Eet de la gigue d'horloge dans un modulateur CT

Dans le modulateur à temps continu "CT" (gure 3.25-b), deux sources d'erreur dues à une horloge

non idéale existent, au sein du quanticateur et du CNA interne. L'erreur d'échantillonnage, qui se

produit dans le quanticateur est rejetée par le gain de boucle |N T F(s)|. Cependant, l'importance

de l'eet de gigue d'horloge dans un modulateur CT est liée aux commutations du CNA, comme cela

a été montré dans beaucoup de publications. Ceci dû à la forme rectangulaire des signaux de sortie

des cellules du CNA généralement utilisées dans le cas CT. La sortie de la cellule est modulée par

la variation du temps de commutation comme sur la gure 3.26. Dans le cas d'une cellule NRZ, la

gigue inuence la sortie une fois par période si l'entrée de la cellule change, sinon il n'y a pas d'erreur.

En revanche, la gigue d'horloge inuence la sortie non nulle de chaque cellule type RZ deux fois par

période au front montant et au front descendant. Notons que les erreurs induites aux deux fronts

diérents sont en général indépendantes. L'amplitude d'un signal RZ (avec une durée de 50%) est

aussi deux fois plus grande que celle de signal NRZ équivalent.

An de mettre en équation l'eet de la gigue d'horloge, plusieurs méthodes analytiques ont été

développées [33, 40, 43, 108110]. Dans une approche complète, l'eet de la gigue doit être examiné

pour toutes les branches de rebouclage comme dans l'exemple d'un modulateur CT d'ordre trois

sur la gure 3.25-c. Pour chacune des sources, l'erreur de gigue ainsi que la fonction de transfert

de chaque branche à la sortie du modulateur doivent être estimées séparément. Cependant, on peut

constater que l'eet de la gigue est une erreur de type additionnel, et donc, celle du premier étage

joue un rôle plus important que celles des étages suivants. Nous considérons ici seulement l'erreur

du premier étage dans les deux cas NRZ et RZ. En raison de la présence d'au moins un intégrateur

(ou résonateur) entre la sortie du CNA et l'entrée du quanticateur, seule la surface totale du signal,

(charge du R

[(n+1)Te+δτ]

nTe

I(t)dt ), produite par le CNA peut dénir l'erreur de gigue. Donc, la sortie

de chaque cellule est considérée comme un rectangle d'amplitude ∆ et de tailleτ +δτ au lieu de la

forme réelle. De plus nous supposons que la gigue d'horloge est une erreur de type Gaussien (avec

une moyenne nulle). En réalité, elle n'est pas blanche puisqu'elle a une distribution de type

±1

(f−fe)

comme le montre la gure 3.27. An de prendre en compte la forme réelle de la gigue, il faudrait faire

1/f

une analyse plus détaillée, ce qui n'est pas envisagé dans le travail actuel.

Pour un CNA de type NRZ (τ = T

e

), avec une entrée v(n), l'expression de cette erreur est

[43,108111] :

e

j,N RZ

(n) = [v(n)−v(n−1)]^δτ

T

_e

N

_{j,CT,N RZ}²

≃ var[e

_{j,N RZ}

]× ¹

OSR ^=σ

2 ∆_v

× ^σ

2 τ

T

2 e

× ¹

OSR (3.77)

où le spectre de la gigue est supposé blanc,σ

2

∆v

est la variance de la variation d'entrée du CNA, puis

N

_{j,CT,N RZ}²

montre la totalité du bruit de la gigue dans la bande utile. Par conséquent, la résolution

maximale du CNA s'exprime comme suit :

EN OB

_{j,CT,N RZ}

=Log

₂

[ ^M

2√

3N

_{j,CT,N RZ}

^{] =Log}

²

^[

M√

OSR

2√

3 σ

_∆v ^στ Te

] (3.78)

La valeur deσ

_∆v

doit être évaluée en fonction de l'architecture du modulateur et des caractéristiques

du signal d'entrée. Elle dépend en pratique de deux facteurs diérents : la vitesse de variation

d'en-trée, et l'erreur de quantication. Dans le cas d'un modulateur monobit, σ

_∆v

est estimé de manière

analytique [108] et de manière numérique [109] (de l'ordre de

2

3

). Dans le cas d'un CNA multibit, la

valeur exacte deσ

_∆v

vaut entre "1" et

2M

3

[108]. Si on considère que l'entrée du modulateurx(t) est

limitée dans la bande avec un OSR assez grand (par exemple OSR > M), σ

_∆v

reste modérée dans

la limite de 1 LSB. Cela confère au CNA multibit de type NRZ; cela limite ecacement l'eet de la

gigue. Cette expression se vérie par diérentes simulations qui montrent, par exemple, qu'une gigue

de l'ordre de 1% limite la résolution nale d'un modulateur monobit à 8 bit quand l'OSR vaut 64.

Cette même gigue d'horloge limite la résolution du même modulateur mais avec un CNA 4-bit, à 12

bit.

Dans le cas d'un CNA de type RZ, il faut considérer trois diérences par rapport au cas NRZ :

le nombre de fronts pour lesquels la gigue intervient est de deux par période d'horloge,

l'amplitude d'une cellule RZ de largeur d'impulsionτ qui doit être multipliée par

Te

τ

pour fournir

la même énergie,

σ

_∆v

doit être remplacé par la variance d'entrée absolueσ

_v

, car l'eet de gigue d'une cellule RZ

dépend de la valeur absolue d'excitation.

Ainsi, l'eet de la gigue dans la bande utile devint au moins deux fois plus élevé pour le cas RZ que

celui du cas NRZ. Cela peut s'exprimer par la relation suivante [108,110] :

N

_j,CT,RZ²

≃2σ

²_v

× ^σ

2

τ

T

2

e

×_OSR¹ (3.79)

Dans le cas monobit, σ

_v

vaut 2 au lieu de 0.7 pour σ

_∆v

dans l'expression 3.77.

Cependant, une très grande diérence peut apparaître entre le CNA NRZ et le CNA RZ quant ils ont

une structure multibit. Comme on l'a vu précédemment, la variation de l'entrée d'un CNA multibit

est de l'ordre d'un LSB, alors que la valeur d'absolue de l'entrée varie de "0" à "M". Autrement

dit, la résolution maximale d'un CNA de B bit de type RZ peut être limitée par la gigue d'horloge

d'environ (B+1) bits inférieure à celle d'un CNA similaire de type NRZ.

Il existe un cas encore plus mauvais, qui est celui de l'utilisation de deux CNA RZ complémentaires.

Cette structure est un bon candidat pour la conception d'un modulateur à temps continu, on peut

grâce à elle ajuster l'équivalence entre la fonction de transfert DT et CT en faisant varier les coecients

d'un rebouclage multiple [101]. La puissance de bruit de la gigue peut doubler par rapport au niveau

donné par l'équation 3.79 [109].

Il faut rappeler que l'eet de la gigue analysé dans cette section est général de sorte qu'il n'y a pas

diérence selon le type d'application passe-bas ou passe-bande. Cependant, en raison de la présence

directe de la valeur absolue de la période d'échantillonnage (T

e

=

_f¹_e

), dans tous les cas, la performance

d'un modulateur passe-bande est plus susceptible d'être limitée par la gigue que celle d'un modulateur

passe-bas qui fonctionne en général en basse fréquence.

Par ailleurs, nous avons une remarque importante non rapportée dans la littérature sur la diérence

entre le fonctionnement d'un modulateur multibit passe-bande et celle d'un modulateur multibit

passe-bas vis à vis de la gigue d'horloge. En utilisant un CNA RZ dans le cas passe-bas, l'eet de la

gigue est en général indépendant de l'amplitude de l'entrée, alors que, dans le cas passe-bande, cela

est le contraire. Plus de détails sur cette remarque seront donnés au chapitre 6.

Solution proposée an de diminuer l'eet de la gigue

En gros, cinq solutions ont été déjà présentées par lesquelles l'eet de gigue d'horloge, dans un

modulateur Σ∆à temps continu, peut être limité.

utilisation d'un CNA ayant une forme de signal du sortie exponentiel décroissant ("decaying"),

par exemple, de type SCR [43] ou de type sinusoïdal [112,113],

optimisation de la fonction de transfert de bruit de quantication,

utilisation d'un CNA multibit de type semi RZ,

utilisation d'un ltre de type FIR après le CNA,

utilisation des ltres de type "Transmission-line"

Un CNA de type SCR utilise une forme exponentielle produite par une capacité commutée (C) au

travers d'une résistance (R), comme sur la gure 3.28. An de minimiser l'eet de la gigue, la constante

(a) _(b)

Fig. 3.28 Modulateur à temps continu monobit a)avec un CNA de type SCR, b) avec un CNA sinusoïdal

et la dynamique (amplitude) de sortie du CNA doit être d'un ordre plus élevé que dans le cas

normal pour le même niveau d'entrée. Cette structure rend un modulateur CT aussi robuste

vis-à-vis de la gigue qu'un modulateur DT, cependant, certains avantages de réalisation en mode CT

sont malheureusement éliminés. Par exemple, la bande passante, la vitesse de balayage et la plage

dynamique des AOP doivent être conçus avec environ les mêmes limites que celles du modulateur

DT. D'autre part, la réalisation d'un CNA ayant une sortie de forme par exemple sinusoïdale est

en pratique complexe et coûteuse. La fréquence de sortie d'un CNA de forme sinusoïdale doit être

synchronisée par la fréquence de l'horloge d'échantillonnage, ainsi que l'amplitude de ce type de CNA

est au moins3 fois grande que la celle d'un CNA NRZ normal.

La deuxième solution, c.-à-d. l'optimisation de la NTF du modulateur, a été présentée dans [114].

Cette solution est basée sur l'équation 3.77. En négligeant la faible variation d'entrée d'un modulateur

devant le bruit de quanticationσ

_q

, le termeσ

_∆²

v

peut être estimé par la relation suivante :

σ

²_∆ v

= var[v(n)−v(n−1)] =var[(1−z

⁻¹

)V(Z)]

≃ ^σ

2 Q

2π

Z

2π 0

|(1−e

^−jω

).N T F(e

^jω

)|

²

dω (3.80)

σ

²_∆

v

peut être minimisé en minimisant l'ensemble de la multiplication ci-dessus dans la bande, comme

décrit sur la gure 3.29. Elle permet une amélioration limitée en jouant avec NTF, que peut être

Fig. 3.29 Solution proposé an de réduire l'eet de gigue d'hologe en faisant varier NTF a) modèle de

gigue d'un CNA NRZ, b) l'optimisation de NTF dans la bande.

disponible si le bruit de quantication n'est pas à la limite de résolution du système. En plus, si la

gigue a une forme non Gaussienne cette solution devient plus intéressante.

Cependant, nous estimons que le meilleur moyen de lutter contre l'eet de la gigue d'horloge consiste

en pratique à utiliser d'un CNA semi-RZ grâce auquel les avantages du mode RZ peuvent être obtenus

sans subir la contrainte d'eets supplémentaires de gigue plutôt qu'un CNA NRZ [48]. Cette solution

peut aussi être employée avec la solution précédente, pour laquelle nous proposons des circuit au

chapitre 6.

de la bande utile par le ltrage du signal de rebouclage. Cette méthode peut être utilisée pour un

CNA monobit. Dans le cas d'un CNA multibit, les circuits supplémentaires deviennent complexes.

Le principe est représenté sur la gure 3.30 et les détails se trouvent dans les références [111, 115]

CNA

CAN

+

+

-

-X(t) V(n)

Do(t)

1 1

sT

F(z) G(z)

sT

r(t)

y (t)

₁

_{y (t)}

₂

Filtre

semi-numerique

r(t), sans filtre

numerique

[F(z)=G(z)=1]

r(t), avec filtre

numerique

[type: FIR]

1-bit

Fig. 3.30 Solution proposé an de réduire l'eet de gigue d'horloge par un ltrage Semi-FIR sur le signal

de rebouclage a)position du ltre, b)un exemple defonctionement de ltre.

La dernière solution, qui est présentée dans les références [25,26], tente de tirer bénéce de la fonction

de transfert des guide d'ondes, par exemple, celle des "Transmission-line". Une telle fonction de

transfert a des caractéristiques similaire aux circuits à capacités commutées SC. Cette solution n'entre

pas dans le cadre de notre étude parce que, les éléments des guides d'ondes ne sont pas compatibles

avec la technologie actuelle CMOS, de plus ils sont utiles pour des signaux au-delà du Giga-Hertz.

On peut trouver plus de détails dans les références données.

Dans le document Nouvelles techniques d'appariement dynamique dans un CNA multibit pour les convertisseurs sigma-delta (Page 98-102)