Mesures macroscopiques
7.3 Le modèle d’Elenbaas-Heller
∇ ×~ B~ =µ0~j+µ0ǫ0∂ ~E
∂t ; (7.4)
~j =−σ ~E; (7.5)
avecE~ le champ électrique défini parE~ =−∇~V.
Afin de prendre en compte l’auto-entretien de la décharge par effet Joule, l’équation de conservation de l’énergie suivante est résolue :
ρ∂h
∂t +ρ~v.~∇h=∇~(λ~∇T) +~j. ~E−Q (7.6) Avec~j. ~Ele terme source correspondant à l’effet Joule etQun terme puits qui représente les pertes radiatives de l’arc.ρ~v.~∇hest le transport d’enthalpie tandis que∇~(λ~∇T)représente la diffusion de la chaleur. Pour décrire complètement le problème, on doit connaître les coefficients de transport du plasma considéré ainsi que diverses conditions aux limites. On fera l’hypothèse que le plasma est à l’ETL afin de pouvoir utiliser la composition et les différents coefficients d’un plasma à l’équilibre.
Pour conclure, ce modèle fluide est utilisé pour de nombreux travaux aussi bien théoriques que numériques pour décrire les colonnes d’arcs et les jets de plasmas. Suite aux travaux de Yask’o, c’est notamment devenu le modèle de base pour effectuer de l’analyse dimensionnelle sur des plasmas d’arcs.
Depuis les années 1930, de nombreux modèles de colonnes d’arc ont été développés. Que ce soit le modèle d’Elenbaas-Heller ou le modèle d’arc axisymétrique et stationnaire de Pfender et Sue, la plupart des modèles utilisés sont des simplifications du modèle fluide que nous venons de présenter.
7.3 Le modèle d’Elenbaas-Heller
Pour certains cas d’étude à la géométrie relativement simple où l’écoulement de gaz plas-magène est négligeable (arcs Maecker, lampes à arcs ...), le modèle fluide est trop complexe et peut être simplifié pour obtenir le modèle d’Elenbaas-Heller. Les hypothèses pour obtenir ce modèle sont les suivantes :
– le plasma est en régime stationnaire et possède une symétrie cylindrique ; – l’écoulement de gaz plasmagène est négligeable, la pression est uniforme ; – la diffusion des particules est négligeables ;
– le champ électrique est uniforme dans la colonne ; – le plasma est à l’ETL.
Ces hypothèses permettent de nous débarrasser des équations de Navier-Stokes pour ne conserver qu’une équation d’énergie simplifiée et la loi d’Ohm généralisée :
1
avec λ etσ respectivement la conductivité thermique et électrique du gaz plasmagène, E le champ électrique, I l’intensité du courant traversant la décharge. Q est un terme puits qui
80 Chapitre 7. Modélisation représente les pertes d’énergie par rayonnement. Historiquement, il n’était pas inclus dans le modèle.
Il manque les conditions aux limites pour décrire complètement la décharge. La tempéra-ture sera maximum sur l’axe, on aura donc :
dT
Sur le bord du domaine de calcul on aura :
T(R) =Tbord. (7.10)
Ce modèle peut être modifié pour prendre en compte les déséquilibres thermiques dans la décharge. Pour ce faire, deux équations d’énergies, une pour les électrons et une pour les particules lourdes sont considérées [15].
Le modèle d’Elenbaas-Heller est relativement célèbre dans l’histoire de la physique des décharges car il a fait l’objet de nombreux travaux de résolution analytique et ce bien avant l’avènement de la simulation numérique. Une des méthodes de résolution la plus connue est due à Steenbeck [16] qui propose de résoudre les équations du modèle en supposant qu’à l’équilibre, pour une intensité de courant donnée, la forme de la décharge est celle qui minimise la chute de tension à ces bornes. Le principe du minimum de Steenbeck est aujourd’hui remis en caus. Pour résoudre ce modèle, nous allons nous focaliser sur une méthode numérique de type différences finies.
Pour ce faire, discrétisons le domaine de résolution ennpoints séparés d’une distance∆r.
Si l’on réécrit la relation (7.7) en équation aux différences finies, on aura, autour d’un pointi du domaine de résolution :
σ(i)E2−Q(i)+ 1
L’indiceipermet de repérer la position à laquelle chaque grandeur est évaluée, par exemple σi sera la conductivité thermique au rayon r =i.∆r.
Le calcul du champ électrique est plus simple que celui du champ de température, l’intégrale deσ peut être obtenue à l’aide d’une simple méthode des trapèzes :
E= I
Pn−1
i=0 0.5 (σi.i.∆r+σi+1.(i+ 1).∆r).∆r. (7.12) La résolution de l’équation 7.11 n’est pas triviale puisqu’elle est non-linéaire. La structure de l’équation nous apprend cependant qu’elle est soluble à l’aide d’une méthode de type relaxation. Pour s’en convaincre, exprimons la pour l’ensemble des points du domaine de résolution. On a un système de la forme :
7.3. Le modèle d’Elenbaas-Heller 81
La matrice des coefficients de ce système est diagonalement dominante, nous somme donc en mesure de résoudre le problème avec une méthode de Jacobi ou de Gauss-Seidel. La pre-mière et la dernière ligne du système manquent pour que celui-ci puisse être résolu. Elles correspondent aux conditions aux limites. La température fixée en R est introduite dans le système par la relation :
%0 0 0 0 ... 1
Le flux de chaleur nul au niveau de l’axe de la décharge peut être pris en compte en écrivant :
Le système ainsi complété peut être résolu par méthode de relaxation (voir partie 3 : résolution de l’équation de Poisson pour l’ombroscopie quantitative) en suivant l’algorithme présenté ci-dessous. Pour que ces méthodes convergent, il est nécessaire de leur fournir une solution de départ physiquement réaliste. J’ai choisi d’utiliser une solution initiale de type canal chaud présenté sur le graphique 7.1 afin de calculer des profils de température.
T(K)
r=R r 12000
300
r=0.25 R
Figure 7.1 –Solution de départ pour la résolution des équations du modèle Elenbaas-Heller.
1. Création de la matrice des coefficients A de taille (n, n). Définition de ∆r tel que R= n∆r.
2. Création des vecteurs b etT de n éléments. Ils contiendront respectivement les termes sources et la température.
82 Chapitre 7. Modélisation 3. Etablissement des conditions initiales pour T : on place une température de 12000 K
autour de l’axe de la décharge et une température de 300 K sur le reste du domaine.
4. Calculs des coefficients de la matrice A.
A(i, i) = r1
5. Calcul de l’intégrale de σ sur le domaine de résolution en utilisant la méthode des trapèzes, puis calcul du champ électrique en utilisant la relation E= R I
sσdS. 6. Calcul des éléments du vecteur b: b(i) =Q(T(i))−σ(T(i))E2
7. Mise à jour des températures en utilisant la méthode de Gauss-Seidel : T(i) =T(i) +(b(i)−Pn
j=0T(j)A(i, j))
A(i, i) .
8. Tant que les résidus sont supérieurs à une erreur ǫfixée, on boucle sur l’étape (4).
Le modèle d’Elenbaas-Heller présenté ici à été utilisé pour valider des résultats issus de l’analyse dimensionnelles. Des codes de simulation en C et en langage scilab sont disponible en annexes, ils ont permis d’obtenir les résultats présenté dans la section "application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG".