Les op´erateurs morphologiques connexes

La notion d’op´erateur connexe a r´ecemment ´et´e formalis´ee par J. Serra et P. Salem- bier [83] et est `a la base des transformations les plus ´evolu´ees de la morphologie math´e- matique telles que la reconstruction num´erique [31], la dynamique [21], l’ouverture sur- facique num´erique [97] et a donn´e naissance `a des techniques de segmentation pyramidale performantes [83, 14].

Nous rappelons que A △ B d´esigne la diff´erence sym´etrique entre A et B : A △ B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac∩ B)

Nous rappelons ´egalement que C(A) d´esigne l’ensemble des composantes connexes de A.

D´efinition 3.1 (Op´erateur connexe binaire [83]) Un op´erateur binaire ψ est dit con- nexe si pour tout ensemble A de E, la diff´erence sym´etrique entre A et ψ(A) (not´ee A △ ψ(A)) est exclusivement constitu´ee de composantes connexes de A ou de son compl´e- mentaire Ac _:

La caract´eristique de ces op´erateurs est donc de pr´eserver les relations de connexit´e : si deux points p et q de E ⊂ ZZ2 sont connexes dans A ou dans Ac _{(il existe un chemin} d’extr´emit´es p et q inclus dans A ou Ac_{), alors les points p et q sont encore connexes soit} dans l’ensemble transform´e, soit dans son compl´ementaire. Autrement dit, les op´erateurs connexes binaires n’agissent sur les ensembles qu’en pr´eservant ou en supprimant leurs composantes connexes. Ainsi, un op´erateur connexe ne fait pas de compromis : chaque particule (de A ou de son compl´ementaire) est soit enti`erement pr´eserv´ee, soit enti`erement ´elimin´ee (voir figure 3.2).

Remarquons que si on impose, en plus, `a l’op´erateur ψ d’ˆetre anti-extensif, alors (A △ ψ(A)) est exclusivement constitu´e de composantes connexes de A. De la mˆeme fa¸con, si ψ est extensif, alors (ψ(A) △ A) est exclusivement constitu´e de composantes connexes de Ac_.

ϕ

φ

Figure 3.2: Exemple d’op´erateur connexe binaire ϕ. φ n’est pas connexe

On d´efinit les op´erateurs connexes pour les fonctions num´eriques en partant des op´era- teurs connexes binaires que l’on fait agir sur les sections planes (ou plateaux : voir d´efini- tion 2.7) des fonctions num´eriques [83, 14]. La propri´et´e de conservation de la connexit´e dans le cas binaire vaut alors pour les plateaux des fonctions num´eriques. Il est ainsi possible de d´efinir autant d’op´erateurs connexes pour les fonctions num´eriques qu’il en existe pour les ensembles.

D´efinition 3.2 (Op´erateur connexe num´erique [83]) Un op´erateur num´erique ψ est connexe si et seulement si il ´etend les plateaux de l’image d’entr´ee :

ψ est connexe ⇔ ∀x ∈ E, P ltx(f ) ⊂ P ltx(ψ(f )) (3.2)

Les op´erateurs connexes num´eriques ont donc pour caract´eristique d’´elargir (on parlera ´egalement de propagation) et de fusionnner les plateaux de l’image [83]. Cette d´efinition n’impose aucune condition sur la mani`ere dont les niveaux d’intensit´e de la fonction sont modifi´es.

Nous donnons figure 3.3 un exemple d’op´erateur connexe num´erique (ici, une ouverture par reconstruction) et les maxima de l’image originale et de l’image filtr´ee. Les maxima de l’image filtr´ee sont moins nombreux et plus ´etendus que ceux de l’image originale.

Image originale "Pepper" et ses maxima

Ouverture par reconstruction de taille 20 et maxima de l’image ouverte

Figure 3.3: Effet des op´erateurs connexes num´eriques sur les zones plates de l’image

Op´erateurs connexes et Pyramide

La classe des op´erateurs connexes est de mani`ere ´evidente stable pour les op´erations de composition, de sup et d’inf [83, 14]. Consid´erons donc une pyramide d’op´erateurs [83], c’est-`a-dire une famille indic´ee d’op´erateurs {ψλ} tels que :

1. pour tout couple (λ, µ), le produit de composition (ψλ◦ ψµ) appartient encore `a la famille

2. ∀λ ≥ µ > 0, ∃ν > 0, ψλ = ψν ◦ ψµ

Lorsque les op´erateurs qui engendrent cette famille sont connexes, la famille s’enrichit d’une propri´et´e tr`es importante. Nous avons vu qu’un op´erateur connexe n’agit sur les fonctions qu’en en propageant les zones plates. Si l’on consid`ere les fonctions issues de la pyramide (ψλ(f ))λ≥0, alors : les zones plates des ψλ(f ) s’´elargissent avec λ : les zones de gradient nul sont emboit´ees les unes dans les autres (voir figure 3.4). Cette propri´et´e est particuli`erement int´eressante dans le cadre de la segmentation d’image et est `a la base de techniques de segmentation pyramidales tr`es performantes [83, 14].

a- Image originale "Pepper"

a’- gradient morphologique de (a) b’- gradient morphologique de (b) b- Ouverture par rec. de taille 10

c’- gradient morphologique de (c) c- ouverture par rec. de taille 20

d’- gradient morphologique de (d) d- ouverture par rec. de taille 30

Figure 3.4: Emboitement des zones de gradient nul dans le cas d’une pyramide d’op´erateurs connexes

Construction d’op´erateurs connexes

Remarquons tout d’abord que dans le cas g´en´eral, les ouvertures et les fermetures mor- phologiques ne sont pas connexes ; elles ne le sont que dans le cas particulier d’un espace `a une dimension et lorsque l’´el´ement structurant utilis´e est connexe et, dans ce cas, elles correspondent `a des ouvertures par reconstruction : les seules ouvertures connexes sont les ouvertures par reconstruction.

D’une mani`ere g´en´erale, on construit des op´erateurs connexes `a partir de la recon- struction g´eod´esique [31, 83] : partant d’une transformation quelconque ψ, il est pos- sible de construire l’op´erateur connexe associ´e en composant ψ avec l’op´eration de re- construction (voir section B.3) : ψrec_{(f ) = δ}∞_{(f, ψ(f )) (si ψ est anti-extensif) ou bien} ψrec_{(f ) = ǫ}∞_{(f, ψ(f )) (si ψ est extensif). La reconstruction par dilatation g´eod´esique agit} au niveau des structures claires de l’image et la reconstruction par ´erosion g´eod´esique sur les structures sombres de l’image.

Un exemple simple est celui des h-reconstructions (voir section 2.3.2) : ψ correspond `a un d´ecalage n´egatif ou positif de l’image. Les h-reconstructions sont construites en composant cette op´eration de d´ecalage avec une reconstruction num´erique.

Remarquons que le processus de reconstruction num´erique peut ˆetre vu comme un processus de reconstruction binaire appliqu´e aux seuils successifs de l’image :

∀x ∈ E, δ∞(f, ψ(f ))(x) = supns ≤ f (x) | CxX_s+(f )∩ X_s+(ψ(f )) 6= ∅o (3.3) Nous rappelons que X+

s (f ) d´esigne le seuil au niveau s de f : Xs+(f ) = {x ∈ E | f (x) ≥ s} et que Cx d´esigne l’ouverture connexe ponctuelle : Cx(X) extrait de X la composante connexe contenant x.