Format de l'enchère et paiements espérés des acheteurs

Dans leur papier, Krishna et Rosenthal montrent au moyen d'un exemple numérique supposant une distribution uniforme des signaux, que le revenu espéré d'une enchère simultanée surpasse celui d'une enchère séquentielle, lorsque la valeur de la complémen-tarité dont peut bénécier le global augmente. An de comprendre ce résultat intéressons nous tout d'abord à l'expression du paiement espéré de l'acheteur global dans les deux formats d'enchère. A cette n, supposons un vendeur arbitrant entre une enchère séquen-tielle et une enchère simultanée pour la vente de deux biens complémentaires. Ce vendeur est confronté à trois acheteurs : un global et deux locaux. Les acheteurs locaux ayant la même stratégie (faiblement) dominante quelque soit le format de l'enchère, leurs fonctions de paiement espéré est la même dans un mécanisme séquentiel que dans un mécanisme simultané. La diérence de revenu espéré pour le vendeur entre ces deux formats, dépend donc uniquement de la fonction de paiement espéré de l'acheteur global.

Paiement espéré de l'acheteur global dans l'enchère simultanée : Supposons un acheteur global ayant reçu un signal xg opposé à deux acheteurs locaux. Supposons également que les acheteurs suivent leur stratégie optimale dénie dans la sous-section pré-cédente. La fonction de paiement espéré de l'acheteur global dans une enchère simultanée, notée mSi(xg)s'écrit : m^Si(x^g) = 2 Z xg 0 pf(p)dp+ 2 Z bsi g(xg) xg pf(p)dp

soit pour chacune des deux sous-enchères du mécanisme simultané :

m^Si_i (x^g) = Z xg 0 pf(p)dp+ Z bsi g(xg) xg pf(p)dp

avec i = 1,2. Nous pouvons remarquer que la fonction m^Si_i (x^g) se décompose en deux parties. La partie de gauche est le paiement espéré de l'acheteur global, abstraction faite de toute complémentarité. La partie de droite correspond à l'espérance de paiement sup-plémentaire liée à la présence d'une complémentarité, l'acheteur global orant plus que la valeur individuelle du bien. En d'autres termes, l'exposition supportée par l'acheteur global se traduit dans la fonction d'espérance de paiement par le terme Rbsi

g(xg)

2.2. MODÈLE ET BENCHMARKS THÉORIQUES 55 Paiement espéré de l'acheteur global dans l'enchère séquentielle : La fonction de paiement espéré de l'acheteur global dans un mécanisme séquentiel notée mSq(xg)

s'écrit quant à elle :

m^Sq(x^g) = 2 Z x^g 0 pf(p)dp+ Z b^sqg (x^g) xg pf(p)dp+F(γ(x^g)) Z min[x^g+α,V] xg pF(p)dp

Tout comme dans l'enchère simultanée, nous observons que la fonction mSq(xg) se com-pose de plusieurs éléments. La partie de gauche correspond une fois encore, au paiement espéré de l'acheteur global abstraction faite de toute complémentarité. L'élément central correspond quant à lui, à l'espérance de paiement supplémentaire issue de la complé-mentarité. Une nouvelle fois, l'exposition supportée par l'acheteur global pour tenter de capturer cette dernière, apparaît ainsi dans la fonction de paiement.

Comme nous l'avons précédemment signalé, les acheteurs locaux ont une stratégie do-minante identique quelque soit le format de la vente. Ainsi, la diérence de revenu pour le vendeur entre une enchère séquentielle et une enchère simultanée, est la conséquence de la diérence de paiement de l'acheteur global dans ces deux mécanismes. Par consé-quent pour un signal xg donné de l'acheteur global, l'espérance de revenu du vendeur dans une enchère simultanée sera strictement supérieure à celle obtenue dans une enchère séquentielle si et seulement si :

m^si(x^g)> m^sq(x^g)

Sous l'hypothèse d'une distribution uniforme des signaux, la précédente inéquation nous permet d'obtenir le résultat suivant.

Proposition 1 Supposons un acheteur global ayant reçu un signal xg et une valeur de complémentarité α >0. Une condition nécessaire pour que le paiement espéré de l'ache-teur global soit supérieur dans une enchère simultané à celui espéré dans une enchère séquentielle, lorsque les signaux des acheteurs sont uniformément distribués, est :

b^si_g > b^sq_g

Preuve : voir l'annexe 2.7.1.

D'après la proposition 1, si l'ore de l'acheteur global dictée par sa stratégie optimale, est plus importante dans la première enchère du mécanisme séquentiel qu'elle ne l'est dans

un mécanisme simultané pour un même signal, alors le vendeur a tout intérêt à opter pour un système de ventes séquentielles. Dans le cas contraire, il peut s'avérer protable pour ce dernier, de choisir un mécanisme d'enchères simultanées. Nous pouvons remarquer que si nous remplaçons les stratégies d'ore bsi

g et bsq

g par leur expression respective (2.2) et (2.3), la condition nécessaire décrite dans la proposition 1 se réécrit :

αxg

V −α ^>

α(2xg +α)

2V (2.4)

Par conséquent, pour que le revenu espéré du vendeur pour un signal donné du global, soit supérieur dans une enchère simultanée à celui obtenu dans une enchère séquentielle, il est nécessaire que le montant supplémentaire oert par le global pour capturer la com-plémentarité, soit plus important dans l'enchère simultanée que dans la première enchère du mécanisme séquentiel. En d'autres termes, pour que le prot espéré du vendeur soit plus élevé au cours d'une vente simultanée, il faut que l'exposition de l'acheteur global soit plus forte dans un tel mécanisme qu'au cours d'une enchère séquentielle. L'équation (2.4) fait donc apparaître la sensibilité des acheteurs au problème d'exposition, comme la raison principale de la diérence de revenu entre les deux formats de vente. Par ailleurs, nous pouvons noter que cette explication fait uniquement intervenir la stratégie suivie par l'acheteur global dans la première enchère séquentielle (et non dans la seconde). Ceci s'explique par le fait que, dans un mécanisme séquentiel, l'arbitrage comportemental lié à la présence de complémentarité ne se pose réellement que dans la première enchère, comme nous l'avons souligné ci-avant.

En réorganisant les termes de l'équation 2.4, la condition nécessaire caractérisée dans la proposition 1 peut être réécrite une seconde fois comme suit :

α > V −2x^g (2.5)

L'équation 2.5 nous indique que, pour que le revenu espéré du vendeur avec un signal x^g

donné, soit plus important dans une enchère simultanée, il est nécessaire que la valeur de complémentarité soit susamment élevée et, en l'occurrence, supérieure à V −2x^g. Autrement dit, pour que le paiement espéré de l'acheteur global soit plus important dans une enchère simultanée, il faut que son exposition soit plus élevée dans un tel mécanisme ce qui implique une valeur de complémentarité susamment haute.

2.2. MODÈLE ET BENCHMARKS THÉORIQUES 57 La gure 2.2 représente les fonctions d'ores de l'acheteur global dans les deux mé-canismes et pour diérentes valeurs de complémentarité. Nous observons que pour un même signal xg ∈ [0,^V−₂^α[, l'exposition de l'acheteur global dans la première enchère du mécanisme séquentiel, est strictement supérieure à celle supportée par ce même acheteur dans un mécanisme simultané (bsq

g (x) ≥ bsi

g). Lorsque xg ∈]^V−₂^α, V] ce résultat s'inverse. Supposons une valeur de complémentaritéα =α₀ tel queα₀ =V. Dans ce cas, l'ensemble des signaux pour lesquels l'ore faite par l'acheteur global dans la première enchère du mécanisme séquentielle est strictement supérieure à celle faite dans un mécanisme simul-tané, est vide(V−α0

2 = 0). En d'autres termes, quelque soit le signalxgreçu, l'exposition de l'acheteur global dans la première enchère du mécanisme séquentiel est inférieure ou égale, à celle que ce dernier admet dans un mécanisme simultané :bsq

g (xg)≤bsi

g(xg)∀xg ∈[0, V]. Conformément à la proposition 1, cet écart entre les ores faites par l'acheteur global est à l'origine d'une diérence de paiement espéré en faveur du mécanisme simultané. Dans une telle situation le revenu espéré ex ante (i.e. en intégrant la fonction de revenu sur l'ensemble des valeurs possibles de xg) d'une enchère simultanée pourra être supérieur à celui d'une enchère séquentielle.

Supposons maintenant que la valeur de α diminue tel que α = α₁ = ^V₂ : la borne V−α

2 de l'intervalle [0,^V−₂^α[va se déplacer vers la droite. L'exposition de l'acheteur global dans le mécanisme simultané est alors inférieure à celle qu'il accepte dans un mécanisme séquentiel pour tout x^g ∈ [0,^V₄[. Cette supériorité de b^sq_g (x^g) sur b^si_g(x) sur l'intervalle

[0,^V₄[ va modier le rapport de force des fonctions de paiement espéré au détriment du mécanisme simultané. Conformément à la proposition 1, l'ore b^si_g(x^g) ne sera plus susamment élevée par rapport àbsq

g (xg) pour assurer la supériorité du paiement espéré du mécanisme simultané sur celui du mécanisme séquentiel. Nous comprenons alors que dans ce deuxième cas, le revenu espéré ex ante d'une enchère simultanée pourra être inférieur à celui d'une enchère séquentielle.

Nous avons donc montré que la diérence de revenu du vendeur, mise en évidence par Krishna et Rosenthal, entre une enchère séquentielle et une enchère simultanée était lié à la sensibilité de l'acheteur global au problème d'exposition dans ces deux mécanismes. En eet, si la valeur de complémentarité n'est pas susamment élevée, l'acheteur global s'exposera moins dans un mécanisme simultané qu'au cours d'une vente séquentielle. Le

Figure 2.2 Stratégie d'équilibre de l'acheteur global dans une enchère simultanée et dans la première enchère du mécanisme séquentiel pour diérentes valeurs de α.

montant espéré de son paiement sera donc plus important si les biens sont vendus séquen-tiellement et le vendeur aura alors tout intérêt à opter pour un tel timing. En revanche si la valeur de complémentarité est susamment forte, le classement des deux mécanisme en termes de revenu s'inverse, l'exposition de l'acheteur global devenant plus importante au cours d'une enchère simultanée. Nous avons ainsi démontré l'importance de l'arbitrage comportemental généré par la présence d'une complémentarité (i.e. le problème d'expo-sition), dans la compréhension de la diérence de revenu entre les deux timing de vente à disposition du vendeur (i.e. séquentielle et simultanée). Nous allons à présent tenter d'investiguer expérimentalement le comportement d'exposition des acheteurs en présence de complémentarités et vérier ainsi la robustesse de nos prédictions théoriques.