Comportement des quadratures `a l’´equilibre thermique

Nous allons caract´eriser les quadratures de position lorsque le miroir est `a l’´equilibre thermodynamique. La fr´equence de d´emodulation des quadratures est ´egale `a la fr´equence de r´esonance du mode fondamental du miroir.

Comme on ne s’int´eresse qu’`a des fr´equences voisines de la fr´equence de r´esonance ΩM d’un mode de vibration, le comportement du miroir est ´equivalent `a celui d’un oscillateur harmonique de masse M et d’amortissement Γ. Sous l’action d’une force ext´erieure F , le d´eplacement x est donc donn´e par

x[Ω] = ¹

M (Ω2

M − Ω2− iΓΩ)^{F [Ω]. (3.10)}

On peut ainsi d´eduire l’expression de x[ΩM+ω] et x[−ΩM+ω]. En consid´erant toujours que l’oscillateur est faiblement amorti (Γ  ΩM) et que l’on s’int´eresse `a des fr´equences d’analyse ω de l’ordre de Γ (ω  ΩM), on obtient

x[ΩM + ω] = −_{M Ω} ¹

M(2ω + iΓ)^{F [ΩM + ω], (3.11)}

x[−ΩM + ω] = ¹

M ΩM(2ω + iΓ)F [−ΩM + ω]. (3.12)

En ins´erant ces expressions dans les ´equations (3.2) et (3.3), on trouve apr`es simplifi-cation l’expression de la r´eponse de chacune des quadratures `a une force ext´erieure :

X1[ω] = −_{2M Ω}¹ M  1 −iω + Γ/2  F2[ω], (3.13) X2[ω] = ¹ 2M ΩM  1 −iω + Γ/2  F1[ω], (3.14)

o`u F<sub>1</sub>[ω] et F<sub>2</sub>[ω] sont les deux quadratures de la force F , d´efinies dans l’espace de Fourier par des expressions similaires `a (3.2) et (3.3) :

F1[ω] = F [ΩM + ω] + F [−ΩM + ω], (3.15)

F2[ω] = −i (F [ΩM + ω] − F [−ΩM + ω]) . (3.16)

Pour un miroir libre en ´equilibre thermique `a la temp´erature ambiante T , le couplage avec le bain thermique est d´ecrit par la force de Langevin FT. Cette force correspond

`a un bruit blanc et sa fonction de corr´elation `a deux fr´equences est proportionnelle `a une fonction de Dirac [voir ´equations (1.3) et (1.4)] :

hFT[Ω], FT[Ω⁰]i = 2MΓkBT 2πδ(Ω + Ω⁰). (3.17)

On en d´eduit, d’apr`es les expressions des quadratures de la force [´equation (3.15) et (3.16)], la fonction de corr´elation entre les quadratures FT1 et FT2 de la force de Lan-gevin :

hFT1[ω], FT2[ω⁰]i = −2iMΓkBT {2πδ(2ΩM + ω + ω⁰) − 2πδ(−2ΩM + ω + ω⁰)} .(3.18) Les fr´equences ω et ω0 ´etant tr`es petites devant la fr´equence de r´esonance ΩM, les deux fonctions de Dirac sont toujours nulles. Les quadratures FT1 et FT2 sont par cons´equent deux variables al´eatoires ind´ependantes. On d´eduit de la mˆeme fa¸con les fonctions d’autocorr´elation, apr`es avoir simplifi´e les termes en δ(2ΩM + ω + ω0) et δ(−2ΩM + ω + ω0) :

hFT1[ω], FT1[ω0

]i = hFT2[ω], FT2[ω0

]i = 4MΓkBT 2πδ(ω + ω0). (3.19)

Les spectres des quadratures de la force sont donc ind´ependants de la fr´equence et ´egaux au double de la force de Langevin,

ST1[ω] = ST2[ω] = 4M ΓkBT = 2ST[ω]. (3.20)

Par cons´equent, les deux quadratures de la position ont des spectres identiques, de forme Lorentzienne que l’on d´eduit des ´equations (3.13), (3.14) et (3.20) :

S_X1[ω] = S_X2[ω] = ^ΓkBT M Ω2

M(ω2+ Γ2/4)^{. (3.21)}

L’aire de ces spectres est directement reli´ee `a la variance de la position. L’int´egrale en fr´equence de ces spectres donne des variances ∆X2

1 et ∆X2

2 des quadratures identiques et ´egales `a :

∆X₁² = ∆X₂² = ^kBT M Ω2 M

. (3.22)

On retrouve ici le th´eor`eme d’´equipartition de l’´energie, appliqu´e aux quadratures du mouvement [´equation (2.4)]. Avec les valeurs des param`etres exp´erimentaux (ΩM =

1858 kHz, M = 230 mg, T = 300 K), les dispersions attendues ∆X1 et ∆X2 pour le

mouvement Brownien dans l’espace des phases sont :

∆X1 = ∆X2 = 36, 3 × 10⁻¹⁷m. (3.23)

Nous terminons cette ´etude th´eorique par les fonctions de corr´elation temporelle du mouvement dans l’espace des phases. Celles-ci sont d´efinies par :

Cij(τ ) = hXi(t) Xj(t + τ )it, (3.24)

o`u i et j d´esignent les indices des quadratures (i, j = 1, 2), et o`u les crochets h...i repr´esentent la valeur moyenne temporelle. Nous avons d´ej`a indiqu´e que les quadratures

0 10 20 30 40 50 -1 0 1 X₂ X₁ Temps (ms) Déplacement (10 m) -15 -1 0 1

Fig. 3.10 – Acquisition des quadratures de position X1 et X2 pour un miroir libre soumis au bruit thermique.

de la force de Langevin sont non corr´el´ees. D’apr`es les ´equations (3.13) et (3.14), il en est de mˆeme pour les quadratures de la position, et les fonctions C₁₂et C₂₁sont nulles. Les fonctions d’autocorr´elation C11 et C22 se calculent en prenant la transform´ee de Fourier inverse des spectres de S_X1 et S_X2 :

Cii(τ ) = ∆X_i² exp(−Γτ/2). (3.25)

On trouve une d´ecroissance exponentielle `a partir d’une valeur initiale correspondant `a la variance ∆X2

i de la quadrature, avec une constante de temps de 2/Γ qui repr´esente le temps caract´eristique de perte de la m´emoire des conditions initiales.

Notons finalement que pour les calculs que nous venons d’effectuer nous avons rai-sonn´e de mani`ere classique. Les quadratures X1 et X2 sont en fait deux variables quantiques conjugu´ees et elles ne peuvent pas ˆetre mesur´ees simultan´ement avec une pr´ecision infinie. Ceci n’est pas en contradiction avec notre approche classique car le signal de position du miroir que nous d´etectons dans l’exp´erience est entach´e du bruit quantique de phase du faisceau lumineux. Nous n’avons donc pas acc`es simultan´ement aux deux quadratures du mouvement `a un niveau quantique. Ceci ne constitue pas une limite dans la pratique car le bruit thermique que nous cherchons `a observer est plusieurs ordres de grandeur au dessus de ces limites quantiques.

3.2.2 R´esultats exp´erimentaux

La figure 3.10 montre une acquisition d’une dur´ee de 50 ms des quadratures X1 et X2 de la position du miroir libre soumis uniquement `a l’agitation thermique. L’´echelle verticale a ´et´e gradu´ee en m`etre grˆace `a la calibration des signaux en sortie de la boˆıte. A un instant t, les quadratures X1 et X2 caract´erisent enti`erement l’´etat d’oscilla-tion du miroir. L’amplitude de l’oscillad’oscilla-tion est ´egale `a pX2

1 + X2

2 et sa phase ϕ par rapport au signal de r´ef´erence est donn´ee par tan ϕ = X2/X1. Il est alors naturel de repr´esenter le mouvement dans l’espace des phases, ce qui correspond `a faire le trac´e param´etrique de (X1(t), X2(t)). La courbe de gauche de la figure 3.11 montre le mouve-ment du miroir dans l’espace des phases d´eduit des deux courbes de la figure 3.10. Dans cette repr´esentation l’amplitude de l’oscillation du miroir est donn´ee par la distance `a l’origine, et la phase se d´eduit de l’angle avec l’axe horizontal.

Fig. 3.11 – Courbe de gauche : mouvement Brownien dans l’espace des phases correspondant aux traces temporelles de la figure 3.10. Courbe de droite : mouvement Brownien d’un oscillateur de torsion obtenue par Tittonen et al.

Sur des ´echelles de temps de l’ordre de quelques 1/Γ, le mouvement dans l’espace des phases ressemble `a un mouvement Brownien libre dans un espace `a deux dimensions. Ce r´esultat est `a comparer `a celui obtenu par Tittonen et al [19], concernant le mouvement dans l’espace des phases d’un oscillateur de torsion seulement soumis `a l’agitation ther-mique. Dans cette exp´erience, la fr´equence propre de l’oscillateur est de 26 kHz, et son facteur de qualit´e de 4,3 million correspondant `a un temps caract´eristique d’´evolution de 52 secondes. La courbe de droite de la figure 3.11 est reproduite de la r´ef´erence [19] et montre le mouvement Brownien de cet oscillateur, obtenu sur un temps de 80 secondes. Les temps d’acquisition des courbes de gauche et de droite, rapport´es aux temps caract´eristiques d’´evolution des deux oscillateurs dans l’espace des phases, sont finalement semblables. Cela explique la similitude entre les deux courbes, tant au point de vue de la densit´e de point que de l’absence de sym´etrie. Pour des temps d’acquisition aussi courts l’ergodicit´e ne transparaˆıt pas.

La courbe de gauche de la figure 3.12 pr´esente l’acquisition des quadratures sur un temps de mesure de 500 ms. Les ´echelles horizontale et verticale correspondent `a la pleine ´echelle de l’oscilloscope r´egl´ee sur ±100 mV . Elles ont ´et´e gradu´ees en m`etre grˆace `a la calibration. Nous avons vu que le temps caract´eristique sur lequel l’oscillateur perd la m´emoire des conditions initiales est de l’ordre de 1/Γ. Deux points acquis en des temps s´epar´es de quelques 1/Γ ne sont pas corr´el´es et peuvent se retrouver n’importe o`u dans la distribution dans l’espace des phases. Pour un taux d’amortissement Γ de 2π ×44 Hz, le mouvement Brownien parcourt une vingtaine de fois la distribution dans l’espace des phases sur un temps d’acquisition de 500 ms. La densit´e de point est alors suffisante pour voir se dessiner une distribution centr´ee en l’origine et sym´etrique dans les deux directions X1 et X2. Le mouvement ne ressemble plus `a une marche au hasard dans l’espace des phases : il est concentr´e autour de l’origine par la force de rappel de l’oscillateur harmonique [53].

Brow-Fig. 3.12 – Courbe de gauche : trajectoire du mouvement Brownien du miroir dans l’espace des phases. Courbe de droite : histogramme du mouvement.

nien acquis pendant une dizaine de minutes. L’´echelle de l’oscilloscope est divis´ee en 256 intervalles, subdivisant ainsi l’espace des phases en un histogramme de 256×256 cellules. Le bruit dˆu aux fluctuations de phase du faisceau de mesure et dont la valeur rms est donn´e par l’´equation (3.9) correspond pour cette division `a une cellule. La distribution observ´ee est donc le produit de convolution de la distribution due au bruit thermique et d’une Gaussienne de largeur ´egale `a la dimension d’une cellule. Etant donn´ee la largeur de la distribution obtenue, l’´elargissement produit par le bruit de phase n’est pas significatif. Les traces temporelles des deux quadratures sont acquises sur un temps de 3 secondes par l’oscilloscope num´erique puis transf´er´ees `a l’ordinateur qui actualise l’histogramme et d´eclenche un nouveau cycle de mesure. Ce traitement des donn´ees en continu permet l’acquisition d’un tr`es grand nombre de point, typiquement plusieurs millions. Pendant la dizaine de minutes que dure la mesure, le mouvement Brownien parcourt environ 25 000 fois l’espace des phases, ce qui explique la tr`es bonne pr´ecision obtenue sur la distribution.

La dispersion du mouvement Brownien est donn´ee par la largeur de la distribution et vaut :

∆X₁ = ∆X₂ = 36.6 × 10−17m, (3.26)

en excellent accord avec la valeur th´eorique donn´ee par l’´equation (3.23). A partir de la distribution des quadratures X1 et X2, nous avons calcul´e la statistique du mouvement sur une quadrature Xθ faisant un angle θ quelconque avec l’axe X1, d´efinie par :

Xθ = cos θX1 + sin θX2. (3.27)

Pour un mouvement Brownien, la quadrature Xθ est la somme de deux variables

al´eatoires Gaussiennes ind´ependantes et de mˆeme variance. Xθ est donc Gaussienne et de variance ind´ependante de l’angle θ. Les distributions obtenues pour un angle θ variant entre 0 et 180 degr´es sont trac´ees sur la figure 3.13. Chaque distribution a bien un profil Gaussien et les largeurs des courbes sont ´egales entre elles `a mieux que 1%. Ces r´esultats montrent que la distribution du mouvement Brownien dans l’espace des phases a un profil Gaussien parfaitement sym´etrique dans toutes les directions.

Fig. 3.13 – Distribution de la quadrature Xθ du mouvement thermique du miroir en fonction de l’angle θ. La variance ∆X2

θ de la quadrature Xθ, normalis´ee `a la variance thermique moyenne, est trac´ee sur le cot´e droit en fonction de θ.

Fig. 3.14 – Courbes de gauche : spectres des deux quadratures du mouvement du miroir. Courbes de droite : fonctions de corr´elation temporelle des quadratures.

Nous avons reconstitu´e le spectre des quadratures X₁ et X₂ en effectuant une trans-form´ee de Fourier des traces temporelles. Chaque trace temporelle acquise sur l’oscil-loscope est transf´er´ee `a l’ordinateur qui effectue une FFT. Une trace est compos´ee de 15 000 points, et dure 3 secondes. On a donc une r´esolution spectrale meilleure que le hertz et la bande d’analyse va de 0 `a 5 kHz. Un filtre de Hanning est appliqu´e lors du calcul et les spectres obtenus sont moyenn´es environ 200 fois, ce qui correspond `a une dizaine de minutes d’acquisition. La figure 3.14 pr´esente les spectres des deux quadra-tures entre 0 et 500 Hz. Un ajustement par des Lorentziennes centr´ees en z´ero donne des largeurs pour les spectres de X1et X2 de 2π ×44 Hz et 2π ×43, 8 Hz en tr`es bon accord avec l’´equation (3.21) et avec la valeur exp´erimentale du taux d’amortissement du mode (Γ = 2π × 44 Hz). L’´echelle verticale est convertie en m2/Hz grˆace `a la calibration. Les hauteurs des deux spectres sont ´egales au pourcent pr`es et valent 1, 85 × 10−33m2/Hz. Cette valeur peut ˆetre compar´ee `a la valeur th´eorique donn´ee par l’´equation (3.21) pour

ω = 0. En utilisant les valeurs de la masse M (230 mg) et du taux d’amortissement mesur´ees exp´erimentalement on trouve une hauteur de 1, 9 × 10−33m2/Hz en excellent accord avec nos mesures.

La fonction de corr´elation C12et les deux fonctions d’autocorr´elation C11et C22sont ´egalement calcul´ees par l’ordinateur `a partir des traces temporelles, lors de l’acquisition de la distribution du mouvement. Pour chaque trace temporelle acquise (15 000 points acquis en 3 s), les produits Xi(t) × Xj(t + τ ) pour (i, j = 1), (i, j = 2) ou (i = 1, j = 2) sont calcul´es pour τ variant de 0 `a 50 ms et sont stock´es dans un tableau de points. Ce tableau peut ainsi ˆetre moyenn´e `a chaque nouvelle acquisition. Les fonctions C11 et C₂₂ sont pr´esent´ees sur la figure 3.14 en ´echelle semi-logarithmique. L’ajustement par

une droite des deux courbes C11 et C22 donne un taux d’amortissement moyen Γ de

2π × 49 Hz en bon accord avec les valeurs d´ej`a mesur´ees. La valeur `a τ = 0 correspond aux variances donn´ees par l’´equation (3.26). La fonction C12 est pratiquement nulle, sa valeur `a tout temps ´etant inf´erieure `a 2% de la valeur des fonctions d’auto-corr´elation C11 et C22.

On a ´egalement report´e sur la figure la fonction d’auto-corr´elation du bruit de photon (courbe shot), obtenue lorsque la cavit´e et le laser sont d´esaccord´es. La fonction pr´esente une d´ecroissance exponentielle tr`es rapide, uniquement limit´ee par le temps de r´eponse des filtres passe-bas plac´es en sortie de la chaˆıne ´electronique de d´etection des quadratures. Le niveau de cette courbe, li´e `a la limite de sensibilit´e de la mesure [´equation (3.9)], est environ trois ordres de grandeur en dessous de celui des fonctions d’autocorr´elation.