Erreurs statiques du CNA

Le modèle statique d'une cellule (normalisée avec ∆ = 1) de CNA réel peut être dérivé de

l'équation 3.41 comme suit :

do

i

(t) =

½

1 +eh

_i

si sv

_i

(nT) = 1

el

_i

si sv

_i

(nT) = 0 (3.43)

où, eh

_i

est l'erreur additionnelle à la sortie de la cellule numéro iquant elle reçoit une entréesv

_i

(n)

au niveau haut, et el

i

est l'erreur pour une sortie au niveau bas. Cette dénition est représentée sur

la gure 3.17. On peut expliquer ce modèle par la relation 3.44 :

do

_i

(t) =sv

_i

(n)[1 +eh

_i

−el

_i

] +el

_i

=sv

_i

(n)[1 +α

_i

] +ǫ

_i

(3.44)

où, les nouveaux paramètres α

i

et ǫ

i

sont des erreurs de type statique nommées erreur de gain et

erreur d'oset de la celluleiet dénies comme : α

_i

= (eh

_i

−el

_i

) etǫ

_i

=el

_i

.

La forme du transitoire de sortie d'une cellule du CNA peut varier par rapport à la commutation

+ + + X d (t)oi sv (n)i

e

li

e

_hi

Fig. 3.17 Modèle statique d'une cellule du CNA réel situe au chemin de retour

appliquée (sv

_i

(n)). Les erreurs dynamiques qui concernent la forme transitoire de la sortie du CNA

sont analysées à la section suivante.

En prenant en compte la non idéalité donnée par l'équation 3.44, la sortie normalisée d'un CNA

s'exprime par :

Do(t) =

M

X

i=1

do

_i

(t) =

M

X

i=1

sv

_i

(n)[1 +α

_i

] +

M

X

i=1

ǫ

_i

(3.45)

Cela peut se simplier en utilisant l'équation 3.42 :

quand: e(n) =

M

X

i=1

α

_i

sv

_i

(n),et ǫ=

M

X

i=1

ǫ

_i

(3.46)

oùe(n)est appelé l'erreur de non linéarité du CNA, qui dépend des caractéristiques des entréessv(n),

donc, qui peut potentiellement produire des distorsions harmoniques. Le terme ǫest appelée l'erreur

d'oset, qui est indépendante de l'entrée.

Le termee(n)est l'erreur la plus importante du CNA multibit que nous allons analyser par la suite. En

revanche, l'erreur d'oset a peu d'inuence sur la performance d'un CNA utilisé dans un modulateur

Σ∆, surtout dans le cas passe-bande. De plus, la réalisation du modulateur en mode diérentiel

peut diminuer l'eet des erreurs d'oset. La seule inquiétude majeure due à l'erreur d'oset apparaît

lorsqu'on utilise deux systèmes identiques en alternance ou en parallèle. Cette architecture peut être

employée aux certains cas de modulateurs à temps continu [23,101].

Un autre résultat provenant de l'équation 3.46 est que le terme e(n) dépend plus du décalage de la

diérence entre la sortie haut et la sortie bas (α

_i

=e

_hi

−e

_li

) de chaque cellule que de leurs valeurs

absoluse. Ce raisonnement peut être intéressant quant on veut optimiser le comportement dynamique

des circuit [31].

La cause d'erreur de α

_i

est détaillée dans la référence [91]. Pour l'instant, nous allons calculer l'eet

des erreurs statiques dues au CNA multibit. Notons que, dans le cas monobit, le termee(n) devient

une simple erreur de gain, (c.-à-d. do(t) = sv(n).(∆ +α) = sv(n).∆

^′

). Il n'y a donc pas d'eet de

non linéarité, ce qui constitue le grand avantage d'un système monobit.

Critères du CNA

Après avoir présenté le modèle du CNA, nous rappelons certains critères qui peuvent être utilisés

pour l'analyse d'un CNA hors du modulateur.

Droite idéale:

La réponse analogique d'un CNA idéal est une fonction identité ayant pour entrée un signal numérique.

Dans le cas normalisé, ∆ = 1, cette droite s'étend de 0 à M = 2

B

comme décrit à la gure 3.15. Si

"x" est la valeur numérique d'entrée, l'expression de la fonction de transfert s'exprime par l'équation

Do(x) =x, pour0≤x≤M.

Droite adaptée:

La caractéristique réelle du CNA est obtenue en additionnant une à une les sorties des cellules qui

présentent des erreurs aléatoires, Do(x) =P

M

i=1

[(1 +eh

_i

−el

_i

) sv

_i

(n)) +el

_i

]. La sommation de ces

variables aléatoires donne une réponse Do(x) qui s'écarte de la droite idéale. Il y a deux manières

d'exprimer cet écart :

dénir la droite des moindre-carrés qui fait apparaître une erreur de gain et une erreur d'oset

supplémentaires.

ou dénir une droite reliant l'origine à l'extrémité de la caractéristique

7

: seule une erreur de

non linéarité de gain apparaît. Cette droite adaptée que nous utiliserons par la suite, peut

7. c.-à-d. [Doadapte(0) =ǫ=PM

i=1elipour x=0] , et [Doadapte(M) =PM

s'exprimer par l'expression suivante :

Do

_adapte

(x) =x

P

M i=1

(1 +eh

_i

)−P

M i=1

el

_i

M ⁺

M

X

i=1

el

_i

=x(1 +α) +ǫ (3.47)

où,α=

PM i=1ehi

M

est le moyenne d'erreur de gain du CNA.

Comme précisé auparavant, l'erreur ǫpeut être négligée

8

car, en pratique, elle ne produit pas

d'har-moniques. Alors, l'équation de la droite adaptée se simplie comme suitDo

_adapte

(x)∼₌x(1 +α).

Erreur de linéarité intégrale, INL:

La courbe réelle du CNA s'écarte de la droite utilisée dans l'équation Eq.3.47 d'une quantité que l'on

appellera "l'Ecart". L'écart peut s'exprimer en "LSB" comme suit :

Ecat(x) = ^Do(x)−Do

_adapte

(x)

Domax

M

(3.48)

Pour faciliter la démonstration, on peut considérer que :

ǫ=

M

X

i=1

el

_i

∼_{= 0}, Do

_max

≃M (3.49)

On dénit alors l'erreur de linéarité intégrale ("Integral Non Linearity error", INL ) du CNA par la

valeur maximale de l'écart. Par conséquent :

IN L(x) =Ecart(x) ≃

x

X

i=1

(1 +α

_i

)−x(1 +

P

M i=1

α

_i

M ⁾

=

x

X

i=1

(1−_M^x )α

i

−

M

X

j=x+1

x

M^α

^j

(3.50)

Si chacune des cellules du CNA présente une erreur aléatoire indépendante et uniformément

distri-buée

9

, la variance d'erreur σ

2

e(x)

, peut avoir une forme simple donnée ci-dessous, si les erreurs α

_i

et

α

j

sont supposées indépendantes pour i6=j:

σ

_e²_(x)

= var[

x

X

i=1

(1−_M^x )α

_i

−

M

X

j=x+1

x

M^α

^j

^{] =var[}

x

X

i=1

(1− _M^x )α

_i

] +var[

M

X

j=x+1

x

M^α

^j

^]

= var[

x

X

i=1

(1−_M^x )α

i

] +var[

M

X

j=x+1

x

M^α

^j

^{] =x(1}− _M^x )σ

²_α

(3.51)

De forme parabolique, cette fonction passe par un maximum quelque part entrex= 0 etx=M. Si

on prend

^∂(σ2e(x))

∂(x)

puis en trouve des point 0, on obtient alors le maximum d'écart qui est en milieu

d'échelle :

IN L

_max

=σ

_e²_(x),max

= ^M

4 ^.σ

2

α

(3.52)

An d'avoir un CNA monotone vis-à-vis de la variation d'entrée, l'INL doit être toujours inférieure

à 0.5LSB.

8. On peut analyser ses eets séparément de ceux desαi

Remarque: L'expression 3.52 est obtenue en utilisant les hypothèses prises dans les équations

pré-cédentes, c'est à dire Do

max

(x) ∼_=M. Connaissant l'écart maximal par rapport à la droite adaptée

3.47, la valeur du LSB change un peu, ainsi que IN L

_max

:

1LSB= 1±σ

_α

√

M , IN L

_max

= ^M

2(1 +

√^σα

M

)^.σ

^α

(3.53)

Par exemple, l'erreur relative sur l'estimation de l'INL pour un défaut d'appariement à l'ordre de1%

est de

1 100√

M

, ce qui est négligeable.

Erreur de linéarité diérentielle, DNL:

Il s'agit de l'erreur d'incrément élémentaire (1 LSB) par rapport à l'incrément théorique. La

caracté-ristique de transfert sera monotone siDN L <1LSB; on s'eorcera de la limiter à 0.5 LSB. Dans le

cas d'un CNA thermométrique cette condition est déjà remplie par la limite de l'INL dans l'équation

3.52, donc le DNL n'y a pas un rôle important.

Dans le document Nouvelles techniques d'appariement dynamique dans un CNA multibit pour les convertisseurs sigma-delta (Page 83-86)