Principe de la friction froide

Nous consid´ererons ici que le miroir est ´equivalent `a un unique oscillateur harmo-nique de fr´equence de r´esonance ΩM, de masse M et de taux d’amortissement Γ. Sa susceptibilit´e χ s’´ecrit dans le cadre de cette approximation :

χ[Ω] = ¹

M (Ω2

M − Ω2− iΓΩ)^{. (2.5)}

On suppose ´egalement qu’il s’exerce maintenant sur le miroir, en plus de la force de Langevin FT, une seconde force Frad produite par la pression de radiation d’un faisceau laser intense en se r´efl´echissant sur le miroir. La r´eponse δx du miroir s’´ecrit alors :

δx[Ω] = χ[Ω](FT[Ω] + Frad[Ω]). (2.6)

On suppose que la mesure du bruit de position du miroir est id´eale, c’est-`a-dire que le bruit ´electronique de la d´etection et le bruit quantique du faisceau de mesure sont n´egligeables devant le bruit thermique du miroir. Dans ce cas, la phase δϕ du faisceau r´efl´echi par la cavit´e est directement proportionnelle au d´eplacement δx du miroir. On peut alors effectuer un contrˆole du d´eplacement du miroir en agissant sur lui `a l’aide de la force de pression de radiation Frad, dont l’amplitude est pilot´ee par la mesure du d´eplacement δx grˆace `a une boucle de contre-r´eaction.

La premi`ere possibilit´e de contrˆole du mouvement consiste `a appliquer une force proportionnelle au d´eplacement du miroir. Dans ce cas on peut ´ecrire la force de pression de radiation sous la forme :

Frad[Ω] = −gMΩ²Mδx[Ω], (2.7)

o`u g est un facteur sans dimension qui caract´erise le gain de la boucle de contre-r´eaction. La r´eponse du miroir `a une telle force s’´ecrit d’apr`es l’´equation (2.6) :

δx[Ω] = χ[Ω](F_T[Ω] − gMΩ2

Mδx[Ω]). (2.8)

On d´eduit de cette expression le d´eplacement δx du miroir en pr´esence de la contre-r´eaction :

δx[Ω] = ¹

1/χ[Ω] + gM Ω2 M

FT[Ω] = χf b[Ω]FT[Ω], (2.9)

o`u l’on a introduit une nouvelle susceptibilit´e χ_{f b}pour le miroir en pr´esence de la boucle de contre-r´eaction. En utilisant l’expression de la susceptibilit´e donn´ee par l’´equation (2.5) on trouve l’expression de χ_{f b} :

χf b[Ω] = ¹

M (Ω2

M(1 + g) − Ω2− iΓΩ)^{. (2.10)}

Le comportement du miroir est donc celui d’un oscillateur harmonique de masse M et d’amortissement Γ mais dont la fr´equence de r´esonance est d´eplac´ee d’une quantit´e proportionnelle au gain g de la boucle de contre-r´eaction. L’effet de la contre-r´eaction est donc ´equivalent `a une modification de la susceptibilit´e du miroir. Comme on pouvait

Avec contre−réaction Sans contre−réaction Ω_Μ (1+g)Ω_Μ Fréquence Puissance de bruit

Fig. 2.3 – Effet d’un contrˆole proportionnel au d´eplacement. Le pic de bruit thermique est d´eplac´e mais son aire ne change pas.

s’y attendre, ajouter une force proportionnelle au d´eplacement modifie la constante de raideur de l’oscillateur harmonique et donc sa fr´equence de r´esonance.

D´eterminons maintenant l’effet sur le bruit thermique du miroir. La force de Lan-gevin FT est due uniquement aux processus de dissipation au sein du miroir. Elle n’est pas modifi´ee par la force de pression de radiation permettant la contre-r´eaction. Le spectre de la force de Langevin se d´eduit donc toujours de la partie imaginaire de la susceptibilit´e m´ecanique du miroir sans contre-r´eaction :

S_FT[Ω] = −^2kBT Ω ^Im  1 χ[Ω]  = 2M Γk_BT. (2.11)

On en d´eduit que le spectre Sf b

x du bruit de d´eplacement devient en pr´esence de contre-r´eaction :

S_x^{f b}[Ω] = ^{2ΓkBT /M}

(Ω2

M(1 + g)2− Ω2)² + Γ2Ω2. (2.12)

Il a une forme Lorentzienne similaire au spectre de bruit thermique sans contre-r´eaction mais il est d´esormais centr´e autour de la fr´equence (1 + g)ΩM. La largeur et la hauteur du pic de bruit thermique et donc son aire restent inchang´es. Le bruit thermique est certes r´eduit autour de la fr´equence de r´esonance ΩM mais le bruit de position du miroir n’est pas r´eduit, il est simplement d´eplac´e comme le montre la figure 2.3. On remarque ´egalement que le miroir continue de satisfaire le th´eor`eme fluctuations-dissipation `a la temp´erature T puisque seul intervient le taux d’amortissement dans l’´equation (2.11) et que celui-ci n’est pas modifi´e. Le miroir est donc toujours `a l’´equilibre thermodynamique `a la temp´erature T et il n’y a pas de refroidissement.

Une seconde possibilit´e de contrˆole consiste `a appliquer une force proportionnelle `a la vitesse du miroir [27, 49, 51]. Si un contrˆole proportionnel au d´eplacement change la raideur de l’oscillateur harmonique, une force proportionnelle `a la vitesse modifie son taux d’amortissement. En effet la force s’´ecrit maintenant

F_rad[Ω] = −iΩΓgMδx[Ω]. (2.13)

Le d´eplacement du miroir se d´eduit alors des ´equations (2.5) et (2.6) par un calcul simi-laire `a celui aboutissant `a l’expression (2.10). On obtient maintenant un d´eplacement :

Ω_Μ Avec contre−réaction Sans contre−réaction Fréquence de bruit Puissance 1 (1+g)¹ 2

Fig. 2.4 – Effet de la friction froide sur le spectre de d´eplacement. Le spectre reste centr´e autour de ΩM mais l’aire de la courbe est diminu´ee d’un facteur (1 + g).

o`u la susceptibilit´e χf b en pr´esence de la contre-r´eaction est donn´ee par,

χf b[Ω] = ¹

M (Ω2

M − Ω2− i(1 + g)ΓΩ)^{. (2.15)}

La nouvelle susceptibilit´e χf b est celle d’un oscillateur harmonique de masse M , de fr´equence de r´esonance ΩM mais de taux d’amortissement modifi´e d’un facteur (1 + g) par rapport au cas sans contre-r´eaction.

Comme nous l’avons d´ej`a remarqu´e, la force de Langevin F<sub>T</sub> n’est pas modifi´ee par la boucle de contre-r´eaction et son spectre est donn´e par l’´equation (2.11). L’as-servissement modifie donc l’amortissement du syst`eme sans rajouter de bruit. On peut en particulier augmenter la friction du miroir pour des gains positifs sans fluc-tuations suppl´ementaires. Ce processus correspond `a un processus de friction froide [25, 26, 28, 52].

On peut ´ecrire le spectre Sf b

x du bruit de position du miroir `a partir des ´equations (2.14) et (2.15) :

S_x^{f b}[Ω] = ^{2ΓkBT /M}

(Ω2

M − Ω2)²+ Γ2(1 + g)2Ω2. (2.16)

Le spectre de bruit reste centr´e autour de la fr´equence de r´esonance ΩM mais sa largeur est modifi´ee par la contre-r´eaction comme le montre la figure 2.4. On d´efinit alors une nouvelle largeur du spectre Γf b :

Γf b= (1 + g)Γ. (2.17)

La hauteur du spectre est elle aussi modifi´ee. On d´efinit le rapport de r´eduction en amplitude du spectre de bruit `a partir du rapport des amplitudes des spectres de bruit sans et avec asservissement :

s S_x[Ω] Sx^{f b}[Ω] ^{= R[Ω] =}     Ω2 M − Ω2− iΓf bΩ Ω2 M − Ω2− iΓΩ     . (2.18)

La r´eduction maximale est obtenue `a r´esonance o`u elle vaut :

R[ΩM] = (1 + g). (2.19)

Lorsque l’on s’´eloigne de r´esonance le facteur de r´eduction tend vers 1 ce qui indique que l’efficacit´e de la contre-r´eaction diminue hors r´esonance. Les ´equations (2.17) et (2.18) montrent que pour des gains positifs la largeur du spectre est augment´ee d’un facteur (1 + g) tandis que sa hauteur est r´eduite d’un facteur (1 + g)2. On en d´eduit une diminution de l’aire du spectre de bruit d’un facteur (1 + g). La diminution de l’aire de la Lorentzienne est la signature d’une r´eduction de la variance ∆x2 du bruit de position du miroir dˆu au mode r´esonnant. Ceci est ´equivalent, d’apr`es le th´eor`eme d’´equipartition de l’´energie [´equation (2.4)], `a une diminution de la temp´erature du mode. Il y a donc dans ce cas, et par opposition `a un asservissement proportionnel au d´eplacement, une r´eduction r´eelle du bruit thermique du miroir.

Plus pr´ecis´ement, d’apr`es les expressions de la susceptibilit´e en pr´esence de la friction froide [´equation (2.15)] et du spectre de la force de Langevin [´equation (2.11)], le miroir ob´eit au th´eor`eme fluctuations-dissipation associ´e `a la susceptibilit´e χf b :

SFT = −^{2kBTf b} Ω ^Im  1 χf b[Ω]