Analyse dimensionnelle
8.6 Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG :
La forme de ce résultat sera intéressant seulement si les longueurs caractéristiques sont connues. Si elles ne le sont pas, leur obtention à partir de l’expression de l’intégrale sera impossible. Plus généralement, du fait de la balance dominante, la méthode ne permet pas d’intégrer dans les équations des relations algébriques telles que des additions Une autre limita-tion de cette méthode pour la symétrie cylindrique ou sphérique sont les termes qui dépendent d’une puissance négative der. Il sera mal aisé de normaliser ces termes puisqu’un simple rem-placement derpar son expression en fonction der∗ donne une somme au dénominateur. Si le numérateur de ces termes diminue avec r, leur maximum se trouve là où r est minimum. La normalisation donnera donc :
Si le numérateur augmente avec r, la normalisation est plus difficile à trouver.
8.5.5 Conclusion
La méthode OMS a été appliquée avec succès sur divers problèmes de mécanique des fluides, de mécanique, mais aussi de décharges d’arcs. Malgré ces limitations, diverses publications ont montré qu’elle donnait accès à des informations plus complètes qu’une simple analyse inspectionnelle (voir le problème du pendule simple pour de petites et de grandes oscillations [29]). Au cours de cette thèse, nous avons tenté d’appliquer cette méthode pour expliquer la transition entre le régime laminaire et turbulent d’une torche à plasma, le but étant de caractériser une couche de gaz froid entourant le plasma à l’intérieur du corps de la torche. Du fait de la géométrie et de la complexité du problème, ces travaux ce sont révélés infructueux. Ils ont tout de même conduit au développement d’un logiciel à même d’effectuer automatiquement l’ensemble des procédures qui constituent l’OMS. Les sources du programme, ainsi qu’un script de démonstration traitant un problème de couche limite sont disponibles en annexe.
8.6 Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG :
L’analyse inspectionnelle est particulièrement bien adaptée aux plasmas d’arcs puisque ces derniers font intervenir de la mécanique des fluides, des transferts thermiques et de l’électro-magnétisme. Au cours des années 1950 et 1960, de nombreux cas de plasmas d’arc ont été étudiés à l’aide de l’analyse dimensionnelle. C’est uniquement avec approche inspectionnelle que des résultats intéressants ont été obtenus ; Yask’o [25] a par exemple traité avec succès des configurations variées telles que les plasmatrons, les arcs pointe-pointe ou encore les arcs Maecker. Plus récemment, des articles sur l’étude des jets de plasma laminaires à l’aide de cette méthodes sont parus [33].
J’ai eu l’occasion, au cours de cette thèse, d’étudier un arc TIG. Des mesures électriques moyennes et instantanées ont été prises sur un cet arc alimenté par deux générateurs diffé-rents. Très peu d’articles traitent des caractéristiques courant/tension de ce dispositif, On fait néanmoins mention d’une forme de caractéristique de type [34] :
100 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle
U =A+BI2 (8.60)
avec A = 10 V et B = 0.04 V.A−2 pour un TIG avec une chute de potentiel inférieure à 24 V. Peu de détails supplémentaires sont fournis. Nous avons choisi d’étudier ces carac-téristiques courant/tension à l’aide de l’analyse dimensionnelle. Dans un premier temps, le dispositif expérimental est présenté et des caractéristiques typiques sont fournies. L’analyse inspectionnelle permettra de déterminer les nombres adimensionnels décrivant le problème, ils seront utilisés pour expliquer la forme de la caractéristique. Finalement, on essaiera d’utiliser ces résultats pour obtenir un point de fonctionnement optimal des TIG pour la soudure.
8.6.1 Dispositif expérimental
Les mesures de caractéristiques courant/tension ont été menées sur deux montages diffé-rant uniquement dans le type d’alimentation électrique utilisé. La première configuration est constituée d’une alimentation Nertabloc TH 260 de la marque SAF filtrée à l’aide d’une cellule LC ( inductance de 27 mH et capacitance de 250 µF), d’une torche TIG et d’une anode en cuivre refroidie à l’eau (configuration A). Une torche TIG est présentée plus en détail dans la partie 1 de cette présente thèse ; c’est un dispositif utilisé dans la soudure autogène qui est constitué d’une cathode en tungstène entouré d’une buse en alumine. Le gaz plasmagène, ici de l’argon, est injecté au niveau de la cathode puis canalisé par la buse. Ainsi, le plasma est gainé par le gaz inerte, ce qui limite l’inclusion d’oxydes dans la soudure. Dans la seconde configuration (configuration B), le bloc d’alimentation de l’arc est remplacé par un générateur SAF Admiral 350 DC. Des mesures de tensions, de courants instantanées et moyennes ont été obtenues sur ces deux configuration à l’aide des montages présentés au chapitre 6.
8.6.2 Résultats expérimentaux
Configuration (A) La tension instantanée enregistrée aux bornes de l’arc est présentée sur la figure 8.3. Comme on peut le constater, l’alimentation est relativement stable, seules des oscillations à une fréquence de 100 Hz et d’une amplitude de moins de 10 % de la tension totale sont visibles. La chute de potentiel aux électrodes à été mesurée à l’aide du montage présenté en chapitre 6, il est de (10.2±0.3) V. Un exemple typique de caractéristique courant tension obtenue avec cette configuration est disponible sur la figure 8.2. Sa forme est relati-vement singulière puisqu’elle présente un minimumUc. Pour les faibles tensions, la différence de potentiel aux bornes de l’arc diminue lorsque l’intensité du courant augmente et ce jusqu’à une valeur critique Ic où Uc est atteint. Pour des intensités supérieures à Ic, la tension aux bornes de l’arc augmente de nouveau avec I.
Plusieurs hypothèses peuvent expliquer la forme de cette caractéristique et son minimum.
Cela peut être par exemple dû au champ magnétique qui contracte le plasma et empêche l’augmentation de son rayon lorsque le courant est important. On peut aussi imaginer que le rayon de l’arc est limité par le rayon de la buse en alumine et par le flux de gaz plasmagène froid.
Configuration (B) La tension instantanée aux bornes de l’arc est présentée sur la figure 8.4. On remarque que, contrairement à ce qui est indiqué par le constructeur, l’alimentation n’est pas continue : la tension varie rapidement et des inversions de polarité sont visibles. Les oscillations de la tension aux bornes de l’arc ont une fréquence de l’ordre de 125 kHz et une
8.6. Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG : 101
nnnnxnbr
12(7 17 1I(7 2) 22(7 27 2I(7
n n nbr
) 7) 1)) 17) 2)) 27)
Figure8.2 – Caractéristique courant/tension typique obtenue à l’aide de la configuration (A). Le débit de gaz plasmagène était fixé à 3sL.min1 et la distance inter-électrodes à 6 mm.
amplitude moyenne d’environ 20 V. Une caractéristique courant tension typique est présentée sur la figure 8.5. Sa forme est similaire à celle de la figure 8.2, cependant, le minimum est déplacé vers les faibles valeurs d’intensité de courant et la pente de la courbe est plus forte après Ic. Cela s’explique simplement à l’aide des courbes de tension instantanée : durant la mesure, ce sont uniquement les valeurs moyennes de tension et d’intensité qui ont été enregistrées. En conséquence, aucune information n’est donnée sur la partie oscillante des grandeurs mesurées. On sait que le chauffage par effet Joule correspond à un terme de la forme UR2 avec R la résistance du plasma. Si l’on suppose que la tension aux bornes de l’arc est de la forme :
U =U0+U1cos(2πf t); (8.61) La puissance dissipée dans l’arc sera (U02 +U12/2)/R et non U02/R. Ainsi, pour les mêmes intensités de courant et tensions aux bornes de l’arc moyennes mesurées, l’alimentation de la configuration (B) peut chauffer le plasma de manière plus efficace qu’un générateur à courant continu.
Lors de la mesure de certaines caractéristiques, le rayon de la colonne TIG au niveau de l’anode a été enregistré. Un exemple typique est présenté sur la figure 8.6 ; il permet de vérifier que le rayon de la colonne se sature pour les fortes valeurs de l’intensité du courant.
102 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle
nnnnxnbr
) 2(7 7 m(7 0) 02(7 07 0m(7
nbr
c)()1 c)()5 c)()2 ) )()2 )()5 )()1
Figure 8.3 – Tension instantanée typique mesurée aux bornes du TIG avec l’aide de la configuration (A).
nnnnxnbr
c2) ) 2) 4) m)
nbr
) 2nn-)c6 4nn-)c6 mnn-)c6 ×nn-)c6 -)c4
Figure8.4 – Tension instantanée typique mesurée aux bornes du TIG avec la configuration expérimentale (B).
8.6. Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG : 103
nnnnxnbr
12 16 10 1t 2) 22
nnbr
) 8) 1)) 18) 2)) 28) 4))
Figure8.5 – Caractéristique courant/tension typique obtenue à l’aide de la configuration (B). Le débit de gaz était fixé à 5 sL.min−1et la distance inter-électrode à 6mm.
9I
9I
yy 'yrc
5yy-035 6yy-035 7yy-035 Iyy-035 tyy-035
yrc
0 70 -00 -70 400 470
Figure8.6 – À gauche : caractéristique courant tension obtenue sur un arc TIG brulant dans l’argon avec un débit de gaz plasmagène de 2.5sL.min−1 et une distance inter-électrodes de 6 mm. À droite : rayon de l’arc mesuré au niveau de l’anode en fonction de l’intensité du courant.
104 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle 8.6.3 Analyse dimensionnelle
De nombreux paramètres physiques interviennent dans la description du TIG, il devient compliqué d’obtenir des résultats en recherchant le noyau de la matrice des unités. On pré-fère donc utiliser l’analyse inspectionnelle. Pour mettre en œuvre cette méthode, écrivons les équations qui décrivent le plasma :
– Conservation de la quantité de mouvement
ρ(~v.~∇)~v=−∇~P+µ∆~v+~j×B~ (8.62) – Conservation de l’énergie
ρ(~v.~∇)(h+ 1
2v2) =∇~.(λ.~∇T) +~j. ~E−Qrad (8.63) – Équations de Maxwell
∇ ×~ B~ =ξ~j (8.64)
~j =σ ~E (8.65)
Le jeu d’équation n’est pas complet puisqu’il manque la définition des conditions aux limites :
– Définition de la chute de potentiel : U =−
Z
D
E.~~ dl (8.66)
– Définition de l’intensité du courant : I =
Z Z
section
~j. ~dS (8.67)
– Définition du débit massique : G=
Z Z
section
ρ~v. ~dS (8.68)
Pour mettre ces équations sous forme adimensionelle, toute les variables dépendantes et indépendantes sont écrites en faisant apparaître des grandeurs de référence.
Par exemple, ρ∗ = ρρ
0. ρ0v20
D ρ∗(v~∗. ~∇∗)v~∗ =−P0
D∇~∗P∗+µ0v0
D2 µ∗∆∗v~∗+j0B0j~∗×B~∗ (8.69) ρ0v0
D ρ∗(v~∗. ~∇∗)(h0h∗+v021
2v∗2)−λ0T0
D2 ∇~∗.(λ∗. ~∇∗T∗) +Q0Q∗rad=j0E0j~∗. ~E∗ (8.70) j0j~∗ =σ0E0σ∗E~∗ (8.71)
8.6. Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG : 105
Les nombres adimensionnels Π sont obtenus en divisant les termes de l’équation 8.69 par ρ0v20/D, ceux de l’équation 8.70 par j0E0 :
Treize paramètres faisant intervenir cinq unités fondamentales rentrent en jeu dans la description de ce problème (P0, ρ0, v0, µ0, D, j0, B0, h0, E0, λ0, T0, Q0, σ0). Grâce au théorème Pi, on sait que seulement 13−5 = 8nombres adimensionnels sont nécessaires pour décrire complètement le problème. On pourra donc utiliser lesΠen excédent pour transformer les nombres adimensionnels qui sont non-exploitables sous leur forme actuelle. En effet, des paramètres tels que la vitesse ou la densité de courants varient très fortement dans l’arc et sont difficiles à mesurer. On va donc essayer de supprimer ces quantités au profit de quantités observables telles que l’intensité ou le débit massique :
Π′U = ΠUΠ−1ohmΠ−1I = I.D
106 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle Π′P = ΠPΠ2G= P0ρ0D4
G2 . La fonctionnelle décrivant le problème sera de la forme :
f(Π′U,Π′ray,Π′cond,Π′h,Π′acc,Π′f em,Π′rey,Π′P, ...) = 0, (8.76) Π′U =g(Π′ray,Π′cond,Π′h,Π′acc,Π′f em,Π′rey,Π′P, ...). (8.77) Ce résultat ne nous apprend pour l’instant rien sur la physique du problème. Tout d’abord, les valeurs de référence incluses dans lesΠ n’ont pas été déterminées ; ensuite la forme de la fonctionnelle est inconnue et ne permet en l’état aucune déduction. Á l’aide des résultats expérimentaux, nous allons exploiter les résultats théorique obtenus ici.
8.6.4 Exploitation des résultats expérimentaux Configuration expérimentale (A)
Des nombreuses caractéristiques (U,I) ont été prises en faisant varier la distance inter-électrodes et le débit de gaz plasmagène. Il est relativement compliqué d’obtenir la forme exacte de la fonctionnelle reliant les nombres adimensionnels, de ce fait, on l’approxime généralement par une loi en puissance. Ces fonctions sont très pratiques et largement utilisées en analyse dimensionnelle, mais un choix doit être fait entre leur domaine de validité et l’erreur. Dans notre cas, une loi en puissance ne peut pas décrire l’ensemble d’une caractéristique puisque ces dernières ne sont pas monotones. Nous avons donc choisi de diviser les caractéristiques en deux parties monotones de manière à y ajuster des lois en puissance. Le point de séparation des deux branches choisi estIc.
Concernant les valeurs de référence, elles sont difficiles à choisir lorsque l’on s’intéresse à des arcs brulant dans différents gaz plasmagènes car leurs propriétés physiques induiront des phénomènes différents dans l’arc. Ici, on ne travaille qu’avec de l’argon comme gaz plasmagène, le choix des valeurs de références importe peu car la fonction généralisée (8.77) est toujours vérifiée. La température moyenne de la colonne est de l’ordre de 10000 K, nous avons donc choisi comme valeurs de référence les propriétés d’un plasma d’argon à 11500 K :Q0=2.29 109 W.m−3,λ0=1.24 W.m−1.K−1,σ0=4.8 103 S.m−1,µ0=0.00026 Pa.s, h0=5. 106 J.kg−1).
L’ajustement des lois en puissance sur les résultats expérimentaux fait apparaître une diffi-culté supplémentaire. Le problème est mal conditionné et n’est pas soluble avec des méthodes de régression classiques telles que les moindres carrés [35, 27]. On peut aisément se rendre compte des différentes corrélations graphiquement mais malheureusement, cela ne constitue pas une méthode scientifique pour déterminer l’importance des Π. Afin de déterminer si un nombre adimensionnel est significatif pour expliquer les caractéristiques, on a utilisé une mé-thode de régression "forward-stepwise". Pour inclure un Πdans le modèle, le test de student effectué au cours de cette procédure a un seuil de signification α de 0.05. Cette méthode de régression, très utilisée en statistiques, permet de tester chaque variable du modèle pour voir si elles ont ou non une influence surΠ′U.
Comme on utilise une loi en puissance, l’ensemble du travail de régression a été mené avec le logarithme des nombres adimensionnels de manière à ramener le problème à de simples régressions linéaires.
On obtient finalement pour les fortes intensités de courant (I > Ic) :
8.6. Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG : 107 Pour les faibles intensités de courant, on aura :
I.D
Figure 8.7 – Graphe matriciel du logarithme de l’ensemble des nombres adimensionnels pour les fortes intensités de courant. (configuration (B))
Avec le dispositif expérimental (B), les configurations que nous avons étudiées sont les sui-vantes (débit d’argon en sL.min−1, distance inter-électrodes en mètres) : (2.5 ;0.005), (2.5 ;0.006), (5 ;0.006), (5 ;0.009), (7.5 ;0.01), (10 ;0.01), (16 ;0.01). Comme précédemment, nous avons ajusté des lois en puissance sur les points expérimentaux. Cette fois-ci, nous avons obtenu pour les fortes intensités de courant (I > Ic) : Pour les faibles intensités de courant, on a :
I.D Quelques données obtenues pour une forte intensité de courant sont présentées sur le graphe matriciel 8.7. Chaque vignette relie le logarithme du nombre adimensionnel mentionné dans la
108 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle colonne de l’abcisse avec le logarithme mentionné en ordonnée. Ce graphe permet de juger des corrélations entre les différents nombres adimensionnel ; grâce à l’utilisation des logarithmes, la corrélation peut être déterminée à l’aide de la pente et de la forme de la courbe. Une droite avec une pente importante est signe de forte corrélation entre lesΠ considérés tandis qu’une pente nulle ou des points très dispersés correspondent à un manque de corrélation. La dernière ligne du graphique 8.7 présente les relations entre le logarithme deΠ′U et le reste des nombres adimensionnels. Au premier coup d’œil, on peut aisément établir queΠ′U est très corrélé avec Π′ray, Π′cond et Π′h car les points des courbes sont bien alignés et possèdent une pente non nulle. Π′f em et Π′rey n’ont aucune influence sur la caractéristique courant/tension comme le prouve les points très dispersés des graphesf(ln(Π′f em)) = ln(Π′U) etf(ln(Π′rey)) = ln(Π′U).
La lecture graphique des données permet uniquement ces remarques qualitatives, c’est pour cela que la regression stepwise est indispensable pour obtenir des résultats probants.
La forme de la caractéristique courant/tension est directement reliée à l’effet Joule respon-sable du chauffage du plasma. Pour le régime où l’intensité du courant est inférieure àIc, la perte d’énergie par conduction est dominante tandis que c’est le rayonnement qui dissipe le plus d’énergie pour les fortes intensités de courant (I > Ic). Malgré un minimum de tensionIc et des pentes différentes sur les caractéristiques des configurations (A) et (B), les lois en puis-sance obtenues sont relativement similaires. Cela signifie que même si les alimentations sont différentes, les phénomènes à l’origine de la forme de la caractéristiques (U,I) sont identiques.
Les deux branches de la caractéristique sont expliquées à l’aide de l’analyse dimensionnelle, mais les lois en puissances sont malheureusement inadaptées pour décrire la caractéristique autour deIc. Pour prouver que le minimum des caractéristiques correspond à un changement de régime de dissipation d’énergie, nous avons choisi d’effectuer une simulation numérique de la colonne.
8.6.5 Validation des résultats par simulation numérique
La colonne de plasma à une géométrie cylindrique, si on l’idéalise et que l’on néglige l’effet Maecker au niveau de la cathode, on peut la représenter par un cylindre. Le problème est stationnaire, et nous avons vu précédemment grâce à l’analyse dimensionnelle que seuls la conduction et le rayonnement devaient intervenir dans le problème. Afin de vérifier si la forme de la caractéristique était due à ces phénomènes, nous avons choisi de résoudre numériquement le modèle d’Elenbaas-Heller présenté précédemment.
Résultats
À l’aide de l’algorithme développé au chapitre 7, il a été possible d’obtenir la conductivité électrique, le rayon de la colonne, le champ de température, ainsi que les pertes d’énergies et les caractéristiques courant/champ électrique de la décharge pour différents rayons R. Le pas d’espace utilisé pour effectuer nos calculs était fixé à ∆r=0.00001 m de manière à avoir une bonne précision tout en conservant un temps de calcul raisonnable. Le rayon de la colonne a été déterminé par l’examen de la conductivité : une brusque diminution de la conductivité est notable aux bords de la colonne. Afin d’avoir un critère solide, on a fixé le bord de colonne comme étant l’endroit où la conductivité est égale à celle d’un plasma d’argon à 8000 K.
Une caractéristique courant/ champ électrique pour une décharge d’un rayon R = 8 mm est disponible sur le graphique 8.8. On remarque que la forme générale de la caractéristique est similaire à celle obtenue expérimentalement. Cette forme est directement due aux phénomènes
8.6. Application de l’analyse inspectionnelle à un arc TIG : 109
4×2
42
- - 6-- 6- --
-42
VV6-r VV6-r VV6-r VV6-r VV6-r VV6-r
- - 6-- 42 6- --
-Figure8.8 –Caractéristique courant/champ électrique et rayon de la colonne pour une décharge possèdant un rayon maximum de 8 mm.
de dissipation d’énergie dans la colonne. On peut tenter d’utiliser le rayon de la colonne pour donner une explication au minimum des caractéristiques. Tout d’abord, lorsque l’intensité varie, la température à l’intérieur du plasma change très peu, elle reste de l’ordre de 10000 K tandis que le rayon de la colonne augmente. À partir d’une intensité caractéristiqueIcle rayon de la colonne se "sature". À ce moment, si l’on fait passer plus de courant à travers la décharge, la température augmente légèrement puisque la majeure partie de l’énergie supplémentaire fournie est perdue sous forme de rayonnement. La conductivité ne varie quasiment pas et il est donc nécessaire d’augmenter la différence de potentiel aux bornes de la décharge pour faire passer plus de courant.
Le tracé des pertes d’énergie pour une colonne d’un mètre de long permet de conforter cette hypothèse (fig.8.9). En effet les résultats sont similaires a ce qui à été obtenu à l’aide de l’analyse dimensionnelle : pour des intensités de courants inférieurs à Ic, les pertes par conduction sont prépondérantes tandis que pour des fortes intensités de courant, les pertes par conduction deviennent mineures devant les pertes par rayonnement. Le minimum de la caractéristique correspond au point où les pertes par rayonnement sont aussi importantes que les pertes par conduction.
110 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle
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r )nnèr0 èr5 èp)nnèr5 lnnèr5 lp)nnèr5 (nnèr5 (p)nnèr5
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r )r èrr è)r lrr l)r
Figure 8.9 – Graphes des pertes d’énergie par conduction et rayonnement en fonction de l’intensité du courant. La rayon maximum de la colonne est fixée à 8 mm tandis que sa longueur est de 1 m.
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