Notion de mode de conduit Lorsque le terme sous la racine carrée dans l’équation (2.40) s’annule, le nombre d’onde est égal

au nombre d’onde de cut-on :

kc=krm,µ

q1−M_x² (2.42)

qui peut également s’exprimer en terme de fréquence de cut-on (ou fréquence de coupure) : f_c= k_ca

2π = krm,µa 2π

q1−M_x² (2.43)

Il est rappelé que Mx<1. Il est important de noter que la fréquence de cut-on est identique pour les modes (m, µ) amont et aval. La condition pour qu’un mode soit cut-on s’écrit alors :

k > k_c (2.44)

Une façon pratique pour visualiser les modes qui se propagent pour un nombre d’ondekdonné est de représenter graphiquement la relation de dispersion (2.39), tel que cela a par exemple était fait parHarel et Perulli (1971). La figure2.5amontre ainsi les valeurs que prendk^R,±_xm,µR_c en fonction de kRc pour les modes (0,0), (2,0) et (3,0), avec ˜h = 0 et Mx = 0. Pour m ̸= 0, le lieu géométrique parcouru est une hyperbole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ses asymptotes sont les droites correspondant au cas dégénéré du mode plan (0,0), d’équationsk^R,±_x0,0 =±k. De plus, ce mode est cut-on quelle que soit sa fréquence. La zone grisée correspond aux nombres d’ondek < kc2,0 : le mode (2,0) est cut-off dans cette zone. Le nombre d’onde de cut-onk_c2,0 est indiqué par le cercle plein. Au delà de cette valeur, pour un nombre d’onde kdonné, deux valeurs du nombre d’onde axial sont admises (repérées par les carrés pleins pour kRc = 4) : k_x^R,+_2,0 qui correspond au mode aval et qui est positif, et k^R,−_x2,0 qui correspond au mode amont et qui est négatif. Par ailleurs, l’hyperbole correspondant au mode (3,0) (en rouge) est décalée vers les plus grandes valeurs de kRc par rapport à celle du mode (2,0) (en vert). Cela traduit le fait que plus l’ordre du mode (azimutal et radial) est élevé, plus son nombre d’onde de cut-onk_c est élevé. Le conduit se comporte donc comme un filtre passe-bas en terme d’ordre du mode, et un filtre passe-haut en terme de fréquence.

Le cas avecM_x= 0.5 est illustré par la figure2.5b. L’influence de l’écoulement se manifeste de deux manières :

— La valeur de k_c2,0 est réduite par rapport au cas sans écoulement (la zone grisée est moins haute). Le mode (2,0) est donc cut-on pour des fréquences plus faibles que sans écoulement.

Cela est dû au terme ^p1−M_x² dans l’équation (2.42).

— L’hyperbole est à présent inclinée vers les valeurs négatives de k^R_xm,µR_c. Les asymptotes, correspondant au mode (0,0), ont pour équations k_x^R,±_0,0 = _1±M^±k_x.

L’influence du nombre de Mach axial surk_cest à présent étudiée plus en détail. La figure 2.6a montre l’évolution de kcen fonction de Mxpour différents modes. PlusMx est élevé, pluskcest faible.

Il est rappelé que le nombre d’onde de cut-on est le même pour le mode amont et pour le mode aval.

A la limite quand Mx →1, tous les modes deviennent cut-on.

Enfin, la figure2.6bmontre l’évolution dek_c en fonction du rapport de moyeu ˜h. Le comportement diffère selon l’ordre radial des modes. Pour les modes avec µ= 0, kc diminue faiblement quand ˜h augmente. Au contraire, pour les modes avec µ= 1,kc varie davantage et augmente pour des valeurs

Acoustique dans l’entrée d’air

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

k_x^R_m,µRc 0

2 4 6 8 10

kRc

kx^R,+m,µ

k^R,−xm,µ Mode (3,0)

Mode (2,0) cut-off

Mode (2,0)

Mode (0,0)

(a)Mx= 0

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

k_x^R_m,µRc 0

2 4 6 8 10

kRc

k^R,+xm,µ

k^R,−xm,µ Mode (3,0)

Mode (2,0) cut-off

Mode (2,0) Mode (0,0)

(b)Mx= 0.5

Figure2.5: Relation de dispersion pour les modes m= 0,2,3 etµ= 0 pour ˜h= 0.

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2.2 Notion de mode de conduit élevées de ˜h. La tendance est la même pour les modes avec µ >1. Par conséquent, la présence du moyeu favorise la propagation des modes avec µ= 0 au détriment des modes avec µ >0.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Figure 2.6: Influence du nombre de Mach axialMx et du rapport de moyeu ˜hsur le nombre d’onde de cut-on k_cpour les modes (m, µ) avec m= 0,1,2,3 et µ= 0,1

2.2.4 Concept de mode amont inverse

L’expression (2.40) permet également de déterminer la vitesse de propagation axiale du mode.

En réalité, comme pour toute onde, il est possible de définir deux vitesses caractéristiques du mode.

D’une part, la vitesse de phase est définie comme : v_ϕ^±= ω

k^R,±xm,µ

= ka kx^R,±m,µ

(2.45) Il s’agit de la vitesse de défilement des fronts d’onde dans le repère fixe. Son signe est le même que k^R,±_xm,µ.

D’autre part, la vitesse de groupe est obtenue en dérivant la relation de dispersion (2.39) par rapport à k_x^R,±_m,µ pour Mx etaconstants :

Elle caractérise la vitesse de transport de l’énergie acoustique. Elle n’est pas en général égale à la vitesse de phase. Il se peut même que la vitesse de phase et la vitesse de groupe soient de signes opposés. Le mode, qui se propagerait vers l’amont s’il n’y avait pas d’écoulement (v_ϕ⁺<0), est en réalité convecté vers l’aval (v_g⁺>0). Un tel mode est appelé mode amont inverse. L’énergie acoustique est propagée vers l’aval, mais les fronts d’onde se déplacent vers l’amont. Ce comportement n’apparaît que sur un intervalle étroit de fréquences, juste au-delà de la fréquence de cut-on du mode.

Ce phénomène est illustré sur la figure2.7. La vitesse de groupe se lit comme la pente de la courbe.

Le fait que l’hyperbole associée au mode (2,0) soit inclinée (du fait de l’écoulement) fait apparaître

Acoustique dans l’entrée d’air

une zone (en bleu) dans laquelle :

v_ϕ⁺= ω

Il s’agit donc bien d’un mode amont inverse. Par ailleurs, pour la même valeur dekRc, la pente de la courbe pour un mode amont est inférieure en valeur absolue à la pente pour un mode aval. Retranscrit en terme de vitesse de groupe, on retrouve qu’un mode amont, qui « lutte » contre l’écoulement, se propage moins vite qu’un mode aval.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

2.3.1 Extension du modèle de mode de conduit pour une géométrie lentement variable

La théorie détaillée dans la section2.2 n’est pas applicable telle quelle pour décrire la propagation des ondes acoustiques dans l’entrée d’air. En effet, la géométrie n’est pas assimilable à un cylindre infini avec un écoulement uniforme, notamment à cause de la présence du spinner et de la forme du bord de l’entrée d’air. La géométrie de l’entrée d’air est schématisée sur la figure 2.8. La veine est localement cylindrique dans l’entrée d’air, et localement annulaire au voisinage du fan.

Rienstra (1999) développe un modèle qui étend la théorie des modes de conduit cylindrique ou annulaire au cas où la géométrie et l’écoulement sont variables selon la positionx dans la direction de l’axe du conduit. Les hypothèses de ce modèle sont les suivantes :

— Le conduit est axisymétrique.

— Les rayons moyeu et carter sont lentement variables selon x. Le raccord entre une portion cylindrique (sans moyeu) et une portion annulaire n’introduit pas de continuité du mode.

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