Fonction d’extinction : d´efinition

Dans tout ce qui suit Ψ = (ψλ)λ≥0 d´esignera une famille d´ecroissante de transformations connexes anti-extensives :

1. ∀λ ≥ 0, ψλ(f ) est connexe

2. ∀µ ≥ λ ≥ 0 =⇒ ψλ ≤ ψµ

3. ∀λ ≥ 0, ψλ(f ) ≤ f et ψ0 = Id

Nous allons, dans un premier temps, d´efinir la notion de fonction d’extinction dans le cas des fonctions binaires, et, dans un second temps, ´etendre cette d´efinition aux fonctions num´eriques. Nous nous restreignons dans tout ce qui suit au cas discret. Les notions intro- duites valent dans le cas continu pour l’ensemble restreint des fonctions lipschitziennes. Cas des ensembles

Soit Y un ensemble quelconque et X un sous-ensemble connexe de Y . Nous avons suppos´e les op´erateurs ψλ connexes et anti-extensifs donc ψλ(Y ) est exclusivement constitu´e de composantes connexes de Y , c’est-`a-dire, puisque X est suppos´e connexe : ψλ(X) = X ou bien ψλ(X) = ∅.

Par hypoth`ese, ψλ est d´ecroissant vis-`a-vis de l’indice λ donc : Si X est connexe, ∃λ ≥ 0 tel que :

(

µ ≤ λ ⇒ ψµ(X) = X ψλ+1(X) = ∅

L’indice λ caract´erise la persistance de la particule connexe X par rapport `a la famille Ψ. D´efinition 3.3 (Valeur d’extinction d’un ensemble connexe) Soit X un ensemble connexe, et Ψ = (ψλ)λ une famille d´ecroissante de transformations connexes anti-extensives. La valeur d’extinction de X par rapport `a Ψ not´ee EΨ(X) est la valeur maximale λ telle que ψλ pr´eserve X :

EΨ(X) = sup{λ ≥ 0 | ψλ(X) = X} (3.4)

Si Ψ est une granulom´etrie par ouvertures par reconstruction, alors EΨ(X) est la taille de l’ouverture ultime associ´ee `a X (voir la relation 2.19 au paragraphe 2.2.4) :

EΓ(X) = sup{λ ≥ 0 | γrec

λ (X) = X} = sup{λ ≥ 0 | γλ(X) 6= ∅}

Dans ce cas, si Y est un ensemble quelconque, la fonction ayant pour support Y et pour valeurs num´eriques les valeurs d’extinction des composantes connexes de Y est exactement la fonction granulom´etrique par reconstruction associ´ee `a Y .

Dans tout ce qui suit, nous noterons C(Y ) l’ensemble des composantes connexes de l’ensemble Y . On d´efinit la fonction d’extinction d’un ensemble Y sur le mod`ele des fonctions granulom´etriques (voir paragraphe 2.2.4) :

D´efinition 3.4 (Fonction d’extinction d’un ensemble) Soit Y un ensemble, et Ψ = (ψλ)λ une famille d´ecroissante de transformations connexes anti-extensives. La fonction d’extinction de Y par rapport `a Ψ not´ee FE

Ψ(Y ) associe `a chaque composante connexe de Y sa valeur d’extinction par rapport `a Ψ :

∀x ∈ Y, F_ΨE(Y )(x) = (

EΨ(X) si ∃X ∈ C(Y ), x ∈ X

0 sinon (3.5)

On d´efinit de mani`ere duale les valeurs d’extinction des composantes connexes de Yc _en consid´erant une famille croissante de transformations connexes extensives : Ψ = (Ψλ)λ≥0. Nous rappelons que si ψλ est anti-extensif, alors ψλ d´efini par ψλ(Y ) = (ψλ(Yc))c est extensif. On a : FE Ψ(Y ) = F E Ψ(Y c )

La figure 3.5 correspond `a une op´eration classique en imagerie binaire : on asssocie `a chaque composante connexe sa surface. L’image num´erique des composantes valu´ees selon leur surface peut ˆetre vue comme une fonction d’extinction binaire associ´ee `a la famille de transformations (ψλ)λ≥0 avec :

∀X connexe , ψλ(X) = (

X si Surf (X) ≥ λ

∅ sinon

o`u Surf (X) d´esigne la surface de X (nombre de pixels de la composante connexe X). Surface(X) X Y X’ X" Surface(X’) Surface(X")

Figure 3.5: Fonction d’extinction d’une image binaire : sur cet exemple, on associe `a chaque composante connexe un niveau de gris ´egal `a sa surface.

C’est l’extension au cas num´erique de telles op´erations binaires classiques qui nous int´eresse ici.

Cas des fonctions num´eriques

Le fait que la fonction d’extinction binaire soit d´efinie `a partir d’op´erateurs connexes permet d’´etendre cette notion aux fonctions num´eriques. On passe alors de l’analyse des composantes connexes des ensembles `a l’analyse des extrema r´egionaux des fonctions num´eriques. En effet, nous avons vu que les op´erateurs connexes ont de bonnes propri´et´es vis-`a-vis des extrema des fonctions num´eriques.

Nous nous int´eressons, dans un premier temps, `a l’´etude des maxima de l’image : on se restreint donc `a des transformations agissant uniquement sur les structures claires de l’image, c’est-`a-dire des transformations anti-extensives. Nous supposerons donc, dans tout ce qui suit, que Ψ est une famille d´ecroissante de transformations connexes anti- extensives.

Nous notons Max(f ) l’ensemble des maxima r´egionaux d’une fonction num´erique f . ψλ est par hypoth`ese un op´erateur connexe donc il n’agit sur l’image qu’en propageant les zones plates et en particulier les maxima :

∀M ∈ Max(f ), x ∈ M ⇒ M ⊂ P ltx(ψλ(f ))

Un maximum de f est ´etendu par ψλ pour donner soit un maximum, soit un plateau non-maximum de ψλ(f ).

Les images ψλ(f ) sont constitu´ees de plateaux de plus en plus ´etendus `a mesure que λ augmente, pour finalement (pour une valeur λ infinie, c’est `a dire suffisamment grande) ne constituer qu’un seul plateau unique. Une image constante d´efinit un plateau `a la fois maximum (sans voisin plus haut) et `a la fois minimum (sans voisin plus bas). Par conven- tion, lorsqu’on ´etudie les maxima de l’image, nous consid´erons de tels plateaux comme des minima (lorsqu’on ´etudie les minima, nous les consid´erons comme des maxima). Cette convention permet d’assurer, pour tout maximum M de f , l’existence d’un niveau λ tel que M n’appartienne plus `a un maximum de ψλ(f ).

Finalement, comme ψλ est d´ecroissant vis-`a-vis de l’indice λ, on a : ∀M ∈ Max(f ), ∃λ ≥ 0 tel que :

(

µ ≤ λ ⇒ M ∈ Max(ψµ(f )) M /∈ Max(ψλ+1(f ))

On impose que M soit maximum r´egional pour toute valeur µ ≤ λ. En effet, on calcule la valeur d’extinction de M d`es que le plateau de ψµ(f ) contenant M n’est plus maximum r´egional, mais ce plateau peut ´eventuellement, pour des indices suivants, fusionner avec un autre plateau pour redonner un maximum r´egional.

D´efinition 3.5 (Valeur d’extinction d’un maximum r´egional) Soit M un maximum r´egional d’une fonction num´erique f , et Ψ = (ψλ)λ une famille d´ecroissante de transfor- mations connexes anti-extensives. La valeur d’extinction de M par rapport `a Ψ not´ee EΨ(M) est la valeur maximale λ telle que M reste maximum r´egional de ψλ(f ) :

EΨ(M) = sup{λ ≥ 0 | ∀µ ≤ λ, M ⊂ Max(ψµ(f ))} (3.6)

Si l’on suppose que les structures claires d’une image sont toutes marqu´ees par un max- imum r´egional, alors la valeur d’extinction associ´ee `a un maximum r´egional M caract´erise la persistance de la structure claire qu’il marque lorsqu’on filtre de plus en plus s´elective- ment l’image. Le crit`ere de filtrage introduit par la famille Ψ, d´efinit la caract´eristique des structures de l’image qui est ainsi extraite.

On d´efinit sur le mod`ele binaire la fonction d’extinction num´erique, qui associe aux maxima d’une image leurs valeurs d’extinction :

D´efinition 3.6 (Fonction d’extinction d’une fonction num´erique) Soit f une fonc- tion num´erique et Ψ = (ψλ)λ une famille d´ecroissante de transformations connexes anti- extensives. La fonction d’extinction de f respectivement `a Ψ not´ee FE

Ψ(f ) associe `a chaque maximum r´egional de f sa valeur d’extinction par rapport `a Ψ :

∀x ∈ E, F_ΨE(f )(x) = (

EΨ(M) si ∃M ∈ Max(f ), x ∈ M

−∞ sinon (3.7)

On d´efinit de mani`ere duale les valeurs d’extinction des minima r´egionaux d’une image num´erique `a partir d’une famille de transformations anti-extensives. Cela revient ´egale- ment `a appliquer ψλ `a (−f ) puis `a inverser le r´esultat. On a :

F_ΨE(f ) = F_ΨE(−f )

La figure 3.6 illustre la fonction d’extinction obtenue dans le cas d’ouvertures par reconstruction.

fonction d’extinction

Plateaux non extrema Ouvertures par reconstruction de taille croissante

Figure 3.6: Fonction d’extinction d’une image num´erique : sur cet exemple, `a chaque maximum (chaque dˆome de l’image), on associe la taille maximale de l’ouverture par reconstruction qui pr´eserve (au moins partiellement) le dˆome.

Remarques sur les conditions impos´ees `a la famille Ψ : La notion de valeur d’extinction peut th´eoriquement ˆetre d´efinie `a partir de toute famille d’op´erateurs con- nexes. Les conditions suppl´ementaires que nous avons impos´ees (famille d’op´erateurs ex- tensifs ou anti-extensifs) permettent d’assurer que les notions d´efinies ont un sens physique

: lorsqu’on ´etudie les structures claires de l’image, on consid`ere des transformations agis- sant de mani`ere privil´egi´ee sur les structures claires de l’image, c’est-`a-dire des transfor- mations anti-extensives. Les transformations extensives seront utilis´ees pour l’´etude des structures sombres de l’image.