Performances d'un modulateur avec CNA multibit réel sans correction

An de vérier la performance globale du modulateur, les critères de INL ou de DNL du CNA

interne ne sont pas susamment précis et utiles. La raison en est que le modulateurΣ∆ est sensible

à l'ensemble des paramètres dont une partie est liée au CNA interne. L'inuence de la non-idéalité

du CNA est le plus souvent comparée à celle de l'erreur de quantication (Eq.2.27); elle se retrouve

dans les expressions de SNDR, SFDR, DR et ENOB.

An de calculer l'eet de non idéalité du CNA-rebouclé, nous allons chercher une relation analytique

pour la puissance d'erreur dans la bande utile du modulateur. L'erreur peut être récrite : e(n) =

P

M

i=1

α

_i

sv

_i

(n), (Eq.3.46). Elle peut s'exprimer par sa variance temporelle :

P

_e

= V ar[e(n)] =V ar[

M

X

i=1

e

_i

(n)]

=

M

X

i=1

V ar[e

_i

(n)] +^X

i6=j

Covar[e

_i

(n),e

_j

(n)] (3.54)

Si nous supposons que la probabilité des signaux d'entrées aux entrées des cellules du CNA ont

une distribution uniforme, l'équation ci-dessus peut se simplier en admettant

10

_P[”sv

_i

_{(n) = 1”] =}

P[”sv

_i

(n) = 0”] =

¹₂

. On obtient alors :

V ar[sv

_i

] =E[sv

_i²

]−E

²

[sv

_i

] = ¹

2 −(¹

2⁾

2

= ¹

4 (3.55)

Durant la période d'observation, le terme α

_i

est supposé constant, et invariant dans le temps. Par

conséquent :

V ar[e

i

] =V ar[α

i

sv

i

] =σ

_α²_i

V ar[sv

i

] = ^σ

2

αi

4 (3.56)

Les termes de covariances à l'équation 3.54 dépendent des caractéristique stochastiques des entrées :

Covar[e

_i

,e

_j

] =σ

_αi

σ

_αj

Covar[sv

_i

,sv

_j

] (3.57)

Cela ne peut malheureusement pas s'expliquer sous une forme analytique pour un signal arbitraire.

Cette dépendance est normalement faible quand les index "i" et "j" sont distants, mais peut être plus

fort pour les signaux consécutivement appliqués aux cellules voisines. Par ailleurs, ces dépendances

varient dans deux sens opposées, c.-à-d. une partie négative et une partie positive qui limitent ses eets

dégradants dans le cas d'absence de DEM. Une méthode de DEM en fait utilise cette dépendance an

de diminuer l'erreur dans la bande utile. Au meilleur cas, une bonne manipulation des interconnexions

des cellules peut éliminer la premier partie d'équation 3.54 par celle de deuxième, ce qui semble une

intervention assez délicate en pratique qui est à la charge de l'algorithme de DEM.

En tout cas, on essaie de les simplier an de trouver une expression approchée. Pour l'instant, on

néglige leurs dépendances (Covar[sv

_i

(n),sv

_j

(n)] ≃ 0), mais on devra examiner les résultat par la

suite. Alors, la puissance totale des erreurs statiques du CNA se simplie comme suit :

P

e

≃

M

X

i=1

V ar[e

i

(n)] =

M

X

i=1

σ

2 αi

4 (3.58)

Si les défauts d'appariements sont uniformément distribués, on obtient alors :

P

_e

≃ ^σ

2

α

4M (3.59)

ce qui est conforme à l'équation d'INL 3.52. De plus, son écart-type est :e

_rms

=

^σα

2√

M

. L'autre diculté

à la suite de cette analyse, apparaît lorsque l'on veut calculer la contribution d'erreur du CNA de

rebouclage à la sortie du modulateur. Cela provient du fait que l'erreur e(n) n'a pas un spectre déni,

car il n'est pas blanc comme le bruit thermique. Sa caractéristique est fortement liée à la fois à la

caractéristique stochastique de l'entrée du modulateur et à la caractéristique du modulateur, ainsi

qu'aux valeurs absolues de α

_i

s.

On peut supposer que la STF du modulateur fait passer la quasi totalité de ces erreurs en bande

utile comme il le fait pour le signal d'entrée. Par contre, le phénomène de suréchantillonnage et le

ltrage suivant le modulateur limitent la puissance correspondant à ces erreurs dans la sortie du ltre.

Cependant, dans le pire cas, il est probable que toutes ces erreurs apparaissent en bande utile. Donc,

la contribution maximale d'erreur de défaut d'appariement du CNA est la suivante :

σ

²_e

= ^σ

2

α

4M (3.60)

En tenant en compte de ces erreurs, le SNDR est calculé à partir des équations 2.27 et 2.41 :

SN DR= ^P

^entre

P

Q_inband

+P

e_{CN A}

= ⁽

M 2√ 2

)

² π2L 12G2(2L+1)OSR(2L+1)

+

^σα² 4M

(3.61)

D'autre part, an d'examiner un CNA composé desM cellules en dehors du modulateur, la résolution

propre à ce CNA sans aucune DEM peut s'exprimer par la dénition 3.5 :

EN OB

_{CN A}

=Log

₂

[

√

M

√

En pratique un autre phénomène dû à cette erreur va dominer. Il s'agit de la modulation de l'erreur

de quantication qui s'étend tout au long de l'axe des fréquences. Autrement dit, la puissance de

bruit de la non linéarité produite par la modulation entre l'erreur du CNA et l'erreur de la

quanti-cation fait augmenter le niveau du bruit dans la bande, même si la contribution des erreurs donnée

par l'équation 3.60 n'est pas blanc. Dans la plupart des cas, la propre résolution de CNA (ENOB),

peut être encore acceptée. En revanche, la présence de grands tons produit par la modulation avec

des signaux d'entrée n'est pas acceptable dans les systèmes de communication, car ces tons limitent

fortement le SFDR du système.

Pour donner des chires, considérons un CNA 4-bits avec σ

α

= 0.01. La résolution propre du CNA

ENOB vaut 8 bits. Le SNDR maximal d'un modulateur, d'ordre 3 avec un OSR=64 et G= 0.2, qui

emploie un tel CNA est alors limité à 8 bits, contre une résolution idéale de l'ordre de 20 bits.

Cepen-dant, si le même modulateur emploie un quanticateur (et un CNA) d'un bit, la résolution nale est

aussi 8 bit de même qu'avec 16 cellules désappariés ayant 1% d'erreur. Cet exemple montre qu'une

quantication multibit ne peut pas donner une résolution supérieure à celle d'une quantication

mo-nobit si les cellules du CNA sont désappariées même d'un faible pourcentage. De plus, le SFDR d'un

tel système multibit peut être plus mauvais que celui d'un modulateur monobit similaire. La gure

3.18 monte le spectre de la sortie d'un modulateur passe-bande multibit pour une entrée sinusoïdale

proche de moitié de la pleine échelle ayant des paramètres : {L=3, OSR=64, B=4, M=16}. Le

ni-veau du bruit de quantication du cas idéal −125dB revient à la hausse vers−80dB pour le cas réel

avec une erreur de défaut d'appariement supposé σ

_α

= 0.01. La gure suivante (Fig.3.19) montre la

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0

SNR_max= 103 pour x=0.5 sin(wt);

(a) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 SNR= 51, SNRideal= 103, (b)

Fig. 3.18 Le spectre de la sortie du modulateur passe-bande multibit a) idéal, b) avec un CNA réel ayant

1% d'erreur d'appariement sans aucune correction.

performance (SNDR) de ce modulateur vis-à-vis des diérentes entrées. Comme on l'a théoriquement

prévu, la dégradation due aux défauts d'appariement est fortement liée aux caractéristiques des

en-trées, mais il manque une relation analytique adaptée. L'analyse simple ci-dessus qui se conrme par

des simulations, montre bien qu'un modulateur multibit, ayant quelques dixièmes de pourcentages

d'erreur d'appariement entre ses diérentes cellules, peut avoir une performance beaucoup plus

mau-vaise qu'un modulateur monobit. Ainsi, pour bénécier des avantages de la structure multibit, il est

indispensable d'utiliser au moins une méthode de correction, même si cela coûte quelques dizaines de

pourcentage de la surface et de la consommation globale du modulateur. Certaines de ces méthodes

seront analysées au chapitre suivant, et de nouvelles méthodes seront proposées au chapitre d'après.

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 0 10 20

Dans le document Nouvelles techniques d'appariement dynamique dans un CNA multibit pour les convertisseurs sigma-delta (Page 86-89)