Déflectométrie moiré
12.2 Méthode de la phase stationnaire
Décalage de l’axe des abscisses
Soitgune fonction continue etGsa transformée de Fourier.aest une constante réelle. On décide de décaler l’axe des abscisses de a. Calculons la transformée de Fourier de g(x−a) :
T F(g(x−a)) = Z ∞
−∞
f(x−a)exp[−j2πf x]dx. (12.8) On effectue le changement de variablex−a=y
T F(g(x−a)) = Transformée de Fourier d’une Convolution
12.2 Méthode de la phase stationnaire
En optique de Fourier, il n’est pas rare de calculer des intégrales présentant des fonctions oscillantes. Le calcul de ce genre d’intégrale n’est pas trivial et nécessite un traitement spécial par la méthode dite de la "phase stationnaire" [17]. Celle-ci à été développé par Kelvin au début du 19èmesiècle pour calculer des intégrales rencontrées en hydrodynamique. Elle permet d’estimer des intégrales de fonctions oscillantes et plus particulièrement de fonctions exponen-tielles complexes de type superchirpexp(jπxn). Son principe est le suivant ; soit une fonction I telle que :
I(x) = Z +∞
−∞
f(x)exp(jkg(x))dx, (12.12)
k est une constante réelle très grande. Il est évident que la fréquence d’oscillation de l’exponentielle dépend d’une part deket d’autre part de la fonctiong(x). Commekest grand, la fréquence d’oscillation sera grande partout sur le domaine d’intégration sauf là où g(x) ne varie pas vite(dg(x)/dx) ≈0). On en déduit que les endroits où la fréquence d’oscillation de l’exponentielle est beaucoup plus grande que le taux de variation de f(x) ne contribuent pas beaucoup à l’intégrale.
Autrement dit, la contribution majeure à l’intégrale se fera dans les zones où la phase de l’exponentielle complexe est constante.
Pour bien comprendre cette méthode, traitons le cas où g(x) = x2 et f(x) une fonction quelconque idéale.
dg(x)
dx = 2x. (12.13)
La dérivée deg(x)est nulle enx0 = 0. Développonsgen série de Taylor autour dex0 pour simplifier l’expression de l’intégrale :
DL(g(x0+h)) =g(x0) + dg
148 Chapitre 12. Déflectométrie moiré avech= (x−x0). On remplace gpar son développement limité dans l’intégrale :
I =
Le premier terme du développement de Taylor est une constante et peut être sorti de l’intégrale :
Si la fréquencekest assez grande pour que le terme exponentiel oscille de très nombreuses fois lors de la variation def(x), alors on peut approximer l’intégrale. Dans ces conditions, f(x) contribue de manière significative à l’intégrale au voisinage du point de phase stationnaire : f(x) peut donc être approximée par f(x0). Cela permet en outre de changer les bornes de l’intégrale initialement infinies en bornes finies qui limitent le calcul au voisinage du point de phase stationnaire.
On ne prendra en compte dans le calcul que le premier terme non nul d’ordre deux ou supérieur du développement de Taylor car nous avonsdg/dx= 0 eth2 >> hn pourn≥3.
La surface du terme exponentiel de phase quadratique est aussi concentré autour du point stationnaire. Pour effectuer le calcul de l’intégrale, on peut donc en modifier les bornes, on n’induira que très peu d’erreurs supplémentaires en passant à une intégration sur toutR.
Z x0+ǫ Pour calculer cette intégrale, on utilise le théorème de l’ordonnée centrale [17]. Il consiste à calculer la transformée de Fourier deh(x)pour obtenir sa surface. En effet, d’après la définition de la transformée de Fourier, on sait que :
G(0) =
On commence par effectuer un changement de variable surh(x), on pose : X2=k d2g
12.2. Méthode de la phase stationnaire 149
On peut mettre cette fonction sous la forme d’une fonction gamma d’Euler. Il suffit pour cela d’effectuer le changement de variable suivant :
t=−jπ(X−f)2; (12.26)
t, on reconnaît du coup la fonctionΓ(1/2).
T F(h) =exp(−jπf2) 1 L’intégrale de h(x) sur R vaut :
Z ∞
150 Chapitre 12. Déflectométrie moiré
12.3 Introduction
L’effet moiré peut être observé lorsqu’on superpose deux structures périodiques ou pseudo-périodiques, des franges sombres apparaissent aux endroits où il y a superposition des struc-tures. Ce phénomène apparaît fréquemment dans la vie de tout les jours, on peut l’observer au niveau des replis de certaines étoffes transparentes, ou bien à la télévision, lorsqu’un per-sonnage porte des vêtements rayés. La première mention de l’utilisation scientifique de cet effet remonte à 1874, Lord Rayleigh proposait alors de l’utiliser afin de tester la qualité des copies de réseau de diffraction [18]. Au niveau théorique, cet effet a été très étudié entre la fin du 19ème et le début du 20èmesiècle. En 1887, Righi fut un des premiers à étudier l’influence de la transmittance des structures périodiques sur la formation des franges de moiré [19]. Il traite notamment le cas de franges formées par des réseaux circulaires. Dans les années 1920, Ronchi, Raman et Shuster entre autres étudiaient cet effet à l’aide de divers réseaux.
Le terme "moiré" provient du français, il signifie "ondoyant", qui possède un reflet sem-blable à de la moire. C’est Mulot, un scientifique français qui lui donna son nom définitif en 1925 à travers son articleApplication du moiré à l’étude des déformations du mica[20].
Jusqu’à la fin des années 1940, l’effet moiré est surtout utilisé pour diagnostiquer des ré-seaux et pour mesurer des déformations dans les matériaux. La deuxième moitié du XXème siècle marque son essor dans de nombreux domaines. Son utilisation pour la mesure topogra-phique est mise à profit en informatique pour numériser des objets en trois dimensions [21].
En médecine, la mesure de topographie permet de détecter rapidement des maladies telles que les scolioses [22]. Enfin, dans l’industrie, cet effet permet, entre autre, de vérifier la qualité des têtes d’impression à technologie jet d’encre [23] ou bien encore d’effectuer des tests de résistance de composants dans la micro-électronique [24].
Le domaine qui nous intéresse ici, l’interférométrie moiré, est né en 1956 avec la parution du livreThe interference system of crossed diffraction gratings [25]. Cette technique, aussi appelée déflectométrie moiré permet de diagnostiquer des milieux transparents inhomogènes.
Elle est très utilisée dans le domaine du test d’optiques ainsi qu’en mécanique des fluides pour visualiser des écoulements.
Depuis les années 1980, de nombreux travaux théoriques ont été menés afin de comprendre la formation des franges de moiré et de déterminer les limites de cette méthode. Kafri, Glatt et quelques autres sont les plus gros contributeurs à cette littérature où de nombreuse approches, aussi bien à l’aide de l’optique géométrique que de l’optique physique, ont permis de maîtriser ce système de mesure.
Nous allons nous pencher ici sur la théorie de la déflectométrie moiré. Par soucis de sim-plicité, nous nous limiterons aux cas où des milieux gazeux sont diagnostiqués. Nous intro-duirons, à l’aide d’approches de complexité croissante, les principes de fonctionnements et les caractéristiques de cette méthode de mesure. Grâce à l’optique géométrique, on mettra en évidence l’existence de figures d’interférences. L’utilisation de l’optique de Fourier soulignera les limites de ces approches géométriques et fournira les paramètres clés intervenant dans le réglage d’un déflectomètre. À cette occasion, nous prouverons quelques points qui font débat dans la littérature. Nous montrerons que cette technique peut donner des résultats quantitatifs qui la rendent très utile pour le diagnostic des décharges d’arc [26]. Nous mettrons aussi en exergue les nombreux avantages qu’elle possède comme sa sensibilité réglable, ou bien encore son insensibilité au bruit lors des inversions d’Abel.