3.7 Annexe
4.2.2 Première enchère
Rv v x−v v−v dx+xi2−v si xi2 > v, Rxi2 v x−v v−v dx autrement, et πis2l(xi2) = Rv+α v x−v (v+α)−v dx+xi2−v+α si α <0 et xi2 > v+α, Rxi2 v x−v (v+α)−v dx autrement. (4.5) Soit Πsi2 le prot espéré ex ante de l'acheteur i dans la second enchère du mécanisme séquentiel au second prix, nous avons :
Πsi2w =E[πis2w(xi2)] = 1 (v +α)−v Z v+α v πis2w(z)dz, et Πsi2l =E[πsi2l(xi2)] = 1 v−v Z v v πis2l(z)dz. (4.6) 4.2.2 Première enchère
Nous allons à présent caractériser les stratégies d'ores optimales des deux acheteurs dans la première enchère des mécanismes séquentiels premier et second prix. Pour ce faire, nous notons∆k le gain d'opportunité (ou le coût d'opportunité suivant la valeur du paramètreα) associé à une victoire lors de la première enchère. Ce paramètre représente dans notre modèle, l'externalité positive ou négative suivant la valeur de α, exercée par la seconde enchère sur la première. Celle-ci est calculée comme suit :
∆k= Πki2w −Πki2l aveck =f, s (4.7) Nous pouvons noter que le paramètre∆kn'étant pas fonction du signal xi2, le gain (coût) d'opportunité est constant. Par conséquent, la valeur qu'attribue l'acheteur i au premier bien vendu est entièrement décrite par son signalxi1 ainsi que par le gain (coût) d'oppor-tunité∆k. Au cours de cette première vente, les deux acheteurs sont donc symétriques et leurs stratégies optimales suivant la fonction de paiement employée par le vendeur (i.e.
second ou premier prix) sont :
bfi1(xi1) = E[x−i1|x−i1 < xi1] + ∆f, (4.8) et bsi1(xi1) = xi1+ ∆s. (4.9) En l'absence de tout synergie entre les biens vendus (i.e.α= 0), la première et la deuxième enchères du mécanisme séquentiel sont indépendantes. Dans ce cas, les équations 4.8 et 4.9 décrivent uniquement les stratégies optimales bien connues, propres aux enchères single-unit (un seul bien vendu) au premier et second prix. En revanche, si les biens commercia-lisés sont compléments ou substituts, les deux enchères ne sont plus indépendantes. Les fonctions d'ores optimales qui caractérisent l'équilibre de la première enchère, intègrent alors le paramètre ∆k. Ce dernier n'est autre que la traduction dans la fonction d'ore des acheteurs, de l'externalité exercée par la seconde vente sur la première. Ainsi, dans les équations 4.8 et 4.9, si α > 0, l'élément ∆k représente le montant additionnel oert par l'acheteuripour tenter de capturer une éventuelle complémentarité. Si nous nous référons au chapitre 2, ce montant supplémentaire peut être considéré comme l'exposition assu-mée par ce dernier an de s'approprier la complémentarité. Au contraire, lorsque α < 0,
∆k indique une réduction de l'ore optimale, résultant du coût d'opportunité associé à la possession du premier bien. Ainsi, plus la valeur espérée du package constitué par les deux biens est élevée (faible), plus l'acheteurienchérit au dessus (au dessous) de sa valeur individuelle xi1.
Nous pouvons remarquer que les équations 4.8 et 4.9, correspondent à l'équilibre décrit par Jehiel, Moldovanu et Stacchetti (1999) pour une enchère single-unit avec externa-lités allocatives2. En eet, comme nous l'avons précisé au cours du chapitre précédent, une externalité allocative se dénit comme l'eet indirect d'un transfert de propriété. Or dans notre cas, le prot espéré des deux acheteurs dans la seconde enchère du mécanisme séquentiel, dépend de l'allocation du premier bien. Il existe donc ici, une externalité al-locative dont la nature, pour un acheteur donné, dépend de l'identité du vainqueur de la
2. Comme nous l'avons signalé dans le chapitre 3, Jehiel, Moldovanu et Stacchetti caractérisent l'équi-libre d'une enchère au second prix en présence d'externalités allocatives identitairement indépendantes. La dénition de l'équilibre d'une enchère au premier prix peut être trouvée dans l'article de Das Varma (2002) mais cette fois pour des externalités identitairement dépendantes.
4.2. MODÈLE ET BENCHMARKS THÉORIQUES 133 -40 -20 20 40 -20 -10 10 20 k
Figure 4.1 Gain (coût) d'opportunité∆kdans l'enchère premier (ligne pleine) et second prix (pointillés) ; v = 100, v = 200 etα∈[−50; 50].
première enchère et de la valeur du paramètre α. Par exemple, avec α <0, si l'acheteur
iremporte le premier objet vendu, son prot espéré ex ante dans la seconde enchère sera inférieur à celui dont il aurait pu bénécier si la propriété de ce premier objet avait été obtenue par son concurrent. A la lumière des résultats de Jehiel et al., le paramètre ∆k peut donc être interprété dans notre modèle, comme le montant de l'externalité induite par l'allocation du premier bien.
Les gain et coût d'opportunité∆kdans l'enchère premier et second prix, sont représen-tés sur la gure 4.1 avecv = 100,v = 200etα ∈[−50; 50]. Nous observons que lorsque les biens sont compléments (substituts), le bénéce (coût) d'opportunité lié à l'obtention du premier bien est plus élevé (faible) dans une enchère au second prix que dans une enchère au premier prix (cette observation correspond au Lemme 1 de Jofre-Bonet et Pesendor-fer). La raison d'un tel résultat se trouve dans la deuxième enchère. En eet, comme le montrent Maskin et Riley (2000a, Proposition 3.5), le propriétaire du premier bien est moins (plus) agressif que son concurrent dans une enchère au premier prix avec α > 0
(α < 0). Par ailleurs, une telle diérence d'agressivité n'existe pas dans un mécanisme au second prix3. En conséquent, pour le propriétaire du premier objet, la probabilité de
in-gagner la seconde enchère est plus faible (élevée) dans un mécanisme premier prix que dans un mécanisme second prix. Ainsi, son prot espéré ex ante pour le second bien est plus faible (élevé) dans une enchère premier prix que dans une enchère au second prix lorsque les biens sont compléments (substituts). Le gain (coût) d'opportunité associé à l'obtention du premier bien est donc plus faible dans un mécanisme premier prix que dans un mécanisme au second prix, en raison d'une diérence de sensibilité au problème d'asymétrie, suivant la fonction de paiement choisie.