La plume plasma est portée par un gaz noble (He, Ne ou Ar), par conséquent son compor-tement peut être relié aux principes de la mécanique des fluides en première approche. Dans le cas du Plasma Gun, le gaz circule à l’intérieur d’un capillaire, qui est une conduite cylindrique, avant de traverser la zone proche électrodes, puis le plasma généré se propage à l’intérieur d’un capillaire avant de se propager dans l’air ambiant. Selon les géométries utilisées, le plasma peut également se propager dans l’air ambiant dès sa génération, c’est-à-dire que la seconde électrode est placée à l’extrémité du capillaire. Par conséquent, une première analyse de l’écoulement du fluide en conduite cylindrique doit être effectuée, puis une étude de l’écoulement d’un jet la-minaire ou turbulent. Afin de mieux appréhender les notions d’écoulements et de jet, quelques notions fondamentales sont rappelées.
1.1 Écoulement laminaire dans une conduite circulaire
En 1883, Osborn Reynolds mis en évidence différents régimes d’écoulement. L’observation de ces deux régimes a été obtenue à l’aide d’une expérience basée sur l’observation d’un filet coloré au sein d’un écoulement. Suivant la stabilité du filet coloré (cf. figure VI.1), Reynolds détermina deux régimes :
— l’écoulement laminaire, où le filet coloré est fin, rectiligne et ne se diffuse que légèrement.
Il est observé pour des faibles vitesses d’écoulement ;
— l’écoulement turbulent, où le filet coloré oscille, puis finit par colorer complètement l’in-térieur de la conduite. Il est observé pour des vitesses d’écoulement importantes.
De manière approchée, on peut dire qu’un écoulement est laminaire si toutes les lignes de courant sont parallèles aux parois de la conduite, et si ce n’est pas le cas le régime est turbulent. Malgré la distinction de ces deux régimes, il n’existe pas de transition parfaitement définie. En effet, cette transition correspond à une phase où le filet coloré commence à osciller faiblement jusqu’à être mélangé avec le fluide.
Figure VI.1 – Observations des différents régimes d’un écoulement en conduite cylindrique.
À partir de ces observations, O. Reynolds établit une « loi » basée sur un nombre adimen-sionné : le nombre de Reynolds, définit par :
Re= v×D
ν (VI.1)
avec v la vitesse de l’écoulement, D une grandeur caractéristique et ν la viscosité cinématique.
1. PROPAGATION D’UN JET DE GAZ OU DE PLASMA DANS L’AIR
Or la viscosité cinématique peut s’exprimer selon : ν= µ
ρ (VI.2)
avec ρ la masse volumique et µla viscosité dynamique. Par conséquent, l’expression du nombre de Reynolds devient :
Re= ρ×v×D
µ (VI.3)
Selon les observations de Reynolds, l’écoulement sera, dans le cadre d’une conduite circulaire :
— laminaire siRe <2 000;
— transitoire si2 000< Re <3 000;
— turbulent siRe >3 000.
Cependant, il est possible d’observer un régime turbulent dans une conduite pour unRe <3 000 (notamment à cause de la rugosité des parois).
Dans le cas d’un écoulement dans une conduite cylindrique (par exemple des capillaires), la grandeur caractéristiqueDcorrespondra au diamètre internedde la conduite. De plus, la vitesse de l’écoulement peut s’exprimer en fonction du débitQet de la section du capillaire. Le nombre de Reynoldsa, basé surd,Reds’exprimera selon :
Red= ρ µ
4Q
πd (VI.4)
Dans le cas du Plasma Gun, le diamètre du capillaire est de 4 mm en moyenne. À partir de la formule VI.4, le débit maximal permettant un écoulement laminaire dans le capillaire a été estimé à 14 l·min−1 pour le néon et 44 l·min−1 pour l’hélium.
La détermination du régime de l’écoulement dans une conduite passe, entre autre, par l’étude des profils de vitesse. Les profils de vitesse obtenus au sein d’une conduite diffèrent selon que le régime est laminaire ou turbulent. Dans le cas d’un écoulement dans une conduite circulaire, l’écoulement présente une symétrie de révolution par rapport à l’axe de la conduite. La figure VI.2 présente l’évolution du profil de vitesse dans une conduite, pour un écoulement laminaire.
Couche limite occupe toute la conduite Zone de régime établi
Développement de la couche limite
axe de la conduite Vitesse
initiale U0
Figure VI.2 – Évolution du profil de vitesse d’un fluide au sein d’une conduite circulaire (cas d’un régime laminaire).
En début de conduite, la vitesse du fluide est homogène et parallèle à l’axe de la conduite.
Cependant, dès l’entrée du fluide, une couche limite se crée sur les parois, celle-ci étant due, notamment, à la viscosité du fluide. L’établissement de la couche limite débute dès que le gaz
a. Afin d’alléger le texte, on emploiera parfois simplement « Reynolds » au lieu de « nombre de Reynolds ».
Table VI.1 – Conversion débit-Reynolds pour le néon et l’hélium, dans le cas où ils circulent dans une conduite cylindrique de diamètre interne 4 mm. Les longueurs d’établissement ont été obtenues à l’aide de la formule VI.5, sachant que le Red maximal est inférieur à2 000.
Q (cm3·s−1) Red(He) Le(He) (mm) Red(Ne) Le(Ne) (mm)
100 4.5 1 14 3
200 9 2 28 7
500 22 5 71 17
1000 45 11 141 34
1500 68 16 212 51
2000 90 22 283 68
2500 113 27 353 85
3000 135 32 424 102
4000 180 43 566 136
5000 226 54 707 170
6000 271 65
7000 316 76
8000 361 87
est introduit dans la conduite. À proximité des parois, des frottements sont induits et vont ralentir les particules fluides. Ces mêmes particules vont par la suite induire un ralentissement des particules voisines. À terme, la couche limite aura une épaisseur δ équivalente à celle de la conduite (de rayonR), soitδ = R. Dès lors, on parle de régime établi, le profil de vitesse obtenu pour ce régime est parabolique et est conservé sur toute la longueur de la conduite. La longueur d’établissement Le nécessaire pour obtenir le régime laminaire établi peut être approximée à
Le≈0.06×Red×d (VI.5)
dans le cas d’un écoulement en régime laminaire en entrée de conduite circulaire, de diamètre interne d. Cependant, dans le cas où le régime est turbulent en entrée de conduite, la longueur d’établissement du régime turbulent établi correspond à :
Le≈0.63×Re0.25d ×d (VI.6)
Dans notre cas, lors de l’étude du contrôle de la longueur de la plume plasma, le débit des gaz porteurs (He et Ne) utilisés est supérieur aux débits usuels des applications biomédicales.
Ces débits ont dépassé le l·min−1 alors que le débit maximal utilisé, dans le cadre de nos appli-cations biomédicales, est de500 sccm. Le tableau VI.1 présente les débits utilisés et les Reynolds correspondant ainsi que les longueurs d’établissement. Le calcul de la longueur d’établissement a été effectuée à l’aide de la formule VI.5 puisque les Reynolds testés sont inférieurs à 2 000, par conséquent nous travaillons en régime laminaire.
1.2 Cas d’une marche descendante
Dans le cas du Plasma Gun, l’extrémité de l’électrode interne représente une marche dite descendante, comme représentée en figure VI.3(a). La présence de cette marche descendante va avoir une influence non négligeable sur l’écoulement du gaz dans le Plasma Gun. En effet, l’arrête
1. PROPAGATION D’UN JET DE GAZ OU DE PLASMA DANS L’AIR
de l’électrode interne va constituer une ligne de séparation fixe. La figure VI.3(b) présente les différentes zones composant l’écoulement avant et après la marche.
Haute -tension impulsionnelle
Gaz
5 mm Laiton DelrinR
(a) Marche descendante induite par l’électrode in-terne
Xr(t)
Couche limite amont
Couche cisaillée
Zone de séparation Zone de relaxation
Zone de rattachement
Couche limite externe
Couche limite interne Tourbillon
marginal
Bulle de recirculation
U0 U
0 U
0 U
0
δ0
(b) Les différentes zones de l’écoulement induites par une marche descendante, d’après Danet [169]
Figure VI.3 – Cas d’une marche descendante.
La couche limite amont correspond à la couche limite développée avant la marche, donc dans notre cas la couche limite qui sera développée à l’intérieur de l’électrode interne. À l’arête de la marche, cette couche limite « décolle » et une couche cisaillée se développe. Cette couche cisaillée peut être apparentée à une couche de mélange, et par conséquent va avoir des propriétés différentes de celle d’un écoulement dans une conduite de section circulaire. Cependant, cette couche cisaillée va venir impactée la paroi interne de la conduite, sous l’effet de fort gradient de pression. La zone où la couche cisaillée se courbe pour venir impacter la paroi s’appelle la zone de rattachement, caractérisée par une longueur moyenne notée Xr. De part et d’autre du point d’impact de la couche cisaillée, deux régions sont observées : une bulle de recirculation et une couche limite.
La bulle de recirculation est présente au voisinage de la paroi de la marche et est caractérisée, d’un point de vue moyen, par un écoulement s’enroulant sur lui-même. Du fait de la présence de la couche cisaillée et de la présence d’un écoulement dit « de retour », des instabilités seront
présentes dans cette bulle (tourbillons par exemple). Cette zone ne participe pas à l’écoulement global, puisque la vitesse moyenne au sein de cette zone est nulle, d’où l’appellation de zone de stagnation. En aval du rattachement de la couche cisaillée, un « retour à la normale » est observé, notamment avec le développement d’une nouvelle couche limite.
La longueur de rattachement moyenneXr ne peut être mesurée précisément, par conséquent on parlera plus d’une zone de rattachement où fluctue le point de recollement instantané. Cette longueur peut être estimée à partir de la figure VI.4, d’après Adams et Johnston [170].