Généralités sur les plasmas d’arc
1.5 Calcul de la composition d’un plasma
1.4.6 Fonction de partition
La fonction de partition des atomes et des ions intervenant dans la loi de Boltzmann et la loi de Saha est définie par la relation :
Z(T) =X
i
gie−Ei/(kT). (1.17)
Ici, Ei est l’énergie du niveau considéré tandis que gi est sa multiplicité. Cette dernière est le poids statistique du niveau, elle correspond au nombre d’états quantiques qui ont la même énergie.gi est relié au nombre quantique Ji par la relation :
gi = 2Ji+ 1. (1.18)
Lorsque i tend vers l’infini, l’énergie Ei tend vers l’énergie d’ionisation E∞ et le terme gie−Ei/(kT) ne tend par vers zéro.Z(T) diverge donc. Cependant, dans un plasma, l’électron qui se trouve sur les couches électroniques externes d’un atome subit le champ électrique de l’atome, mais aussi le champ électrique des particules chargées entourant ce dernier. Ce champ extérieur a pour effet d’abaisser l’énergie nécessaire pour arracher un électron à un atome d’une quantité∆E. Actuellement, il est très compliqué de mesurer expérimentalement l’abaissement du potentiel d’ionisation, il existe donc un doute quant à la théorie à appliquer.
Olsen [4] a tenté de mesurer l’abaissement du potentiel en suivant le fond continu libre-lié pour un plasma d’argon. La valeur mesurée est très élevée par rapport à celles obtenues avec les différentes théories, il est donc difficile de conclure sur la validité des différents résultats.
Musiol [5] propose d’utiliser préférentiellement la théorie de Griem et d’Ecker & Kroll pour les plasmas thermiques.
1.5 Calcul de la composition d’un plasma
La connaissance de la composition d’un plasma est très importante en simulation et en expérimentation. Dans le premier cas, la composition du plasma en fonction de la température va jouer un grand rôle dans la structure et les propriétés de la décharge. Par exemple, pour un courant donné, un plasma d’argon seul n’aura pas la même forme et la même température qu’un plasma Argon-Hydrogène.
En expérimentation, les méthodes de diagnostic spectroscopiques fournissent souvent des informations sur l’état de peuplement des niveaux énergétiques d’une particule émettrice. Il est nécessaire de connaître la composition afin de relier la température d’excitation mesurée avec la densité électronique, la quantité d’ions, etc. Comme nous le verrons par la suite, des méthodes de diagnostic telle que la méthode de Fowler-Milne sont complètement basées sur la composition du plasma pour fournir des mesures de températures.
Afin de comprendre comment calculer la composition d’un plasma à l’aide des équations fondamentales présentées ci-dessus, on se propose d’obtenir la composition d’un plasma d’ar-gon pour des températures comprises entre 300 et 25000 K.
1.5.1 Établissement du système d’équations
Pour cette gamme de température, les particules qui composent le plasma seront les élec-trons, l’argon neutre ARI ainsi que ses différents ions ARII, ARIII et ARIV. Au total, ce ne sont pas moins de cinq densités ou pressions inconnues qui doivent être obtenues.
18 Chapitre 1. Généralités sur les plasmas d’arc Écrivons tout d’abord les lois de Saha pour prendre en compte l’ionisation de l’argon ARI, ARII et ARIII :
Avec ces trois équations le système est sous-déterminé. Il est nécessaire de faire intervenir deux autres équations si on désire le résoudre. La quasi-neutralité électrique nous donne :
P e−P ArII−2P ArIII−3P ArIV = 0. (1.22) Nous avons vu précédemment qu’un système à l’équilibre thermodynamique était complè-tement défini à l’aide de sa température et de sa pression. Si l’on fixe la pression totale du plasma, on pourra écrire grâce à la loi de Dalton :
P e+P ArI+P ArII+P ArIII+P ArIV =Pplasma. (1.23) La résolution de ce système d’équation n’est pas triviale et ce pour deux raisons. Tout d’abord, le calcul des fonctions de partition et de l’abaissement du potentiel d’ionisation nécessite une attention particulière afin d’obtenir des résultats corrects. Le choix pour la coupure de la série 1.17 peut poser problème lorsque la température est élevée et que les termes d’ordre élevé sont de moins en moins négligeables. À titre d’exemple, la fonction de partition d’Olsen [6] pour l’ArI calculée en 1959 est supérieure de 10% ou plus à partir de 16000 K à celles calculées par Irwin [7] en 1980 et dans ce présent travail. En outre, la non prise en compte de l’abaissement du potentiel d’ionisation conduit à une erreur surZ de l’ordre de 5% pour des températures de l’ordre de 15000 K [6].
La seconde difficulté pour la résolution du système est sa non-linéarité. Des méthodes numériques de recherche de racine de type Newton-Raphson doivent être envisagées pour venir à bout de ce problème.
1.5.2 Calcul et validation des fonctions de partition de l’argon
Le calcul des fonctions de partition pour l’argon neutre et ses ions a été mené à l’aide des données spectroscopiques fournies par le NIST et de la théorie de l’abaissement du potentiel d’ionisation d’Ecker et Kröll (satisfaisante pour des plasmas avecne<1019 e/cm3).
Les résultats obtenus sont présentés sur le graphique 1.3 où ils sont comparés aux résultats obtenus par Olsen et Irwin. Lors de ces calculs, Olsen [4] stoppait la série lorsque le rayon de l’orbite hydrogénoïde correspondant au nombre quantique principal nétait plus élevé que la moitié de la distance entre plus proches voisins. Pour sa part, Irwin [7] a utilisé un abaissement du potentiel d’ionisation constant de 0.1 eV.
1.5. Calcul de la composition d’un plasma 19
w
w
0 0A.T 0A0 0A0T 0A5 0A5T 0A2
w a
. T... 0.3 0ATw w0.3 5w w0.3
Figure 1.3 – Comparaison de la fonction de partition de l’argon I calculé lors de cette étude avec celles obtenues par Irwin [7] et Olsen [4].
Résultats
Comme on peut le constater, la prise en compte de l’abaissement du potentiel d’ionisation est primordiale dans le calcul de la fonction de partition de l’argon. Sa non prise en compte conduit à des écarts de 5 à 30 % entre les résultats de Olsen et les miens. Cela peut se révéler fâcheux lorsqu’on utilise des méthodes de diagnostic de type Fowler-Milne qui reposent sur une connaissance précise de la composition et de la fonction de partition d’un plasma d’argon à 15000 K. Pour conclure, mes résultats sont proches de ceux obtenus par Irwin, ils semblent donc corrects.
1.5.3 Résolution du système d’équations
Le système que l’on doit résoudre est non linéaire et multi-dimensionnel. Pour le résoudre, on peut utiliser une méthode de type Newton-Raphson qui permet la recherche de zéros d’équations non linéaires. Afin de mettre en œuvre cette méthode, il est nécessaire de réécrire toutes les équations pour rendre la recherche de racine explicite ;
f(P e, P ArI, ..., P ArIV, T) = P e P ArII
P ArI −kT2ZArII(T) ZArI(T)
(2πmekT)3/2
h3 e−(EArI−∆E(T,P e))
kT ;
(1.24)
20 Chapitre 1. Généralités sur les plasmas d’arc
La méthode de Newton-Raphson est une méthode itérative qui consiste à utiliser les déve-loppements limités à l’ordre 1 des équations précédentes pour se rapprocher de leur solution.
Considérons deux fonctionsf(x, y)etg(x, y). Les variables xety solutions de ce système donnent f(x, y) =g(x, y) = 0. Le développement limité de ces fonctions autour de zéro est :
DL(f(x, y)) =f(x, y) +
On choisit xi et yi une position de départ pas trop éloignée de la solution de manière à éviter les minimums locaux et les problèmes de divergence de l’algorithme.
Avec ces variables, on peut évaluer g(xi, yi) etf(xi, yi) ainsi que leurs dérivées partielles.
Les inconnues à déterminer sont les∆x et∆y, on les obtient en résolvant le système :
∆x,∆ysoient plus petits qu’une erreur fixée, on peut obtenir une solution satisfaisante de ce système.
1.5.5 Résultats
Un code de calcul développé en C++ pour calculer la composition est disponible en annexe.
La composition du plasma d’argon que nous avons calculé pour la pression atmosphérique est disponible sur le graphique 1.4. Le gaz ne devient conducteur que pour une température proche de 5000 K puisque c’est à cette température que la densité d’électrons devient quantifiable.