La version d’elsA utilisée est la v3.8.03. Les simulations ont été réalisées sur le calculateur Newton du PMCS2i à l’Ecole Centrale de Lyon (pour le maillage G, défini dans la section 3.5.3) et sur le calculateur Occigen du CINES via l’allocation 2019-A0052A07410 accordée par GENCI (pour le maillage G+).
A.1 Modélisation physique de l’écoulement
Le fluide est considéré comme visqueux et conducteur de chaleur, et l’écoulement est compressible et pleinement turbulent. L’état du fluide est complètement déterminé par la donnée de la masse volumiqueρ, de la vitesse absolue V⃗ et de l’énergie totaleE=e+V2/2, oùeest l’énergie interne du fluide. Les équations qui régissent l’état d’un fluide sont les équations de Navier-Stokes, ici présentées dans un référentiel galiléen et en l’absence de termes sources :
∂ ⃗Q
où pest la pression statique,τ est le tenseur de contraintes,E est l’énergie totale du fluide et ⃗q est le flux de chaleur. Des équations supplémentaires sont nécessaires pour fermer le système.
Les lois de comportement suivantes sont supposées :
— Le fluide est newtonien et vérifiant l’hypothèse de Stokes : τ = −23µ(∇⃗.⃗V)I+ 2µS. µ est la viscosité dynamique du fluide. S est le tenseur des taux de déformation égal à la partie symétrique du gradient de vitesse.
— Le flux de chaleur est déterminé par la loi de Fourier :⃗q =−κT∇⃗Ts avecκT le coefficient de conductivité thermique du fluide.
Par ailleurs, le fluide est assimilé à un gaz parfait avec un rapport de chaleur spécifiqueγ = ccpv. La loi d’état suivante est donc vérifiée :
Paramètres numériques dans elsA
— e=cvTs
— Ps=ρrTs
La viscosité évolue avec la température statique selon la loi de Sutherland par rapport à une température statique de référenceTs0 :
µ=µ(Ts0) sTs
Ts0
1 +Tcs0s
1 +cTss (A.3)
La conductivité thermique est relié à la viscosité par l’équation : κT = cpµ
P r (A.4)
où P r est le nombre de Prandtl.
Le système (A.1) est à présent fermé. Sa résolution directe (DNS) serait cependant extrêmement coûteuse, à cause de la simulation des petites échelles de la turbulence. Une façon pour diminuer drastiquement le coût de calcul consiste à résoudre le champ moyen (au sens statistique) et de modéliser la turbulence. Cette approche est appelée RANS pour Reynolds Averaged Navier-Stokes equations. La variableq est ainsi décomposée enq= ¯q+q′, avec ¯q la moyenne d’ensemble deq et q′ la partie fluctuante de q qui vérifie q′ = 0. Pour un écoulement compressible, c’est plutôt la moyenne au sens de Favre qui est utilisée :
˜ q= ρq
¯
ρ (A.5)
La décomposition q= ˜q+q′′ permet d’écrire les équations RANS à partir du système (A.1). Cela a pour effet de faire apparaître en particulier deux nouveaux termes :
— τr = −ρ⃗V′′⊗V⃗′′, appelée le tenseur de Reynolds. L’énergie cinétique turbulente est k =
L’hypothèse de Boussinesq(1877) consiste à procéder par analogie avec le tenseur des contraintes visqueuses pour un fluide newtonien et la loi de Fourier pour modéliser ces deux termes :
τr=−2
avec P rt le nombre de Prandtl turbulent. Il est alors nécessaire de modéliserµt. Cela est réalisé à l’aide d’un modèle de turbulence, souvent à une ou deux équations de transports. Dans ce mémoire, c’est le modèle k−l deSmith (1994) à deux équations qui est utilisé.
Le tableauA.1recense les paramètres numériques utilisés dans les calculs elsA.
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A.2 Discrétisation spatiale et temporelle
Tableau A.1: Paramètres utilisés pour les calculs elsA
Paramètre Valeur
Modèle de turbulence k−l de Smith
Production dek à partir du tenseur de vorticité
A.2 Discrétisation spatiale et temporelle
elsA est un solveur utilisant la méthode des volumes finis centrés aux cellules. En intégrant l’équation (A.1) sur un volume de contrôleD arbitraire, il vient :
d où F⃗cetF⃗d désignent respectivement les flux convectifs et dissipatifs :
F⃗c=
Les flux ont ainsi été séparés pour être évalués avec des schémas numériques différents.
En pratique, l’espace est discrétisé sur un maillage. Cela conduit à discrétiser l’équation (A.8) (ici pour la cellule ià 6 faces) :
Le flux convectifF⃗c est discrétisé avec le schéma de Roe d’ordre 2. Il s’agit d’un schéma décentré amont, utilisé ici pour sa capacité à correctement gérer les écoulements transsoniques. Il est complété par un limiteur de van Albada et une correction entropique de Harten égale à 0.01.
Le flux dissipatifF⃗d est discrétisé par le schéma centré appelé « 5p_corr » dans elsA.
Paramètres numériques dans elsA
L’intégration en temps se fait à l’aide d’un schéma d’Euler rétrograde. Il s’agit d’un schéma implicite qui permet une plus grande stabilité et des CFL supérieurs à 1, mais qui nécessite de résoudre un système linéaire à chaque instant. Cela est fait avec la méthode LU-SSOR (Lower upper symmetric succesive over-relaxation, dérivée de la méthode de Gauss-Seidel).
En pratique, les différents termes de l’équation (A.11) sont seulement approchés par les schémas numériques cités précédemment, et le résidu numérique Ri est défini comme :
Ri=
6
X
j=1
(F⃗ci,j+F⃗di,j)·⃗ni,jSi,j (A.12) Pour un calcul stationnaire, donc où le terme de dérivée en temps dans l’équation (A.11) s’annule, le résidu doit tendre vers zéro à convergence du calcul. En pratique, le pseudo-tempst∗ est introduit et l’équation résolue est :
dQ⃗i
dt∗ +Ri
Vi = 0 (A.13)
Le pseudo-temps n’a aucune signification physique. Le CFL est fixé et identique pour toutes les cellules du maillages. Comme leurs tailles diffèrent les unes des autres, le pseudo-temps est différent pour chaque cellule. Il s’agit d’un artefact numérique destiné à correctement poser le problème à résoudre et à accélérer la convergence.
De la même façon, pour un calcul instationnaire, un résidu instationnaire ˜Ri et un pseudo pas de temps t∗ (ou pas de temps dual) sont introduits :
dQ⃗i
Cette technique se nomme Dual Time Stepping (DTS). A chaque pas de temps physique, la convergence est similaire au cas stationnaire, sur un nombre fixé de sous-itérations.
A.3 Déformation du maillage pour les calculs instationnaires aéro-élastiques
La méthodologie de prédiction du flottement est celle de Carta(1967) décrite dans la partie 1.4.
La déformée de l’aube, la fréquence et l’amplitude sont imposées. La déformée et la fréquence sont calculées avec le solveur SAMCEF. Le maillage déformé correspondant au maximum de déformation du mode est calculé au début de la simulation, puis le maillage déformé à chaque itération est déterminé au moyen d’une interpolation linéaire entre la position au repos et la déformation maximale. Cette méthode n’est valable que pour de faibles amplitudes de déformation afin de rester dans le domaine de déformation linéaire. L’amplitude de déformation est de l’ordre de 0.3% de la corde de l’aube.
L’algorithme de déformation du maillage utilisé est l’algorithme « parallel_move3d » intégré au module AEL d’elsA. Il fonctionne par analogie cellule-ressort, avec une raideur dépendante du volume de la cellule. La déformation est imposée sous forme d’un mode complexe pour tous les nœuds sur la
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A.4 Interface RNA peau de l’aube. Une condition de glissement dans le plan localement tangent à la surface est imposée au carter dans le bloc de jeu, de manière à limiter la dégradation de la qualité du maillage en tête d’aube. De plus, la surface liée au moyeu dans les blocs entourant le pied de l’aube est en équilibre statique et contrainte uniquement par ses liaisons avec l’aube et le reste du moyeu (condition « free » dans elsA). En effet, la déformée du mode imposé est calculée en prenant en compte le disque, ce qui implique un déplacement non nul du pied de l’aube. Pour toutes les autres conditions aux limites, la déformation du maillage est nulle.
A.4 Interface RNA
L’interface RNA (pour Réduction du Nombre d’Aubes) est un type de jonction entre un domaine fixe (lié à un stator) et un domaine tournant (lié à un stator) dans elsA. Pour l’application à une configuration 360◦, cette interface est similaire à une interface de type « sliding mesh » mais avec une méthode d’interpolation moins coûteuse.
La figureA.1schématise le fonctionnement de l’interface RNA à rayon donné pour une grandeur Q (parmi les grandeurs conservatives), pour transférer l’information du domaine 2 vers le domaine 1 : 1. La variable Qi11 est considérée dans le système de coordonnées cylindriques et dans le repère du domaine 1. Il s’agit de la valeur au centre de la face de la cellulei1 sur l’interface RNA, calculée à partir des données aux centres des cellules adjacentes à l’aide du schéma spatial utilisé.
2. Dans le domaine 2, les valeurs Qi22−1, Qi22 etQi22+1 sont obtenues en procédant de la même manière dans le domaine 2, mais sont calculées dans le repère attaché au domaine 1.
3. La valeur ˜Q2(θi1) est interpolée à partir des valeurs Qi2 à la même positionθi1 que le centre de la face de la cellule i1 du domaine 1 sur l’interface.
4. La valeur au centre de la face de la cellule i1 du domaine 1 est actualisée en calculant la moyenne Qi11+ ˜Q22(θi1).
5. Cette valeur est ensuite utilisée pour actualiser les valeurs aux centres des cellules proches dans le domaine 1, selon le schéma spatial employé.
Le même processus est utilisé de façon symétrique pour transférer l’information du domaine 1 vers le domaine 2.
Si les cellules des domaines 1 et 2 ne sont pas localisées aux mêmes valeur de rayon, une étape d’interpolation monodimensionnelle selon le rayon est réalisée au préalable. De plus, les grandeurs turbulentes sont traitées comme des scalaires et ne subissent pas de changement de repère.
Paramètres numériques dans elsA
Domaine 1 Domaine 2
Figure A.1: Schéma de l’interface RNA entre deux domaines à rayon donné. Les valeurs de la grandeurQ sont calculées au centre des faces. ˜Q est une valeur interpolée.
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