de séances isolées mathématiquement les unes des autres.

Mise en place de la situation d'action (§ 1 –18)

♦ Immédiatement après cette mise en avant d'une situation sinon exceptionnelle du moins inhabituelle, le maître rassure les élèves en les plongeant dans une situation annoncée comme familière.

1 LM- j'ai déjà eu / j'ai déjà eu plusieurs fois l'habitude de vous montrer des ... de vous mettre quelque chose au tableau et de vous laisser vous débrouiller aujourd'hui on va faire de même

Il indique d'emblée qu'un traitement de la situation par les élèves est possible, il replace les protagonistes dans les positions topologiques habituelles: le maître "je" donne à voir "quelque chose" et les élèves "vous" doivent "se débrouiller". Ceci correspond non pas au contrat habituel existant dans les classes mais à une façon de faire assez ordinaire dans cette classe. Les élèves ne sont pas dans une position d'attente77 _{à priori, entrer rapidement dans un processus de prise en charge de l'activité} proposée par le maître fait partie d'un contrat habituel: l'amorce d'un processus de dévolution est familier à ces élèves.

Annoncer aux élèves qu'ils peuvent se débrouiller c'est leur dire que des informations pertinentes sont présentes dans les données et que sur la base de leurs connaissances antérieures ils vont pouvoir agir. En termes de schème, le maître dit aux élèves qu'ils disposent de schèmes adaptés à la lecture et au traitement de la situation proposée, des actions vont pouvoir être engagées par les élèves eux- mêmes: indication topogénétique, donc.

"Se débrouiller" annonce aussi la volonté du maître de ne pas clarifier le but à atteindre, celui-ci n'est ni fixé ni même suggéré. "Se débrouiller" invite également à engager les actions possibles annoncées par le maître comme existantes. Les schèmes activés dans cette situation sont susceptibles de permettre aux élèves de produire "du neuf", autrement dit de faire avancer le temps didactique: il s'agit d'une injonction chronogénétique rendue possible par la reconnaissance d'une situation appartenant à une classe de situations dont certaines caractéristiques sont familières .

Ce qui semble pertinent au maître comme levier pour entrer dans la situation semble donc la familiarité - pour les élèves - non pas des informations données mais du fonctionnement didactique en terme de règles à disposition; règles d'action, de prise d'info, de traitement, de contrôle…

♦ Le maître écrit au tableau

2 LM - je mets ça

3 STE- je sais déjà la réponse 4 LM- [qui peut lire ? 5 STE- lire?

6 LM- qui peut lire ce qui est écrit/// STE 7 STE- neuf cent nonante divisé par neuf

8 LM- est-ce que quelqu'un peut lire / ou veut lire d'une autre manière / a envie de lire ceci d'une autre manière/ES

9 ES- gg zéro 10 (rires)

11 ES- ça ressemble

12 LM- dans les préliminaires j'ai dit qu'on faisait une recherche de quoi?

13 élèves- de mathématique

14 LM- de mathématique/ alors ça ressemble à des g mais ce n'est pas des g// est-ce qu'on est d'accord avec ce que propose STE?

15 élèves- oui

STE est surpris par la première question du maître. Lire? Cette déstabilisation ajoutée à la situation nouvelle de "recherche" crée le doute et autorise ES à transformer la signification habituelle de 99 en lettre 'g'. Mise en situation de recherche et demande inhabituelle du maître ont ouvert pour les élèves le champ des possibles. Très vite celui-ci est réduit par le maître, il s'agit d'une recherche en mathématiques. L'espace des informations possibles est réduit au champ numérique et c'est dans ce cadre que les actions seront judicieuses: les schèmes pertinents sont ceux qui correspondent aux situations numériques et plus précisément aux situations de calcul puisqu'intervient le symbole de l'opération de division. Cette indication macro –topogénétique intervient sur la dimension de l'espace des informations possibles et par conséquent sur l'espace des actions possibles.

Nous reviendrons lors de l'analyse des procédures des élèves sur les concepts jugés pertinents par les élèves lors de la lecture de "990 : 9" écrit - sans signe égal- au tableau.

♦ Après la question de la lecture qui a permis au maître de rendre publique, de faire partager une interprétation mathématique des deux points ":" écrits entre les deux nombres donnés, le maître pose la question qui transforme les données en une tâche finalisée par un résultat.

15 LM- maintenant la deuxième question est combien cela peut-il faire?// combien est-ce que ça peut faire ?// alors je vous laisse un petit temps de réponse parce que il y en a qui doivent réfléchir/ il y en a qui arrivent très vite à donner la réponse peut-être ou les réponses je sais pas /mais avant que vous me répondiez / pardon?

18 LM- (…) prenez du temps pour réfléchir à combien ça fait // j'aimerais que tout le monde puisse me dire quelque chose /// idéalement j'aimerais que tout le monde puisse me fournir sa réponse

Le maître annonce une deuxième question qui, comme la première va restreindre l'autonomie des élèves au sens des actions légitimes. A noter que ces interventions sont en contradiction relative avec l'injonction de "se débrouiller". Ici le maître indique le but à atteindre: il s'agit de dire "combien cela

peut faire", et donc même si le signe "égal" n'a pas été écrit au tableau, la situation est cette fois

clairement désignée comme une situation de calcul à effectuer. Le maître propose un calcul et chaque élève est supposé pouvoir donner sa "réponse". Est laissée ouverte la possibilité de l'existence de

108 plusieurs réponses mais dans le cadre d'un calcul à faire il s'agit en général de fournir un nombre – unique - en guise de réponse. Cette question de l'unicité de la réponse sera reprise et analysée dans un paragraphe ultérieur, car il s'agit d'un enjeu de l'avancée du temps didactique, ce sera un argument d'échange et de négociation quand se posera, plus tard dans la recherche, la question de l'existence de deux quotients, quotient euclidien et quotient décimal.

Dans les termes de la théorie des situations, il est possible de relever dans cette partie des indications sur le fonctionnement attendu des connaissances; certaines relèvent plutôt du topos de la classe (vous réfléchissez, tout le monde me dit quelque chose) d'autres du chronos (le maître laisse du temps pour réfléchir, pour organiser ses connaissances et produire une réponse), il garde la maîtrise de la durée des différentes phases. En même temps que par cette indication il met chaque élève en situation d'action, il dévolue la responsabilité de cette action puisqu'il va attendre que, "idéalement", chacun donne sa réponse sans s'appuyer par exemple sur l'élève STE qui d'entrée a dit "je sais la

réponse". Commence à apparaître la structuration temporelle de l'activité, structuration qui va

participer à la sélection des schèmes activés.

Après avoir réduit l'espace des informations possibles et celle des actions légitimes, après avoir contribué à faire identifier une classe de situations de calcul reconnaissable par tous, le maître affirme que chacun peut engager son activité propre et est susceptible d'atteindre le but alors défini comme "dire quelque chose ", dire sa "réponse". Le calcul à faire n'est pas un calcul familier, il n'y a pas de schème - algorithme disponible mais les invariants opératoires (concepts et théorèmes en acte) associés au schème "calcul numérique" vont permettre un traitement de l'objet mathématique division en vue de fournir une réponse numérique.

Le temps de recherche individuelle correspond au temps de l'action a-didactique stricto-sensu. Le travail se fait en silence et sans écrire, aucun élève n'ayant demandé du papier, demande qui sera faite par un élève en fin de séquence, avant d'aborder le deuxième calcul.

Mise en place de la situation de communication (§19- 27)

♦ Après le temps laissé à la recherche individuelle, le maître amorce une nouvelle phase. Il sollicite l'ensemble des élèves tout en s'adressant à l'un d'entre eux pour qu'il s'exprime publiquement78_{. Il ne lui demande pas ce qui avait été précédemment désigné comme but, à} savoir, sa réponse, mais il centre sa demande sur l'action effectuée (tu ferais quoi toi), sur la démarche (une petite idée pour démarrer).

21 LM- tout le monde essaye de répondre à ça// tu ferais quoi toi pour essayer de répondre?// t'as pas une petite idée pour démarrer? /// ES

22 ES- 109

Il y a modification du contrat, l'élève résiste et répond par 109 annonçant ce qui était le but notoire de l'activité, la réponse, réponse entendue par l'élève comme le résultat du calcul. Subtilement le maître n'insiste pas et reprend au bond la réponse fournie, il repositionne sa demande en accord avec le lancement de l'activité et met en évidence pour l'ensemble de la classe les différentes réponses des élèves: il crée ainsi un milieu propice à un échange sur toutes réponses déclarées. Le fait de les écrire au tableau permet à la fois une certaine rupture avec la phase d'action, permet au moins une suspension de cette action; c'est un signe clair que l'espace des informations pertinentes est modifié, c'est une nouvelle situation. On peut alors faire l'hypothèse que les schèmes à l'œuvre vont s'en trouver modifiés.

Autre aspect à prendre en compte, les prénoms sont inscrits par le maître au tableau en regard des résultats annoncés.

23 LM- qui veut me proposer autre chose parce qu'il a pas trouvé 109? 24 LM - je vais marquer à côté des résultats /vos prénoms comme ça on saura qui a dit quoi hein

Ce procédé engage l'élève qui s'exprime publiquement. Nul n'est obligé de fournir sa réponse mais, s'il le fait, cela l'engage vis à vis de la classe, l'échange ne concerne plus uniquement la paire maître- élève. Le jeu n'est plus celui de l'élève qui fournit au seul maître sa réponse, ce dernier étant susceptible de la valider ou de l'invalider. Tous les résultats annoncés sont mis à plat et donnés à voir à l'ensemble de la classe.

Deux aspects nous semblent devoir être relevés: d'une part il s'agit là d'une indication de mise à distance des positions topogénétiques habituelles et d'autre part la prise de responsabilité par l'élève de son résultat que ce choix de gestion implique va permettre de passer d'une situation de verbalisation de l'action à une situation de formulation et fait de ce choix une décision didactique. En effet la formulation au sens de la théorie des situations implique une prise de position et pas seulement une verbalisation. Par sa décision le maître crée les conditions favorables à l'émergence d'une situation de formulation c'est-à-dire une situation dans laquelle il y a engagement réciproque de l'émetteur et du récepteur sur les connaissances en jeu.

Il indique également son intention de renvoyer à la classe le contrôle de la validité de la réponse: l'a-didacticité de la situation perdure au-delà de la situation d'action initiale.

♦ Le milieu est modifié par la présence d'informations nouvelles: chaque élève a maintenant accès aux résultats d'autres élèves.

Le maître organise ensuite la verbalisation des procédures, la question posée avec "comment" centre l'élève sur le procédé utilisé, il demande le récit des actions conduisant au résultat annoncé.

27 LM- est-ce qu'il y a autre chose que vous voudriez me dire à part 109 et 110 /// bon ES / on va aller dans l'ordre / on va choisir l'ordre d'énoncé / ES tu as proposé 109 // comment tu as trouvé 109? qu'est-ce que tu as fait pour trouver ça?

Par cette question les élèves sont amenés à exposer non seulement les étapes suivies mais aussi les règles mises en œuvre, voire les concepts et théorèmes qui ont permis de passer d'une étape à une autre. Le "comment" centre le discours de l'élève sur l'organisation de son action.

Verbalisation des procédures (§ 28 – 140)

Ces procédures ne seront pas analysées ici, notre attention se centrant sur les interventions du maître. Les interventions du maître ont des fonctions diverses. Du point de vue de l'organisation de l'espace dans la classe et des places respectives, c'est le maître qui est - et restera- au tableau et c'est lui qui écrit. Il organise et donne à voir une adaptation écrite de ce qui est dit.

♦ L'une des fonctions des interventions magistrales est la constitution d'un répertoire commun de notations:

- soit qu'il s'agisse de notations mathématiques conventionnelles déjà utilisées dans la classe, c'est par exemple le cas du point comme symbole de la multiplication

110

31 LM- 10 fois 9 égal 90 / tout le monde se souvient du point maintenant / vous avez l'habitude du point pour le fois // 10 fois 9 / 90 /ok

- soit qu'il s'agisse d'interpréter avec les symboles mathématiques connus une façon de procéder énoncée par l'élève

27 LM- combien de fois 9 pour avoir 90 //mh… si je devais écrire ça de manière mathématique au tableau pour que tes camarades comprennent // comment je… le ferais-tu ?

30 ES- 10 fois 9

- soit qu'il s'agisse de trouver une organisation spatiale adéquate au discours de l'élève

50 JU- j'ai fait 100 fois 9 égal 900 et puis après

51 LM- d'accord

52 JU- après j'ai additionné 100 et 10 et ça fait 110

53 LM- donc tu as fait une addition comme ça //et puis? (…)

125 LU- moi j'avais mis 900 et puis j'ai divisé le 9 de 900 par 9 et puis ça faisait 100 et après j'ai mis 90 en bas 126 LM- attends / tu as fait 900 divisé par 9 c'est ça et puis ça faisait

127 LU- 100

128 LM- ensuite

129 LU- après en bas j'ai mis 90 divisé par 9 / 10 et puis en bas j'avais fait 0 divisé par 9

130 LM- et ça fait ?

131 LU- 0 //après j'ai additionné le 100 et le10

132 LM- 0 tu laisses tomber /// j'écris comme ça tout le monde comprend?// d'accord///

Le maître anticipe les phases à venir et qui doivent conduire à un débat de validation. La constitution de ce répertoire permet de régler un certain nombre de questions quant aux notations, quant à la façon de présenter telle ou telle action, ceci permet d'alléger le débat qui doit avoir lieu pour qu'il puisse se centrer sur les invariants en jeu. Dans la théorie des champs conceptuels un concept est défini comme constitué d'un triplet (situations de référence, signifiés, signifiants) mais dit Vergnaud (1990/1996), c'est au niveau des invariants opératoires (signifiés) que se situe la base principale de la conceptualisation du réel et non au niveau du symbolisme, le débat de validation doit porter essentiellement sur les concepts et théorèmes (en acte) et non sur des questions de symbolisation.

♦ D'autres interventions ont pour but de mettre les élèves en position de confronter leurs points de vue afin de ne pas rester dans une juxtaposition de discours

- soit par incitation à une participation interactive

35 LM- si / si vous avez // là l'idée on est bien d'accord c'est que ES montre comment elle a fait son raisonnement / donc on voit // et si vous avez des remarques par rapport à son raisonnement // dans la mesure où vous n'avez pas compris / euh... vous avez le droit de le faire savoir / vous levez la main et vous dîtes tiens là j'ai pas compris pourquoi tu fais comme ça / bon

10.9=90 10.9 = 90 100.9 = 900 110 900:9=100 Â 110 90:9=10 À 0:9= 0

alors tu as fait 10 fois 9 /90 / mais tu as trouvé 109 comme résultat / puis on n'est pas encore à ce résultat là / comment t'as trouvé 109 maintenant

- soit en faisant s'enchaîner pour des procédés supposés identiques, les explicitations d'élèves différents.

45 LM- un moment VI il y a du monde qui a à s'exprimer sur 110 / bon LI / 10 fois 9 / 90 bon ensuite /quelqu'un aurait-il démarrer comme LI 9 fois 90 / JU c'est ce que tu as fait ?

47 LM- tu peux continuer et puis si jamais LI tu diras ah oui c'est la même chose / JU?

68 VI- à la 2e _{colonne on fait 100 divisé par 9 égal 900}

- soit en favorisant les interaction directes

69 ME- ah j'ai compris ce qu'elle a dit / j'ai compris

70 LM- ok / vas-y

71 ME- ben je crois bien qu'elle a fait ça / par exemple elle a mis une centaine à 10 et puis elle a mis 9 centaines à 90

- soit en sollicitant une évaluation comparative

74 LM- tu dis tu as en plus additionné ces deux nombres pour être sûr que ça faisait bien 990 / c'est ça ? // est-ce qu'il y a quelqu'un qui a fait comme VI / VI et LI c'est la même chose