Quadratures du champ et mouvement du miroir

Les variations de la longueur L de la cavit´e proviennent du d´eplacement xm du miroir mobile sous l’effet de la pression de radiation ainsi que de la variation apparente de longueur xsig de la cavit´e correspondant au signal `a mesurer :

L = L0+ xm + xsig, (5.14)

o`u L0 est la longueur de la cavit´e au repos. Les ´equations d’´evolution des champs intracavit´e α et sortant αouten fonction du champ entrant αinse d´eduisent des ´equations (1.80) `a (1.85) :

(γ − iψ − iΩτ)α[Ω] = ^p2γαin[Ω] + 2ikα(δxm[Ω] + xsig[Ω]), (5.15)

α^out[Ω] = −αⁱⁿ[Ω] +p2γα[Ω], (5.16)

o`u Ψ est le d´ephasage moyen du champ dans la cavit´e, ´egal `a la somme du d´esaccord Ψ0 au repos et du d´ephasage non lin´eaire ΨN L li´e au d´eplacement moyen xm [´equations

(1.87) et (1.88)] :

Ψ = Ψ0 + ΨN L , Ψ0 ≡ 2kL0 [2π] , ΨN L= 4~k²α²χ[0]. (5.17)

Les champs moyens sont donn´es par les ´equations (1.89) et (1.90) : α = √ 2γ γ − iψ^α in , α^out = ^{γ + iψ} γ − iψ^α in. (5.18)

Si on choisit par convention le champ α r´eel, les champs moyens incident αin et sortant αout ont des phases respectives θin et θout donn´ees par :

e^−iθin = γ − iΨ q

γ2+ Ψ²

, e^−iθout = _q^{γ + iΨ} γ2+ Ψ²

. (5.19)

Pour un d´ephasage Ψ non nul, les champs moyens incident et r´efl´echi ne sont plus r´eels ; les quadratures d’intensit´e p[Ω] et de phase q[Ω] d’un champ de phase θ sont donn´ees par :

p[Ω] = e^iθα[Ω] + e^−iθα∗[Ω], (5.20)

q[Ω] = −ie^iθα[Ω] + ie^−iθα^∗[Ω]. (5.21)

Afin de simplifier les calculs dans la suite, on suppose que la r´eponse m´ecanique du miroir correspond `a celle d’un oscillateur harmonique de masse M , de fr´equence de r´esonance ΩM et d’amortissement Γ. On suppose ´egalement que la bande passante de la cavit´e Ωcav = γ/τ est grande devant toutes les autres fr´equences (fr´equence d’analyse Ω, fr´equence de r´esonance ΩM). On obtient alors deux ´equations coupl´ees pour la quadrature d’intensit´e intracavit´e et le mouvement du miroir :

δp[Ω] = s 2γ γ2 + Ψ^2δp in [Ω] − √ 2γ γ2+ Ψ^{2 ξΨ (δxm[Ω] + xsig[Ω]) , (5.22)} δxm[Ω] = r γ 2^{~ξχ[Ω]δp[Ω]. (5.23)}

o`u le param`etre ξ est reli´e `a l’intensit´e du champ intracavit´e et caract´erise la force du couplage optom´ecanique entre les d´eplacements du miroir et le champ intracavit´e :

ξ = 2kαp2/γ. (5.24)

Il est int´eressant de comparer les deux situations `a r´esonance (Ψ = 0) et hors r´esonance (Ψ 6= 0). A r´esonance l’intensit´e intracavit´e δp ne d´epend que des fluctuations incidentes δpin. Le point de fonctionnement correspond au sommet du pic d’Airy et l’intensit´e est insensible `a de petites variations de longueur de la cavit´e. Ce n’est plus le cas hors r´esonance : le syst`eme est alors sur le flanc du pic d’Airy, et une variation de longueur, due au d´eplacement xm du miroir ou au signal xsig, se traduit par une variation de l’intensit´e intracavit´e. Le sens de variation d´epend bien sˆur du flanc sur lequel se trouve le syst`eme (derniers termes dans l’´equation (5.22)).

Le miroir se d´eplace alors sous l’effet de la pression de radiation [´equation (5.23)], qui se d´ecompose en trois termes. Le premier, proportionnel `a δpin (premier terme dans l’´equation (5.22), existe aussi `a r´esonance ; il est responsable du bruit de pression de radiation en sortie de la cavit´e. Il cr´ee aussi des corr´elations entre l’intensit´e et la phase du champ, ce qui se traduit par une compression du champ r´efl´echi [22].

Le deuxi`eme terme dans l’´equation (5.22) correspond `a une force proportionnelle au d´eplacement δxm du miroir. L’effet de cette force est tout `a fait similaire `a un contrˆole actif du miroir par une boucle de contre-r´eaction : le d´eplacement du miroir change l’intensit´e intracavit´e, ce qui modifie la force de pression de radiation exerc´ee sur lui. Comme pour le processus de friction froide d´ecrit dans la partie 2.2, la dynamique du miroir est modifi´ee. A partir des ´equations (5.22) et (5.23) il est facile de montrer que la r´eponse du miroir `a une force ext´erieure est d´ecrite par une susceptibilit´e χomdonn´ee par :

χ⁻¹_om[Ω] = χ⁻¹[Ω] + ^ϕ

1 + ϕ2~ξ², (5.25)

o`u ϕ = Ψ/γ est le d´esaccord normalis´e `a γ. Le couplage optom´ecanique dans la cavit´e modifie donc la raideur du miroir, comme l’aurait fait un asservissement proportionnel [´equation (2.10)], selon un sens d´ependant du signe du d´esaccord. A une fr´equence Ω donn´ee, on peut donc avoir amplification ou att´enuation du mouvement du miroir selon la valeur de ϕχ[Ω].

Le troisi`eme terme dans l’´equation (5.22) correspond `a une force proportionnelle au signal x_sig. Le miroir va donc se d´eplacer en r´eponse au signal, avec une dynamique caract´eris´ee par χ_om. A partir des ´equations (5.22) et (5.23), le mouvement δx_m s’´ecrit :

δxm[Ω] = χom[Ω] ^~ξ

p1 + ϕ2δpⁱⁿ[Ω] − ~ξ²_{1 + ϕ}^ϕ ₂xsig[Ω] !

. (5.26)

Selon le signe de ϕχom, le d´eplacement δxm est en opposition de phase avec le signal x_sig, auquel cas il y a un effet de compensation du signal par le mouvement du miroir, ou alors le mouvement est en phase avec x_sig, ce qui se traduit par une amplification du signal.

Les quadratures δpout et δqout du champ r´efl´echi se d´eduisent des ´equations (5.16) et (5.22),

δp^out[Ω] = δpⁱⁿ[Ω], (5.27)

δq^out[Ω] = δqⁱⁿ[Ω] + ^2ξ

p1 + ϕ2(δx_m[Ω] + x_sig[Ω]). (5.28)

Comme dans le cas d’une cavit´e accord´ee, pour des fr´equences petites devant la bande passante Ωcav = γ/τ de la cavit´e, les fluctuations d’intensit´e du faisceau r´efl´echi sont simplement ´egales aux fluctuations d’intensit´e du faisceau incident. Ceci traduit le fait que pour une cavit´e sans perte, les photons restent dans la cavit´e un temps moyen τ /γ et finissent par ressortir par le miroir d’entr´ee.

La phase du faisceau r´efl´echi est sensible `a la variation totale de longueur δx_m+ x_sig de la cavit´e. Selon que le mouvement du miroir est en phase ou en opposition de

phase avec xsig, on va avoir amplification ou att´enuation du signal. On peut d´efinir un estimateur ˆx_sig de la mesure en normalisant la phase δqout au signal mesur´e. A partir des ´equations (5.26) et (5.28) on trouve :

ˆ xsig[Ω] = p1 + ϕ2 2ξ χ[Ω] χ_om[Ω]^δq out[Ω], (5.29) = xsig[Ω] + p1 + ϕ2 2ξ χ[Ω] χ_om[Ω]^δq in[Ω] + ^~ξ p1 + ϕ2χ[Ω]δpⁱⁿ[Ω]. (5.30) L’estimateur est la somme du signal et de termes de bruit, qui sont les bruits ´equivalents d’entr´ee. La sensibilit´e de la mesure est donc limit´ee par ces bruits, le plus petit signal mesurable ´etant donn´e par xmin[Ω] = pSx[Ω] o`u Sx est le spectre des deux bruits apparaissant dans l’´equation (5.30). Pour un ´etat coh´erent du champ incident, ce spectre s’´ecrit : Sx[Ω] =  1 + ϕ2 4ξ2|χom[Ω]|2 + ^~ 2ξ2 1 + ϕ2  |χ[Ω]|². (5.31)

Le spectre apparaˆıt comme la somme de deux termes, associ´es respectivement aux bruits de phase et d’intensit´e du faisceau incident.