Analyse dimensionnelle
8.3 Analyse dimensionnelle heuristique
En fonction de la connaissance physique du problème, il existe plusieurs manières d’obtenir des nombres adimensionnels. La manière la plus naturelle de les obtenir est d’examiner les unités des quantités physiques qui rentrent en jeu. Dans les cas les plus simples, cela se fait de tête, tandis que pour les cas compliqués, on utilisera l’algèbre linéaire pour venir à bout du calcul. Ici, la recherche des quantités physiques et desΠ n’est basée que sur l’intuition du physicien, il n’y a donc aucun besoin de modèle pour obtenir des résultats. C’est relativement intéressant dans les cas où rien n’est connu, mais cela présente un désavantage : il est parfois difficile d’interpréter lesΠobtenus.
Pour illustrer la recherche heuristique des nombres adimensionnels, nous allons nous pen-cher sur deux exemples classiques. Le premier correspond à l’étude du pendule simple tandis que le second, plus complexe, s’inspire du travail de Taylor sur le calcul de la puissance de la bombe atomique Trinity. Dans le premier cas, nous verrons l’intérêt de l’analyse dimension-nelle tandis que dans le second, on présentera une méthode générale de calcul de Π : nous verrons que les résultats obtenus sont très généraux et difficiles à interpréter.
Problème du pendule simple
Considérons une massemaccrochée au bout d’un barreau indéformable de masse nulle et de longueurl. La masse est soumise au champ de pesanteur terrestre~g. Finalement, le pendule à un angle initialα0 par rapport à la verticale.
On cherche à déterminer la période du pendule. Au premier abord, les quantités physiques qui interviendront dans ce problème seront :
– tp [s] la période du pendule ;
– g [m.s−2] l’accélération de la pesanteur ; – l [m] la longueur du pendule ;
– α0 l’angle initial entre le pendule et la verticale ; – m [kg] la masse du pendule.
La connaissance du problème ou l’étude des unités des quantités physiques montre que la masse est en trop ici. En effet, en la prenant en compte, il est impossible d’obtenir une équation homogène. L’angle est sans unité car il est défini comme un rapport de longueur.
Finalement, on aura pour ce problème trois quantités physiques faisant intervenir deux unités et un ratio. D’après le théorème Pi, un unique nombre adimensionnel sera nécessaire pour décrire totalement le problème. Son obtention se fait intuitivement :
Π1 =tp
ψ est inconnue, elle doit être déterminée à l’aide d’expériences ou d’un modèle. À titre de comparaison, le résultat exact obtenu avec le principe fondamental de la dynamique nous donne :
8.3. Analyse dimensionnelle heuristique 89 avec K l’intégrale elliptique complète de première espèce :
K(x) = Z π/2
0
√ dθ
1−x2sin2.θ (8.12)
Sans avoir à résoudre d’équation différentielle, le théorème Pi nous apporte des informa-tions relativement complètes sur la forme du résultat. L’obtention desΠest ici trivial puisque un seul nombre est nécessaire pour décrire le problème. Malheureusement, cela n’est jamais aussi facile lorsqu’on traite de cas plus complexes tels que les plasmas où de nombreux phé-nomènes physiques interviennent [25].
8.3.1 Energie libérée dans une explosion atomique
En 1947, des films de l’explosion de la première bombe atomique ont été déclassifiés (fig.8.1). Ces données ont permis à Taylor de déterminer l’énergie libérée lors de l’explosion de Trinity [17]. Pour ce faire, il a considéré que l’explosion consistait en une source ponctuelle d’énergie brusquement libérée. Il en résulte une "boule de feu" cylindrique dont les bords cor-respondent à une puissante onde du choc. Ces hypothèses ont permis l’obtention des nombres adimensionnels, puis une relation reliant le rayon de la boule de feu à l’énergie libérée.
Figure 8.1 –Clichés de l’explosion de la bombe atomique Trinity. Issus de [17].
Nous allons reprendre cet exemple ici de manière heuristique afin de voir les avantages et les limites de cette méthode. En utilisant notre sens physique, on sait que les quantités
90 Chapitre 8. Analyse dimensionnelle intervenant dans le problème seront :
– E [m2.kg.s−2] l’énergie libérée par la bombe trinity ; – R [m] le rayon de la boule de feu à un temps t ; – t [s] le temps ;
– ρ0 [kg.m−3] la masse volumique initiale de l’air ; – P0 [kg m−1 s−2] la pression atmosphérique.
Il y a en tout cinq quantités faisant intervenir trois unités. Le nombre de P i minimum pour décrire complètement ce problème sera dei= 5−3 = 2.
Si l’on revient sur la définition desΠ, on aura :
[Π] = [Ea1Ra2ta3ρa04P0a5] = [1] (8.13) Rechercher les nombres adimensionnels revient à rechercher les puissances a de chacune des quantités physiques avec comme contrainte un résultat sans unité. En ne considérant que les unités, cela est équivalent à la résolution de :
des unités. La solution sera de la forme :
Une infinité de solutions est possible puisquea4 eta5 sont à choisir librement avec, comme seule contrainte, l’obtention d’une base de deux vecteurs.
Grâce à son modèle d’explosion cylindrique, Taylor a obtenu lesΠsuivants qui vérifient la relation (8.15) :
Π1=Rρ1/50 E−1/5t−2/5,Π2 =ρ−3/50 E−2/5t6/5P0. (8.16) Le rayon de l’explosion, directement mesurable sur les films, peut être décrit par :
R=ρ−1/50 E1/5t2/5ψ(Π2). (8.17) Nous entrapercevons ici les limites de l’analyse heuristique, nous aurions pu obtenir une expression similaire à l’aide d’une base du noyau de la matrice des unités. Cependant, la détermination de la fonctionnelle ψserait compliquée. Ici, Taylor a mené des expériences avec diverses quantités de TNT afin d’obtenir la forme de ψ(Π2). En considérant qu’une bombe atomique possède une énergie extrêmement grande, il a poséΠ2= 0 et a ainsi pu déterminer l’énergie libérée par la bombe.
Pour conclure, l’analyse dimensionnelle heuristique peut être une bonne solution lors-qu’on ne possède pas de modèle pour un problème. Malheureusement, les résultats obtenus