Order of magnitude scaling

le signe d’un changement de régime pour le problème étudié ; une loi en puissance doit être utilisée pour chaque régime. La seconde contrainte liée à l’utilisation des lois en puissance est la difficulté d’effectuer les régressions. On peut mettre ces lois sous forme linéaire simplement en utilisant des logarithmes, mais dans certains cas, la régression est mal conditionnée et il est nécessaire de faire appel à des méthodes de test de modèles [27].

8.4.2 Conclusion

En physique des plasmas, Yask’o a montré que l’analyse inspectionnelle est la méthode qui permet d’obtenir les meilleurs résultats du fait du grand nombres de processus physique intervenant dans une décharge. Depuis les années 1960, cette méthode a été largement utilisée sur bon nombre de dispositifs de décharge [25]. Cette technique est encore d’actualité puis-qu’elle a récemment été mise en œuvre pour caractériser les jets de plasmas laminaires issus de torches à plasma [28].

8.5 Order of magnitude scaling

L’order of magnitude scaling est une méthode qui permet de transformer les équations différentielles d’un problème physique en équations algébriques plus simples à résoudre. Leur résolution fournie des valeurs caractéristiques qui capturent les phénomènes physiques des domaines considérés. Cette méthode a été développée par P. Mendez au cours de sa thèse de doctorat [29] et de ses nombreuses publications [30, 31]. Elle permet d’automatiser la recherche des phénomènes prépondérants à l’aide de la méthode de la balance dominante [32]. Ainsi, pour les problèmes dont la géométrie est simple et la physique compliquée, il est aisé de trouver les phénomènes importants pour ensuite en déduire des valeurs caractéristiques. Le principe de cette technique est ancien, elle nécessitait un grand sens physique ou des calculs laborieux pour obtenir des résultats probants sur des problèmes complexes.

Nous allons tout d’abord nous pencher sur la résolution d’un système d’équation à l’aide de la méthode de la balance dominante. Cette méthode est la pierre angulaire de l’OMS.

L’algorithme de traitement de l’OMS sera présenté puis l’on s’attardera sur les limites de la méthode. Enfin, on tentera de proposer des solutions afin de lever ces limites.

8.5.1 Méthode de la balance dominante

La méthode de la balance dominante est une méthode de résolution d’équation approchée, elle permet dans certains cas l’obtention rapide de solutions. Elle consiste tout d’abord à identifier les termes qui semblent petits dans les équations afin de les supprimer. Lorsque le problème simplifié est résolu, on vérifie la consistance de notre solution approximée, c’est à dire que l’on vérifie que les termes négligés sont bien petits.

Afin d’illustrer le fonctionnement de cette méthode, résolvons le système d’équations sui-vant de manière approchée :

30x−2y= 13

4x+ 4y= 6 (8.31)

On remarque sur la première équation que le coefficient devantx est beaucoup plus grand que le coefficient devant y. On peut donc omettre le terme en y, ce qui nous donne x ≈

94 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle 13/30 ≈ 0.43. En remplaçant x par son expression dans la deuxième équation du système, il vient y ≈ 1.07. Afin de vérifier si l’approximation est consistante, on examine le ratio du second terme sur le terme choisi comme prépondérant :2y/30x= 0.16. La consistance donne une indication sur le choix des termes prépondérants de l’équation. Si un ratio est supérieur à 1, cela signifie que le terme choisi comme prépondérant ne l’est pas en réalité. Le résultat obtenu est assez proche de la solution exacte du systèmex= 0.5,y= 1. Comme on peut le constater, cette approximation ne sera bonne que si un terme prépondérant existe dans l’équation. De même, une solution du système consistante n’implique pas forcément que celle-ci soit correcte.

On prendra pour preuve des systèmes d’équations mal conditionnés.

8.5.2 Order of magnitude scaling Principe général

La méthode order of magnitude scaling consiste à transformer un système d’équations différentielles en système d’équations algébriques. Cette transformation se fait grâce à une renormalisation de chaque terme de l’équation de façon à ce que chaque fonction normalisée soit de l’ordre de grandeur de 1 (OM(1)). Ainsi, l’importance de chaque terme peut être estimée à l’aide des coefficients de normalisation. Le choix des termes prépondérants se fait à l’aide d’une méthode de la balance dominante modifiée tandis que chaque grandeur inconnue est déterminée par une simple résolution de système algébrique.

Prenons un exemple simple telle que l’équation de conservation de la masse en mécanique des fluides pour illustrer cette méthode. Pour ce problème, on imagine que l’on cherchera à obtenir une estimation de la vitesse selon y. :

ρ∂v_x

∂x +ρ∂v_y

∂y = 0. (8.32)

v, la vitesse, est une variable dépendante, x ety sont des variables indépendantes tandis que ρ est un paramètre physique.

Sur le domaine d’intérêt, la normalisation des différentes variables se fait de la manière suivante :

v_x=v_xmin+v_xcv_x∗, (8.33)

v_y =v_ymin+v_ycv_y∗. (8.34)

x=x_min+x_cx∗, (8.35)

y=y_min+y_cy∗. (8.36)

Les valeurs caractéristiques, repérées par un indice c, sont choisies sur le domaine de manière à ce que les fonctions adimensionnées soient bornées entre 1 et 0 inclus. Si l’on réécrit les différentes dérivées à l’aide des fonctions normalisées, on obtient :

∂v_x

8.5. Order of magnitude scaling 95 Le signeˆpermet de repérer les grandeurs inconnues. Supposons pour l’instant que les diffé-rentes dérivées normalisées sont de l’ordre de grandeur de 1. Le choix des termes prépondé-rants de l’équation peut se faire à l’aide de la méthode de la balance dominante. Ici, seuls deux termes interviennent dans l’équation, il n’y a donc pas lieu de l’utiliser. Dans les autres cas, on va choisir deux termes supposés prépondérants qui vont servir à l’adimensionnement de l’équation et négliger tous les autres. Cela permettra d’obtenir des estimations d’inconnues que l’on utilisera ensuite pour vérifier la consistance de notre approximation.

Ici, comme il n’y a que deux termes et une inconnue, le terme en y est choisi pour adimen-sionner l’équation :

Les dérivées normalisées sont supposées approximativement égales, on en tire donc que : v_xcy_c

x_cvˆ_yc = 1 (8.40)

ˆ

v_yc = v_xcy_c

xc (8.41)

On obtient ainsi une estimation de la valeur caractéristique inconnue. Il est intéressant de remarquer que l’estimation est une fonction en puissance des paramètres physiques et des valeurs caractéristiques connues du problème.

Généralisation et algorithme

L’intérêt de cette méthode est qu’elle peut être appliquée pour des problèmes impliquant de nombreux phénomènes physiques i.e. de nombreuses équations. Dans ce cas, la recherche des termes prépondérants ne peut pas être menée manuellement et une résolution informatique doit être envisagée. Nous allons pour cela, utiliser le fait que les estimations obtenues sont des lois en puissance.

Considérons un problème hypothétique tel qu’un écoulement de fluide entre deux plaques.

Les équations décrivant le problème seront :

ρ∂v_x

Avecρla masse volumique du fluide considéré,v_xetv_y les composantes de la vitesse du fluide.

Les inconnues seront les vitesses caractéristiques enx et en y.

La première étape consiste à normaliser l’ensemble des équations. Supposons toujours que les différentes dérivées normalisées sont de l’ordre de grandeur de 1, ce qui n’est pas forcément le cas, comme nous le verrons plus tard. Pour l’équation (8.42), on aura :

C1 =ρv_xc xc

; C2 =ρv_yc yc

; (8.45)

96 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle Afin de tirer avantage des expressions en puissance des estimations, on définit la matrice des coefficients [C] dont les lignes représenteront le logarithme de chaque coefficient et les colonnes les paramètres et estimations du problème.



Pour chaque équation, un coefficient va être choisi comme étant prépondérant, c’est là que débute la méthode de la balance dominante modifiée. Il va servir à adimensionner l’ensemble des coefficients de l’équation restants. Au niveau de la matrice des coefficients, ces calculs re-viennent à des soustractions de la ligne du coefficient choisi. La matrice contenant les nombres adimensionnels est notée[N]. Voici un exemple d’une matrice [N]produite en adimensionnant toutes les équations par leur premier terme :



. Seul deux termes vont être considérés dans chacune des équations. Le terme servant à adimensionner est implicitement pris en compte du fait de l’adimensionnement. On sélectionne autant de lignes dans [N] que d’inconnues. On prendra soin de ne se limiter qu’à une ligne par équation et de ne pas sélectionner une ligne de zéro.

Les lignes sélectionnées permettent d’obtenir les estimations des inconnues.

8.5. Order of magnitude scaling 97

[N p] [N s]

lnN₂ 0 0 1 −1 0 −1 1 lnN₄ 0 0 1 −1 0 −1 1

(8.49)

[E] =−[N s]⁻¹.[N p] (8.50)

Le calcul de[E], la matrice des estimations, est une généralisation de la relation (8.41) pour les cas à plusieurs équations. Les lignes de[E]correspondent au logarithme des estimations tandis que les colonnes correspondent aux différents paramètres du problème. Pour que le système puisse être résolu, il faut que la matrice [N s]ne soit pas singulière i.e. que son déterminant soit non nul. Si [N s] est singulière, les lignes choisies pour le calcul des estimations sont redondantes, et de nouvelles lignes doivent être sélectionnées.

Lorsque les estimations des inconnues ont été obtenues à l’aide de[E], on vérifie la consis-tance de nos approximations en s’assurant qu’aucun nombre adimensionnel N_i négligé soit supérieur ou égal à 1. Si ce n’est pas le cas, cela signifie que les termes choisis ne sont pas prépondérants.

On testera tous les adimensionnements et toutes les combinaisons de N_i possibles afin d’être sûr d’obtenir une estimation correcte. En effet, nous avons mentionné précédemment que la consistance d’une approximation n’était pas suffisante pour prouver que la solution obtenue est correcte. Il est donc nécessaire, lorsque tout les jeux d’estimations possibles ont été trouvés, d’utiliser son sens physique afin d’écarter les résultats qui paraissent farfelus.

Utilisation des conditions aux limites

Jusqu’à maintenant, nous n’avons pas discuté des conditions aux limites et de leur utilisa-tion. Elles interviennent dans la méthode lors de la normalisation des équations du problème.

Elles permettent de déterminer les différentes valeurs caractéristiques et/ou leur emplacement.

Par exemple, si l’on reprend le problème de l’écoulement entre deux plaques, on sait grâce aux conditions aux limites quevxetvy sont nuls au niveau des parois. Au centre de l’écoulement, la dérivée devxest nulle, on en déduit donc que la valeur maximum de vxse situera au milieu de l’écoulement.

Normalisation des dérivées

Nous avons supposé jusqu’à présent que les valeurs caractéristiques des dérivées étaient toujours de l’ordre de grandeur de 1 ; ce n’est généralement pas le cas. Pour s’en assurer, nous allons considérer une grandeur qui varie en x³ pour x compris entre 0 et 3 :

x=xmin+xcx∗ x∈[0,1] (8.51)

U(x) =Ax³ x∈[0,3] (8.52)

U(x) =U min+Ucu∗ U min= 0, U c=A.3³ (8.53) Calculons la dérivée normalisée de cette expression :

dU dx = U_c

x_c du∗

dx∗; (8.54)

98 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle

du∗

dx∗ = 3x∗²; (8.55)

Pour x∗ = 1, la valeur de la dérivée normalisée sera de 3. On en déduit donc que :

du∗

dx∗ 6=OM(1). Si l’on se place dans les cas asymptotiques, le fait d’avoir une dérivée qui n’est pas de l’ordre de grandeur de 1 aura pour effet d’augmenter considérablement l’erreur. Il est donc recommandé de calculer analytiquement les dérivées normalisées de manière à corriger les coefficients de normalisation. Ici, il faudrait lui ajouter la constante1/3afin d’obtenir des résultats corrects.

L’intérêt de la méthode OMS est de s’affranchir de la recherche de fonctionnelles pour se focaliser sur les valeurs caractéristiques ; or, nous venons de voir que l’obtention de valeurs caractéristiques correctes étaient lié à la connaissance des fonctionnelles. Mendez propose de s’affranchir de ce problème en examinant la forme des solutions de problèmes similaires. A cette occasion, il a répertorié les solutions types en coordonnées cartésiennes de nombreux problèmes physiques unidimensionnels [31].

8.5.3 Calcul des intégrales

La normalisation des intégrales est soumise aux mêmes difficultés que le calcul des dé-rivées. Il est nécessaire de connaître la forme des fonctionnelles afin d’obtenir des intégrales correctement normalisées. Là encore, Mendez propose des solutions types unidimensionnelles afin de corriger les coefficients de normalisation.

8.5.4 Limites de la méthode et améliorations

La méthode OMS présente de nombreuses limites. Comme nous l’avons vu, il est nécessaire de connaître les fonctionnelles pour normaliser correctement les dérivées et les intégrales.

Les fonctions que Mendez propose fonctionnent uniquement pour des problèmes simples en coordonnées cartésiennes. De plus, certaines d’entre elles comme les polynômes sont fournies avec des coefficients de normalisation erronés. Afin de s’affranchir de ces limites, on peut utiliser la symétrie du problème ainsi que les conditions aux limites afin de fabriquer une fonction sensée représenter l’évolution de notre grandeur sur le domaine d’étude. La fonction construite doit être la plus simple possible. Dans les cas où rien n’est connu, on utilisera des relations linéaires en ayant pris soin au préalable de vérifier que ce choix n’engendre pas de problèmes au niveau des équations différentielles (terme de dérivée seconde nul). Par exemple, le choix de vitesses variant de manière linéaire dans un problème de mécanique des fluides entraînera de facto l’omission de termes représentant les contraintes visqueuses.

Une autre limite importante de la méthode concerne le calcul des intégrales en coordonnées cylindriques. Le résultat de l’intégrale dépend de ces bornes et non de la taille du domaine d’intégration. Prenons par exemple l’intégrale d’une fonction affine décroissantef(r) =b−ar entre rmin et rmax. De manière exacte, on a :

I = 2π Le coefficient de normalisation pose de gros problèmes car il se présente sous la forme d’une somme. Il nous est impossible d’intégrer correctement ces facteurs dans la méthode, surtout si une des longueurs caractéristiques est inconnue. Si fmin est nul, on obtient :