Dans cette partie nous pr´esentons les r´esultats sur le comportement des quadratures du mouvement dans le cas d’un miroir refroidi par friction froide. Dans les chapitres pr´ec´edents nous avions caract´eris´e l’´etat refroidi de mani`ere spectrale en v´erifiant en particulier que l’on pouvait r´eduire fortement la densit´e spectrale de bruit de position du miroir autour de la fr´equence de r´esonance. Nous en avions d´eduit une r´eduction de la variance du mouvement du miroir. L’observation des quadratures du mouvement permet de v´erifier exp´erimentalement que les fluctuations du mouvement dans l’espace des phases sont bien r´eduites et que la friction froide correspond bien au gel de la position du miroir.
3.3.1 Comportement des quadratures d’un miroir refroidi
Nous avons d´emontr´e dans la partie 2.2 que l’application sur le miroir d’une force de friction froide a pour effet d’augmenter le taux d’amortissement du miroir d’un facteur 1 + g, o`u le param`etre g sans dimension caract´erise le gain de la friction froide. La susceptibilit´e du miroir est alors d´ecrite par l’´equation (2.15). Nous avons observ´e que la temp´erature du mode acoustique se trouve r´eduite du mˆeme facteur 1 + g.
On se propose de v´erifier ce r´esultat en ´etudiant le comportement des quadratures de la position d’un miroir refroidi. En partant de l’expression de la force de pression de radiation que l’on applique sur le miroir [´equation (2.13)] et en utilisant la d´efinition
+25dB Déphaseur Φ g PAS3 X1 2 X 4 4REF_IN SIGNAL Analyseur de spectre Passe bande Oscilloscope Démodulation Référence Laser Détection homodyne 500 mW Cavité M. A. O.
Fig. 3.15 – Montage exp´erimental permettant l’observation dans l’espace des phases du mouvement d’un miroir refroidi par friction froide.
des quadratures de la force [´equations (3.15) et (3.16)], on d´eduit les expressions des quadratures de la force de friction froide en n´egligeant ω devant ΩM :
Frad1[ω] = −gMΓΩMX2[ω], (3.28)
Frad2[ω] = gM ΓΩMX1[ω]. (3.29)
L’inversion des quadratures dans ces ´equations est la signature du fait que Frad est proportionnelle `a la d´eriv´ee de la position x ; dans l’espace des phases, l’op´eration de d´erivation se caract´erise par une rotation de π
2.
On peut maintenant utiliser les ´equations (3.13) et (3.14) pour obtenir les quadra-tures du mouvement en prenant pour la force F la somme de la force de Langevin et de la force de pression de radiation. Les quadratures du mouvement se mettent alors sous la forme : X1[ω] = − 1 2M ΩM 1 −iω + Γ(1 + g)/2 FT2[ω], (3.30) X2[ω] = 1 2M ΩM 1 −iω + Γ(1 + g)/2 FT1[ω], (3.31)
Ces ´equations sont similaires `a celles obtenues sans la friction froide [´equations (3.13) et (3.14)], mais avec un taux d’amortissement Γ multipli´e par le facteur 1 + g.
Comme pr´ec´edemment, on peut calculer les spectres, les variances et les corr´elations temporelles des quadratures. On obtient :
SXf b1[ω] = SXf b2[ω] = Γf bkBTf b M Ω2
M(ω2+ Γ2
Fig.3.16 –Trajectoire et distribution dans l’espace des phase du mouvement thermique du miroir en pr´esence de friction froide. La dispersion du mouvement est diminu´ee par rapport au cas d’un miroir libre. ∆X12 = ∆X22 = kBTf b M Ω2 M . (3.33) C12f b= 0 , Ciif b(τ ) = ∆Xi2 exp(−Γf bτ /2). (3.34)
Ces expressions sont similaires `a celles correspondant au miroir libre, en rempla¸cant l’amortissement m´ecanique Γ par l’amortissement total Γf b = (1+g)Γ et la temp´erature ambiante par la temp´erature effective du miroir Tf b = T /(1 + g).
3.3.2 R´esultats exp´erimentaux
Le montage exp´erimental pr´esent´e sur la figure 3.15 est d´eriv´e du montage permet-tant l’observation de la friction froide d´ecrit dans la partie 2.2 (figures 2.5 et 2.6). La boˆıte de d´etection des quadratures a ´et´e ins´er´ee dans la voie d’acquisition, apr`es le filtre passe-bande et l’amplificateur. L’analyseur de spectre contrˆole toujours le bruit de phase mesur´e par la d´etection homodyne. Il est en particulier utilis´e pour d´eterminer l’´elargissement du spectre de bruit thermique en pr´esence de la friction froide par rap-port `a la situation non refroidie, pour en d´eduire le taux d’amortissement effectif Γf b du miroir et le gain de la boucle de contre-r´eaction.
La courbe de gauche de la figure 3.16 pr´esente la trace temporelle des quadra-tures acquises pendant 500 ms, pour un gain g de la boucle de contre-r´eaction ´egal `a 3. Les ´echelles sont identiques `a celles de la trace temporelle des quadratures sans contre-r´eaction (figure 3.12). On observe clairement que le mouvement Brownien du miroir garde une sym´etrie de r´evolution autour de l’origine. Ceci montre bien qu’au-cune quadrature n’est privil´egi´ee dans le processus de friction froide. Le mouvement est cependant nettement plus confin´e autour de l’origine que dans le cas non refroidi. La courbe de droite de la figure 3.16 est l’histogramme du mouvement Brownien acquis sur une dizaine de minutes. La distribution pr´esente, comme dans le cas d’un miroir non refroidi, un profil Gaussien sym´etrique de r´evolution, mais dont la largeur est
Fig. 3.17 –Courbes de gauche : spectres des deux quadratures du mouvement refroidi. Courbes de droite : fonctions de corr´elation des deux quadratures en pr´esence de la contre-r´eaction (courbes a). Les courbes b correspondent au bruit thermique du miroir libre.
∆X2 = 18.4 × 10−17 m, ce qui correspond d’apr`es les caract´eristiques du miroir `a un facteur de refroidissement T /Tf b = 1 + g de 4, 0, en accord avec le gain mesur´e.
La figure 3.17 pr´esente les spectres des deux quadratures. Ces spectres sont obte-nus par FFT des traces temporelles, avec un filtre de Hanning. Chaque spectre est moyenn´e environ 200 fois au cours de l’acquisition. En comparant `a la figure 3.14, on voit nettement que la friction froide a pour effet d’´elargir les spectres des quadratures et de r´eduire leur hauteur. Un ajustement par une Lorentzienne centr´ee en l’origine des fr´equences permet de d´eduire le taux d’amortissement effectif Γf b du miroir. Cet ajustement donne une valeur pour Γf b/2π de 166 Hz, en tr`es bon accord avec le gain g = 3 de la contre-r´eaction et avec le taux d’amortissement Γ = 2π × 44 Hz du miroir. La fonction de corr´elation C12f b des quadratures du mouvement en pr´esence de la friction froide, est calcul´ee comme pr´ec´edemment lors de l’acquisition des traces tem-porelles des quadratures X1 et X2. Elle reste inf´erieure `a un pourcent de la valeur de C11f b et C22f b; la friction froide n’introduit donc aucune corr´elation entre les quadratures. Les fonctions d’auto-corr´elation C11f b et C22f b des quadratures sont pr´esent´ees sur la fi-gure 3.17 en ´echelle semi-logarithmique. La d´ecroissance est bien exponentielle et la diff´erence entre les deux fonctions est inf´erieure `a 1%. L’ajustement des courbes par une exponentielle d´ecroissante, en utilisant l’´equation (3.34), donne un taux d’amor-tissement Γf b/2π de 159 Hz. On notera la r´eduction des fonctions de corr´elation `a τ = 0 par rapport au r´egime libre, en accord avec le confinement de la distribution dans l’espace des phases.
Tous ces r´esultats confirment le fait que le processus de contre-r´eaction mis en jeu correspond `a une friction froide. Le mouvement dans l’espace des phases est celui d’un oscillateur harmonique `a une temp´erature effective plus basse. Par rapport au r´egime libre, la marche au hasard est confin´ee autour de l’origine, avec une constante de temps plus courte.