Notion de mode de conduit

Enfin, pour simplifier les calculs par la suite, la notation complexe est introduite :

˜

p(−−→OM , t) =e^{i ωt−⃗k.}

−−→OM

(2.4) où i²=−1 et p(−−→OM , t) = Rep˜(−−→OM , t)

Les projections de⃗ksur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées sont notées respectivement k_x etky. Leurs normes sont donc liées par la relation :

k² =k²_x+k_y² (2.5)

La longueur d’onde absolue λ, la longueur d’onde dans la direction x λx et la longueur d’onde dans la direction y λ_y sont quant à elles liées par la relation :

1 λ² = 1

λ²_x + 1

λ²_y (2.6)

Ces relations sont représentées graphiquement sur la figure2.1b.

2.2 Notion de mode de conduit

2.2.1 Structure générale d’un mode de conduit

La synthèse qui suit s’appuie sur les cours de Roger (2011), Rienstra (2015) et Rienstra et Hirschberg (2016). Pour simplifier l’algèbre dans un premier temps, la veine fluide est assimilée dans cette partie à un conduit annulaire infini. Le rayon au carter est noté R_c et le rayon au moyeu est noté Rm (éventuellement nul). Le rapport ˜h = Rm/Rc est appelé le rapport de moyeu. Le repère de référence est le repère fixe attaché au conduit. Le fluide est considéré comme non visqueux, compressible et assimilable à un gaz parfait. L’écoulement est subsonique, irrotationnel, isentropique, uniforme et axial, de telle sorte que la vitesse s’écritV⃗ =Mxa ⃗ex, oùMx supposé positif est le nombre de Mach axial, a est la vitesse du son et e⃗_x est la direction de l’axe du conduit. De plus, chaque variable aérodynamique est décomposée comme la somme d’une valeur moyenne et d’une composante harmonique de pulsation ω.

Dans ces conditions, les ondes acoustiques s’organisent nécessairement comme une somme de modes de conduit :

p(x, r, θ, t) =

+∞

X

m=−∞

+∞

X

µ=0

p_m,µ(x, r, θ, t) (2.7) L’indice m est l’ordre azimutal du mode. Il correspond au nombre de diamètres nodaux. L’indiceµ est l’ordre radial du mode. Il correspond au nombre de cercles nodaux. Les diamètres et les cercles nodaux sont des lignes séparatrices entre des lobes, dans lesquelles les fluctuations de pression sont alternativement positives et négatives. Des exemples de modes de conduit sont illustrés sur la figure 2.2.

Acoustique dans l’entrée d’air

−1 0 1

Re(p)

Figure 2.2: Modes de conduit (m, µ) = (2,0) à gauche et (m, µ) = (4,2) à droite. Les diamètres nodaux sont en lignes pleines et les cercles nodaux sont en lignes pointillées.

L’ensembleL² des fonctions de carré intégrable définies de (r, θ)∈[R_m, R_c]×[0,2π] dansC est muni du produit scalaire :

⟨f, g⟩= 1 2πR²_c

ˆ _2π

0

ˆ _Rc

Rm

f(r, θ)g^∗(r, θ)rdrdθ (2.8) Les modes de conduit forment une base orthogonale de L². Par conséquent, il existe une unique décomposition du champ de pression instationnaire sur l’ensemble des modes de conduit, et pour 2 modes (m, µ) et (n, ν) non nuls :

⟨p_m,µ, p_n,ν⟩= 0 ⇐⇒ m̸=n ou µ̸=ν (2.9) La norme qui dérive de ce produit scalaire est :

∥f∥L² =^q⟨f, f⟩ (2.10)

Par définition, l’amplitude d’un mode est égale à sa norme.

Pour chaque mode (m, µ), il existe une composante qui se propage de l’amont vers l’aval (par la suite appelée mode aval) et une composante qui se propage de l’aval vers l’amont (par la suite appelée mode amont). La relation (2.7) est réécrite sous la forme :

p(x, r, θ, t) =

+∞

X

m=−∞

+∞

X

µ=0

p⁺_m,µ(x, r, θ, t) +p⁻_m,µ(x, r, θ, t) (2.11) où p⁺_m,µ désigne un mode aval et p⁻_m,µ désigne un mode amont.

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2.2 Notion de mode de conduit

L’expression générique du modep^±_m,µ est :

p^±_m,µ(x, r, θ, t) =A^±_m,µψm,µ(r)e^{−ikxm,µ± x}e^i(ωt−mθ) (2.12)

=A^±_m,µψ_m,µ(r)e^{kxm,µI,± x}e^{−ikxm,µR,± x}e^i(ωt−mθ) (2.13) avec k^±_xm,µ =k^R,±_xm,µ+ik_x^I,±_m,µ, et où :

— A^±_m,µ est un coefficient d’amplitude complexe.

— ψm,µ(r) est la distribution radiale du mode. Par convention, sa norme est égale à 1.

— e^{kxm,µI,± x} correspond à la variation de la norme du mode dans la direction axiale.

— e^−ik

R,±

xm,µx correspond à la propagation du mode dans la direction axiale.

— e^i(ωt−mθ) correspond au caractère pulsant et tournant du mode.

Le terme k_x^±_m,µ est appelé nombre d’onde axial du mode (m, µ) amont ou aval.

Le mode (0,0) est un cas particulier. Il s’agit du mode plan, pour lequel ψ_0,0(r) = √^√2

1−˜h² et k^±_x0,0 = _1±M^±k_x. L’expression (2.12) se simplifie beaucoup dans ce cas :

p^±_0,0(x, r, θ, t) =A^±_0,0

√2

p1−˜h²e^{−i1±Mx±k x}e^iωt (2.14) Si m̸= 0 le mode se propage dans le plan (x, rθ) en tournant autour de l’axe du conduit. On parle alors de mode spiral ou hélicoïdal. Les surfaces iso-phase sont telles quek_x^R,±_m,µx+mθ est constant, et un exemple est illustré par la figure 2.3. Le sens de rotation du mode autour de l’axe est déterminé par le signe de m.

Figure 2.3: Surface à iso-phasek^R,±_xm,µx+mθ d’aprèsRienstra (2015)

Compte tenu que∥ψ_m,µ∥L² = 1, la norme du mode à la position axiale xest égale à :

∥p^±_m,µ∥L²(x) =|A^±_m,µ|e^kI,±xm,µx (2.15) Celle-ci dépend de la position xsik^I,±_xm,µ est non nul. Par ailleurs, la phase du mode ne dépend pas du rayon r. L’expression « phase du mode (m, µ) à la positionx » désigne par la suite la phase dep^±_m,µ

Acoustique dans l’entrée d’air

à la position axialex pour θ= 0 ett= 0. Elle est notée ϕ^±_m,µ et vaut d’après l’équation (2.13) : ϕ^±_m,µ(x) = argp^±_m,µ(x, r=R_c, θ= 0, t= 0) (2.16)

= argA^±_m,µ−k^R,±_xm,µx (2.17)

Il apparaît dans l’équation (2.17) que la phase varie linéairement selon la position x (dans le cas simplifié considéré dans cette section). L’équation (2.12) peut finalement être réécrite :

p^±_m,µ(x, r, θ, t) =∥p^±_m,µ∥L²(x)e^iϕ±m,µ(x)ψm,µ(r)e^i(ωt−mθ) (2.18) La suite explicite la structure radiale du mode et sa structure hélicoïdale dans le plan (x,rθ).

2.2.2 Structure radiale du mode

La relation de d’Alembert décrit la propagation des ondes de pression dans le milieu fluide :

∆p− 1 a²

D²p

Dt² = 0 (2.19)

avec la dérivée particulaire qui s’écrit : D Dt = ∂

∂t+V . ⃗⃗ ∇= ∂

∂t+M_xa ⃗e_x. ⃗∇ (2.20)

L’hypothèse que les fluctuations de pression sont harmoniques permet de réécrire l’équation (2.19) sous la forme de l’équation de Helmhotlz convectée :

∂²p

La recherche d’une solution séparable enx,r,θ permet alors de résoudre l’équation (2.21).

Le mode a une structure stationnaire dans la direction radiale et la répartition radiale du mode ψm,µ(r) (voir équation (2.12)) est solution de l’équation de Bessel :

d²ψ_m,µ

Dans le cas d’une géométrie annulaire, telle qu’au niveau du spinner proche du fan, les solutions sont de la forme :

ψ_m,µ(r) =N_m,µJ_m(k_rm,µr) +M_m,µY_m(k_rm,µr) (2.23) où J_m etY_m sont les fonctions de Bessel d’ordre m de première espèce et de seconde espèce respecti-vement. Pour obtenir des détails sur les propriétés mathématiques des fonctions de Bessel, il est par exemple possible de se référer à l’annexe D de Rienstra et Hirschberg (2016).

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2.2 Notion de mode de conduit