Eet de bruit thermique au niveau de l'échantillonneur

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Circuits-Bias10%

er re u r; p ar tie n u m er iq u e 5% ) Br uit de qu an tifica tio n5 %)

Fig. 3.2 Exemple de la contribution des diérentes bruit dans un modulateurΣ∆, à la réalisation SC

thermique sera aussi étudié dans le cas d'un amplicateur (AOP) employé dans un modulateur CT.

3.2.1 Eet de bruit thermique au niveau de l'échantillonneur

La conversion d'un signal analogique en un signal numérique se fait en général en deux étapes :

l'échantillonnage puis la quantication numérique, comme cela est représenté sur la gure 3.3. Dans un

premier temps, un bloc, nommé échantillonneur-bloqueur ("Sample-And-Hold", SAH ), suit

réguliè-rement le signal d'entrée aux instants d'échantillonnage (fréquencef

e

). Ensuite, la sortie du bloqueur

SAH ^{x (nT)}

^o

SDM ^V(n)

x(t)

S(t)

T

e

×

x(t) x (t)

s

h (t)

zoh

x (

o

nT)= [x (t) * h (t)]

s zoh

Fig. 3.3 Chaîne de conversion analogique-numérique (sans décimation)

peut s'eectuer de plusieurs manières, par exemple par la modulationΣ∆. L'échantillonneur-bloqueur

est indispensable dans la plupart des convertisseur analogique-numérique (A/N). Il doit conserver le

signal d'entrée analogique à un niveau constant pendant le temps de conversion.

En eet pour des raisons de précision et de simplicité, l'échantillonnage-bloquage est souvent réalisé

à l'entrée du premier étage du ltre où une sortie de la branche de contre-réaction est aussi l'entrée.

Dans le cas d'un modulateur à temps continu, l'échantillonneur-bloqueur est réalisé à l'intérieur du

modulateur juste en amont du quanticateur. Cela rend les eets dégradants de

l'échantillonneur-bloqueur beaucoup moins sévère dans le cas continu que dans le cas discret.

Dans cette section, le comportement d'un échantillonneur-bloqueur est décrit; une description plus

détaillée est donnée dans [91,93].

Un échantillonneur/bloqueur idéal devrait conserver le signal d'entréex(t) jusqu'à ce que la

conver-sion soit nie. La sortie du SAH, nommée x

_o

(nT

_e

), peut être alors dénie par l'équation ci-dessous :

x

_o

(nT) =x(t)|

t=nTe

, quand:nT

_e

≤t≤(n+ 1)T

_e

(3.9)

oùnest le nombre d'échantillons etT

_e

=

_f¹

e

est la période d'échantillonnage. Le termenT, qui indique

l'instant d'échantillonnage, est souvent simplement remplacé par n. An de mettre en équation le

fonctionnement d'un SAH, on peut supposer que l'entrée x(t) est en fait multipliée par une série

d'impulsions de Dirac. Puis, la valeur obtenue est maintenue jusqu'à la n de la période comme cela

est expliqué par la suite :

s(t) =

∞

X

−∞

δ(t−nT

_e

),

x

_s

(t) = x(t)

∞

X

−∞

δ(t−nT

_e

)

x

_o

(n) = x

_s

(t)∗h

_zoh

(t),

h

_zoh

(t) =

½

1 quand 0 < t < T

_e

0 quand t ∄ ] 0, T

_e

[ (3.10)

où, δ(t−nT

e

) dénote une série d'impulsions et h

zoh

(t) est une fenêtre qui marque la valeur

échan-tillonnée dans chaque période. Dans le cas d'une entrée sinusoïdale, c.-à-d. x(t) =A

_in

.sin(2πf t), la

sortie peut être représentée comme sur la gure 3.4.

x(f)

x (f)

s

x (f)

o

f

f

f

f

B

f

e

2f

e (a) (b)

Fig. 3.4 a) échantillonnage, b) spectre du signal; suivant les diérentes étapes d'échantillonnage avec un

bloquer idéal

motif de base est le spectre du signal analogique.x(t)peut être reconstitué à l'aide d'un ltre

passe-bas s'il n'y a pas de recouvrement des spectres, c'est à dire, si la condition f

e

> 2f

_B

est vériée.

Un repliement de spectre peut aussi avoir lieu si un bruit haute fréquence non porteur d'information

se superpose au signal d'entrée. C'est la raison pour laquelle, d'après le théorème d'échantillonnage

développé par Shannon en 1949 [94], un ltre anti-repliement en tête du chemin de conversion est

nécessaire an d'éviter ce risque. La transformée de Fourier dex

_s

(t), deh

_zoh

(t)et l'ensemble dex(n)

s'écrivent :

X

_s

(f) = f

_e ∞

X

i=−∞

X(f−if

_e

)

H

_zoh

(f) = ^{2sin(πf T)}

2πf T ^e

−jπf T

X

o

(f) = X

s

(f).H

_zoh

(f),

|X

₀

(f)| = |X

_s

(f)|.|sinc(

^πf_f e

)|

f

_e

(3.11)

Le blocage de x

_o

(n) durant la période T

_e

se traduit mathématiquement par un sinus cardinal dans

le domaine fréquentiel. Par conséquent, le spectre en bande de base n'est pas ltré, comme le montre

la gure 3.4-b, mais il subit tout de même une erreur de gain si sa fréquence maximale f

B

est juste

inférieure à

fe

2

. Ce phénomène nécessite un suréchantillonnage an d'obtenir de bonnes performances,

ce qui en pratique se produit dans un modulateurΣ∆.

Un échantillonneur-bloqueur introduit naturellement des erreurs. Notamment, pour les signaux haute

fréquence, les limites résident dans le suivi du signal et dans les erreurs de non-linéarité. Un circuit

simple de SAH, en technologie CMOS, peut être conçu avec des transistors et des capacités de

transistor MOSFET comme cela est présenté sur la gure 3.5. Pendant la phase d'échantillonnage,

le transistor M1 est activé ("on", région linéaire). Alors, la capacité C est chargée parx(t). Dans le

phase de blocage, c.-à-d.Φ

₁

= 1, la tension de capacité est isolée du signal d'entrée et reste constante

à la sortie. Généralement pour établir un bon SAH, les transistors NMOS sont souvent utilisés pour

M3

M2

M1

x(t)

ph

1

ph

1

R

on3

R

on1

C _C

v

_c (a) _(b)

Fig. 3.5 a) La structure d'un échantillonneur/bloqueur, b) le modèle électrique du SAH en phase

d'échan-tillonnage

atteindre une vitesse plus élevée, les résistancesR

_on

sont plus faibles que celles des transistors PMOS.

Un transistor fantôme

3

M2 peut être utilisé an de compenser les charges accumulées dans le canal

aux instants de commutation. Pour réaliser la modélisation, nous nous intéressons au modèle simple

du transistor en régime linéaire (triode), ainsi qu'en régime bloqué ("o"). Le transistor agit en

tant que commutateur ( R

_on

≃ 0). Cependant, le transistor réel conduit quand V

_GS

> V

_{T h}

, où

V

_{T h}

est la tension de seuil, puis présente une résistance (R

_on

) (expression 3.6). Les performances du

modulateur peuvent être détériorées par la non-linéarité du circuit de SAH. De nombreuses études

sur des méthodes de compensation de ces erreurs ont été menées [86, 88, 89]. Les trois sources d'erreur

importantes dans un SAH sont les suivantes :

le bruit thermique

l'injection de charge et CFT ("Clock Feedthrough"),

la gigue d'horloge

Le modèle électrique du SAH en phase d'échantillonnage est illustré à la gure 3.5-b. An de calculer

la puissance du bruit thermique, on ajoute une source de tension en série à chaque résistance dans

les deux phases d'échantillonnage. Quand φ est haut, le commutateur M1 est fermé et la densité

spectrale du bruit est :

v

_n,in²

(f) = 4k

B

T R

on

(3.12)

La variance du bruit échantillonné dans la capacité C

_H

est déterminée par l'intégrale de la densité

spectrale de v

_n,in²

(f) multipliée par la fonction de transfert du ltre passe-bas

4

de réseau R

_on

C

_H

,

3. Dummy transistor

4. Comme la largeur de la bande de bruit blanc n'est pas équivalant de celle de −3dB du ltre, cette intégration ne peut pas être simpliée par une multiplication simple de f₋3db = 1

2πRC. Cependant, cette intégration peut être remplacée, ici, par une multiplication par la largeur eective de bruit blanc de ltre passe-bas qui est π

2.f_−3db= 1 4RC.

|

_(1+jRon¹ _CHω)

|

2

:

v

n,out²

=

Z

∞ 0

4k

_B

T R

on

df

1 + (2πf R

_on

C

_H

)

2

= ^k

^B

^T

C

_H

v

n,out,rms

=

r

k

B

T

C

_H

(3.13)

où, l'eet du bruit qui est induit par la résistance du commutateur ne dépend plus de la valeur de

sa résistance R

_on

, et dépend seulement de la valeur de la capacité C

_H

. Cela signie que l'eet du

bruit thermique dans un échantillonneur-bloqueur peut être diminué quand on augmente la valeur

de capacité. Par exemple dans un convertisseur avec une résolution nale de ENOB, on peut estimer

la capacité minimum à utiliser dans la chaîne d'échantillonnage (cas simple), en comparant le bruit

thermique avec l'erreur de quantication supposée σ

²_q

=

^LSB₁₂²

, LSB =

^VF S

2EN OB

, quant V

F S

est la

tension plein échelle de sortie :

C

_Hmin

> ^12.K

^B

^T.2

2.EN OB

V

_{F S}²

(3.14)

Si on limite la puissance de bruit thermique à un quart de celle du bruit quantication (ce qui

cor-respond à une perte d'approximativement 1dB en SNDR nal) on en déduit une valeur minimale de

la capacité d'échantillonnage : C

_Hmin

≥

^48.KBT.22.EN OB

V2

F S

. On obtient par exemple, pour EN OB = 16

bit et V

_{F S}

= 1V, une capacité minimum de853pF.

Pendant la deuxième phase (φ= 0), la charge accumulée dans la capacité reste indépendante de la

variation d'entrée, et peut être distribuée aux circuits suivants. Un éventuel courant de fuite peut

introduire une erreur supplémentaire sur la valeur échantillonnée via le transistor M

₁

qui est dans

l'état fermé, mais elle est heureusement négligeable dans la plupart des cas en technologie CMOS.

Dans le cas de suréchantillonnage du signal avec un facteurOSR, la puissance résultante après ltrage

numérique est réduite de ce même facteur, ainsi la capacité minimum diminue du fait de l'OSR.

D'autre part an de minimiser l'injection de charge CFT, le couplage capacitif entre la commande

φ et la sortie, et la dimension de transistor doit être diminué. L'eet d'injection de charge dans un

commutateur peut être mieux minimisé si on y ajoute un transistor fantôme similaire en série avec un

court circuit entre son drain et sa source qui est excité par le commande φ[91]. De plus le maximum

et le minimum d'amplitude du signal de commande φdoivent se rapprocher de sorte que le courant

de fuite reste assez faible.

Une autre erreur qui peut inuencer le signal échantillonné est induite par l'incertitude du moment

d'échantillonnage (gigue d'horloge). L'eet de la gigue d'horloge peut être estimé par la vitesse de

variation de la sortie ∆v

_out

(n) =v

_out

(n)−v

_out

(n−1) et le taux de la variation du temps

d'échan-tillonnage

∆_Te

Te

comme suit :

P

_∆Te

= ∆

²

v

_out

(n) ^δ

^Te

T

_e

(3.15)

Pour un signal sinusoïdal, le pas de sortie est proportionnel à la fréquence du signal ainsi qu'à son

amplitude, comme le montre la gure 3.6. La puissance maximale de bruit introduite par la gigue

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -150

-100 -50 0

Spectre d'un sinous echantillonné sans gigue

20 40 60 80 100 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

un signal sinous echentillonné, sans effet de la gigue d'horloge.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -150

-100 -50 0

Spectre d'un sinous echantillonné avec un horloge ayant 20% de gigue

20 30 40 50 60 70 80 90 100 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.6

un signal sinous echentillonné influencé par la gigue d'horloge.

(a)

(b)

Fig. 3.6 Eet de gigue d'horloge sur un signal sinusoïdal échantillonné

d'horloge (à l'équation 3.15) doit être inférieure à l'erreur de quantication du système (σ

_q²

). On

suppose que le pas entre deux échantillons peut augmenter jusqu'à la pleine échelle (pire cas). En

l'absence de suréchantillonnage (OSR=1), on obtient alors :

2π

²

V

_{F S}²

.(^δ

^Te

T

_e

^)<

LSB

²

12 (3.16)

A partir de cette expression, la valeur maximale de l'erreur due à la période d'échantillonnage

s'ex-prime par :

δ

_Te

< ^T

^e

3×2

EN OB+2

(3.17)

On estime que la précision de phase de l'horloge d'échantillonnage peut avoir un impact majeur sur

la performance du système. Il est facile de perdre des décibels de plage dynamique (résolution) pour

quelques ppm ("part per million") de gigue. An d'estimer l'erreur autorisée, prenons un exemple. Une

résolution de 16-bits, à une fréquence d'échantillonnage de l'ordre de 300-MHz avec unOSR=1, exige

une précision de phase d'horloge meilleure que4×10

⁻¹⁵

(4 femto-secondes), soit 1 ppm. Cette énorme

précision semble inatteignable même pour une résolution moyenne de 16-bits. On recherche, donc,

des solutions notamment le suréchantillonnage en limitant la bande utile ainsi que la quantication

multibit.

Une autre remarque importante est que l'eet de la gigue d'horloge dépend de la valeur absolue de

la fréquence d'échantillonnage. Par conséquent, les performances d'un système passe-bande peuvent

subir plus de dégradations que celles d'un système passe-bas.

Dans le document Nouvelles techniques d'appariement dynamique dans un CNA multibit pour les convertisseurs sigma-delta (Page 65-71)