Inuence de l'impédance nie de sortie du CNA

40 50 60 70 80 90 100 Input-level SNR,[dB] System-level simulation delta-sigma modulator mismatc mismatc h-error std(.)= h-error std(.)= 1%, 3%, OSR=64 Ideal-case

sans aucune correction

mismatch-error std(.)= 2%,

Fig. 3.19 SNDR du modulateur multibit a) idéal, b) avec un CNA réel ayant 1%, 2% et 3% d'erreur

d'appariement.

3.5.4 Erreurs de non linéarité de la tension de sortie du CNA

Un CNA construit avec les condensateurs (C

i

, i ∈ {1,...,M}) peut avoir un autre type d'erreur

que celles liées au défaut d'appariement des diérentes cellules, lié cette fois à la dérivation de leur

valeur absolue vis-à-vis du niveau de tension de sortie (V

_o

(t) =V

₀

+v

₀

) [3,91].

C

_i

(v

_o

) =C

₀

+c

₁

v

_o

(t) +c

₂

v

²_o

(t) +... (3.63)

Cela produit une erreur de non linéarité (harmoniques) qui n'est pas négligeable si la variation de

tension de sortie est élevée, comme dans le cas d'un convertisseur numérique analogique classique

(sans modulation sigma delta) avec une résolution de 10 bit ou plus. Cependant, dans le cas d'un

CNA interne qui se compose, par exemple, de 16 cellules, cette non linéarité n'est pas vraiment

dégradante.

On peut également constater ce type d'erreur dans le cas d'un CNA composé de sources de courant

pilotées, mais, par la variation de courant fuite dans l'impédance de sortie des cellules, si la résistance

ou la capacité de sortie de la cellule dépend de la tension. Pour un CNA constitué de sources de

courant piloté de faible bit cette erreur est négligeable. Par contre une résistance limitée de la cellule

inuence la performance de ce type de CNA comme nous allons le montrer par la suite.

3.5.5 Inuence de l'impédance nie de sortie du CNA

La gure 3.20 montre un exemple d'une structure simple de CNA thermométrique composée de

sources de courant pilotées et sa cellule de base. Dans le cas simple, chacune des cellules peut être

représentée par une source de courant I

u

et une résistance de sortie R

u

=

_G¹_u

. Si la résistance de

Fig. 3.20 CNA de type source de courant pilotée a) schéma global deM cellules b) une source de courant

et présentation d'erreur d'appariement

charge est supposéeR

_L

=

_G¹

L

, le courant qui passe à travers la charge peut s'exprimer par :

I

_L

(x) = ^x.I

^u

1 +x.G

_u

.R

_L

(3.64)

où, x est l'entrée numérique du CNA. En général, R

_u

est beaucoup plus élevée queR

_L

, etx.G

_u

.R

_L

,

donc, x.G

_u

.R

_L

≪1. Par conséquent, la sortie du CNA peut se simplier :

I

_L

(x)≃x.I

_u

(1−x.G

_u

.R

_L

) =x.I

_u

−x

²

G

_u

.R

_L

.I

_u

(3.65)

Ce qui peut produire une harmonique d'ordre 2. An de limiter cet eet,[x.G

_u

.R

_L

]doit être assez petit

pour l'entrée maximale de x. En supposant une entrée sinusoïdale pleine échellex(t) =

^M₂

+

^M₂

sin(ωt),

dans laquelle le premier terme correspond au niveau équilibre d'un modulateur avec une source de

courant xe, la puissance de cette harmonique peut s'estimer comme suit :

P

_Ru

≃[^M

2

4 ^G

^u

^.R

^L

^.I

^u

^]

2

, σ

_PRu

= ^M

2

4 ^G

^u

^.R

^L

^.I

^u

(3.66)

Quand, I

_u

est supposé égal à 1 pour le pas LSB, la résolution nale du CNA s'exprime comme suit :

EN OB =Log

₂

[ ^M

2√

3σ

_Ru

^{] =Log}

²

^[

2R

_u

√

3M.R

_L

^] (3.67)

Par exemple, une résolution globale de 16 bit avec M=8, R

_L

= 50 Ohm, exige une résistance de

cellule supérieur à 22-Mega Ohm. Si cela n'est pas disponible, alors, on utilise plutôt une structure

en cascade ou même plus complexe [102105].

En pratique, trois autres éléments peuvent intervenir, la résistance et la capacité nies de la cellule à

l'état "o", le courant qui passe au chemin de "V

_DC

−R

_L

−R

_out

", et le capacité parasite à la sortie

C

_eq

=x.C

_on

+ (M−x).C

_{of f}

+C

_par

. Une cellule de CNA de mode courant a aussi une résistance nie

R

_{u,of f}

et une capacitéC

_{u,of f}

.R

_{u,of f}

est en général négligeable devant celle de l'état "on", mais par

contre, la capacité C

_{u,of f}

est de l'ordre de la capacité de l'état "on". Un nouveau modèle de CNA,

C

_L

R

L (1-x ) *Ci u,off xi x =1i Cu,on (a)

i

ui

v

DC (b) Iu,i Iu,i Ru,i

Fig. 3.21 Modèle d'un CNA de type sources de courant piloté avec ses éléments parasitaires ainsi que sa

réponse transitoire.

qui contient ces éléments parasites est représenté sur la gure 3.21. C

_par

est la capacité parasite de

sortie (pour le charge et et les connexions). Le courant de fuite deV

_DC

ajoute une partie pourI

_L

(x)

d'environ

VDC

R_L+^Ru_x

ce qui compense un peu l'inuence de la résistance nie des cellules. Par conséquent,

l'équation 3.64 doit se réécrire :

I

_L

(x)≃ ^x.(I

^u

^+G

^u

^.V

^DC

⁾

(1 +ρx) (3.68)

où, on simplie par :ρ=

^RL

Ru

=G

u

R

_L

. Il est possible de dénir une droite linéaire réelle pour la sortie

de CNA qui passe par les deux extrémités des valeurs données par l'équation 3.68, c.-à-d.I

_L

(0) = 0et

I

L

(M) =

^M.(Iu+Gu.VDC)

(1+ρM)

. Cette ligne appelée droite adaptéeI

_L^′

(x), s'exprime par la relation suivante :

I

_L^′

(x) = ^x.(I

^u

^+G

^u

^.V

^DC

⁾

(1 +ρM) (3.69)

Par conséquent, l'erreur de linéarité du CNA peut s'exprimer comme suit :

∆

_IL

(x) = I

_L

(x)−I

_L^′

(x) =x.(I

_u

+G

_u

.V

_DC

)[ ¹

(1 +ρx) − ¹

(1 +ρM)^]

= ρx(M −x).(I

u

+G

u

.V

DC

) (3.70)

Cette erreur a une forme parabolique qui passe par une valeur maximale pour x =

^M₂

, tout comme

celle de l'erreur d'appariement ( en équation 3.53). L'erreur maximale est estimée selon ∆

I_L

(x) =

ρ

^M₄²

.(I

_u

+G

_u

.V

_DC

). On constate que par cette dénition, V

_DC

ajoute un gain linéaire, donc, il n'a

pas d'inuence sur la linéarité du système. Ce raisonnement n'est pas conforme avec les dénitions et

les discussion présentées par [24,102] en raison de sa dénition qui révèle seulement la non linéarité.

Alors, on peut dénir un nouveau courant de la cellules unitaire comme I

′

u

=I

_u

+G

_u

.V

_DC

. De plus,

dans le cas de réalisation en mode diérentiel, V

_DC

est idéalement xé à zéro. La puissance d'erreur

statique de la résistance nie des cellules vaut σ

2

Ru

= ρ

^M₄²

.I

′

u

2

. En prenant une valeur normalisée

pour la cellule unitaire avec I

_u^′

≡1 la résolution nale s'exprime alors par :

EN OB=Log

₂

[√ ²

3ρM^{] =Log}

²

^[

2R

_u

√

La puissance des harmoniques peut se calculer à partir de l'expression 3.69, qui permet d'estimer

le SFDR. Dans le cas non diérentiel la seconde harmonique est dominante, alors que dans le cas

diérentiel la troisième harmonique limite le SFDR, comme cela est donné par les relations suivantes

[24,102] :

SF DR

_{non−dif f}

= 20Log

₁₀

[1 + ²

ρM^{(1 +}

p

1 +ρM)]

SF DR

_{dif f}

∼_{= 40Log}

₁₀

_{[2(1 +} ²

ρM^)] (3.72)

En ce qui concerne l'eet dynamique de l'impédance de sortie des cellules, l'analyse peut se faire

comme dans le cas statique en posant :

Z(x) = ^R

^u

x k(xC

u,on

)k[(M−x)C

_{u,of f}

kC

L

] = ^R

^u

x kx(C

u,on

−C

_{u,of f}

)k(C

L

+M C

_{u,of f}

) (3.73)

au lieu de

Ru

x

. Cependant, on peut noter que(C

_L

+M C

_{u,of f}

)ne dépend pas de l'entrée x, il ne produit

donc pas d'eet non linéaire; il peut être considéré une partie du ltre de système. Le terme imaginaire

x(C

_u,on

−C

_{u,of f}

), qui dépend de l'entrée, peut être aussi moins gênant parce que la diérence de la

capacité de cellules entre deux état "on" et "o" est en général plus petite que leurs valeurs absolues,

surtout quand on utilise une structure de commutation avec SRD "Swing Reduced Deriver" ainsi que

les transistors fantômes comme nous l'avons proposé dans [51] (voir chapitre 6).

En conclusion, l'eet d'impédance limitée des cellules du CNA est dominé par la résistance, mais pour

un CNA interne CMOS, elle ne pose pas de problème sérieux tant que le nombre des cellules reste

faible. En revanche, d'autres eets comme l'impulsion transitoire "Glitch" et le temps d'établissement

doivent être examinés.

Dans le document Nouvelles techniques d'appariement dynamique dans un CNA multibit pour les convertisseurs sigma-delta (Page 89-92)