3.3 Etude approfondie de quelques cas particuliers
3.3.1 La dynamique : une fonction d’extinction particuli`ere
Un des outils les plus performants aujourd’hui utilis´es en morphologie math´ematique pour s´electionner les extrema significatifs d’une image selon leur contraste est la dy- namique [21, 22]. Nous avons vu qu’un lien ´etroit existe entre la dynamique et une famille de transformations morphologiques agissant selon un crit`ere de contraste : les h-reconstructions (δ∞(f, f − h)) (voir la relation 2.25 au paragraphe 2.3.4).
δ∞(f, f − h) est une transformation connexe, croissante et anti-extensive [21]. Elle satisfait ´egalement une loi d’absoption pyramidale de type additif :
th(f ) = δ∞(f, f − h) th(f ) ◦ th
La famille (δ∞(f, f − h))h≥0 satisfait l’ensemble des conditions que nous avons impos´ees pour d´efinir une fonction d’extinction. La valeur d’extinction d’un maximum r´egional M d’une fonction f par rapport `a la famille (δ∞(f, f − h))h≥0 est alors d´efinie par :
∀M ∈ M⊣§(f ), Ed(M) = sup{h ≥ 0 | ∀t ≤ h, M ∩ Max(δ∞(f, f − t)) 6= ∅}
Nous allons montrer que Ed(M) = dyn(M) − 1, c’est-`a-dire que l’on a (puisque que les valeurs de h sont discr`etes) :
dyn(M) = inf {h ≥ 0 | M ∩ Max(δ∞(f, f − h)) = ∅} (3.8)
Avant de d´emontrer la relation 3.8, quelques remarques importantes pour la suite peu- vent ˆetre faites `a propos de la dynamique et des h-reconstructions.
• Nous rappelons que la dynamique d’un maximum r´egional M est la d´enivellation minimale `a franchir, quand, partant de M, on cherche `a atteindre un point de plus haute altitude (d´efinition 2.10 de M. Grimaud). Cette d´efinition se formalise en :
dyn(M) = f (M) − sup{s ≤ f (M) | ∃x ∈ CM(Xs+(f )), f (x) > f (M)} (3.9) Si M est le maximum de plus haute altitude de f , on convient d’associer `a M une dy- namique infinie [21].
M
dyn(M) x
Figure 3.9: Principe de la dynamique : on cherche le col le plus haut qui unit le dˆome de sommet M `a un autre dˆome de plus haut sommet.
• Les transformations par reconstruction s’expriment ´egalement en consid´erant les seuils successifs de l’image (voir relation 3.3) :
δ∞(f, f − h)(x) = sup{s ≤ f (x) | Cx(Xs+(f )) ∩ Xs+(f − h) 6= ∅} Ce qui s’´ecrit ´egalement :
δ∞(f, f − h)(x) = sup{s ≤ f (x) | ∃y ∈ Cx(Xs+(f )), f (y) − h ≥ s} (3.10)
• Nous rappelons ´egalement que si M est un maximum r´egional de f d’altitude not´ee f (M), de dynamique dyn(M), alors (voir th´eor`eme 2.1) :
f f-h
δ(f,f-h)
Figure 3.10: Principe des h-reconstructions : les dˆomes de l’image sont aras´es. D´emontrons la relation 3.8
Soit M un maximum r´egional de f . Nous noterons dyn(M) sa dynamique, f (M) son altitude dans f .
• Montrons que si h = dyn(M), alors M n’est pas inclus dans un maximum r´egional de δ∞(f, f − h).
Soit s = f (M) − dyn(M). Si h = dyn(M), on a :
s = δ∞(f, f − h)(M) d’apr`es 3.11
∃x ∈ CM(X+
s (f )), f (x) > f (M) d’apr`es 3.9 (voir figure 3.9)
Evaluons δ∞(f, f − h)(x). La dilatation est extensive, donc δ∞(f, f − h) ≥ f − h et par cons´equent : δ∞(f, f − h)(x) > f (x) − h > f (M) − h
D’apr`es 3.11, f (M)−h = δ∞(f, f −h)(M), donc : δ∞(f, f −h)(x) > δ∞(f, f −h)(M)
Montrons que x ∈ CM(X+
s (δ∞(f, f − h))). δ∞(f, f − h) est connexe : elle agit sur les seuils de f composante connexe par composante connexe (une composante connexe est soit enti`erement pr´eserv´ee soit enti`erement ´elimin´ee). Par cons´equent : CM(X+ s (f )) ⊂ CM(Xs+(δ∞(f, f − h))). Finalement : ( s = δ∞(f, f − h)(M) ∃x ∈ CM(X+ s (δ∞(f, f − h))), δ∞(f, f − h)(x) > δ∞(f, f − h)(M) Le plateau de δ∞(f, f − h) contenant M admet donc au moins un voisin de plus haute altitude. Ce n’est pas un maximum r´egional. (cqfd)
• Montrons que si h < dyn(M), alors M est inclus dans un maximum r´egional de δ∞(f, f − h). Pour cela, nous allons montrer que si M n’est pas inclus dans un maximum r´egional, alors h ≥ dyn(M).
On pose s = δ∞(f, f − h)(M) ≥ f (M) − h. Si M n’est pas inclus dans un maximum de δ∞(f, f − h), alors le plateau contenant M admet au moins un voisin de plus haute altitude :
∃x ∈ CM(Xs+(δ∞(f, f − h))), δ∞(f, f − h)(x) > s δ∞(f, f − h)(x) ≥ s + 1. D’apr`es 3.10 : ∃y ∈ Cx(X+
Evaluons f (y) : s ≥ f (M) − h donc f (y) − h > f (M) − h soit f (y) > f (M)
De plus, y ∈ CM(X+
s (f )). En effet : Cx(Xs+1+ (f )) ⊂ Cx(Xs+(f )) = CM(Xs+(f )).
y v´erifie : y ∈ CM(X+
s (f )) et f (y) > f (M), donc d’apr`es 3.9 : s ≤ f (M) − dyn(M). Or s ≥ f (M) − h, par cons´equent, on a forc´ement : h ≥ dyn(M) (cqfd)
La conclusion de tout ceci est que la dynamique correspond, `a une constante pr`es, aux valeurs d’extinction associ´ees `a la famille (δ∞(f, f − h))h≥0 :
∀M ∈ M⊣§(f ), Ed(M) = dyn(M) − 1
La dynamique apparaˆıt donc comme une fonction d’extinction particuli`ere associ´ee `a des filtres morphologiques de contraste. Elle correspond `a une mesure de persistance des structures de l’image quand on applique des filtres morphologiques de contraste de plus en plus s´electifs.
La figure 3.11 illustre le lien entre la dynamique et les h-reconstructions. Sur cet exemple, `a chaque maximum de l’image filtr´ee δ∞(f, f − h) correspond un et un seul maximum de l’image originale de dynamique sup´erieure `a h. Nous verrons, dans le chapitre suivant, comment le cas particulier de deux maxima de mˆeme altitude peut modifier ce r´esultat et comment cette configuration pathologique peut ˆetre trait´ee.
Maxima de l’image originale de dyn. sup. a 40 Maxima de l’image filtree Decalage / reconstruction - h = 40 M M’ h h Decalage / reconstruction Dyn(M’) = h
Figure 3.11: La dynamique et les filtres morphologiques de contraste : principe et illus- tration sur l’exemple ”Tools”
La figure 3.12 donne un exemple d’utilisation de la dynamique pour extraire d’une image les extrema significatifs en termes de contraste. La dimension spatiale des r´egions n’est pas prise en compte : la marque sur la route fortement contrast´ee est marqu´ee par un maximum de forte dynamique malgr´e sa petite taille. Par contre le ciel qui correspond `a une large r´egion de faible contraste est marqu´e par un maximum de faible dynamique. Ce r´esultat ´etait pr´evisible : le ciel est une r´egion significative en termes de taille, non en termes de contraste.
La dynamique peut ´egalement ˆetre calcul´ee sur une image gradient. Les minima du gradient correspondent aux plateaux de l’image originale. En calculant la dynamique sur une image gradient, on traite simultan´ement les structures claires et sombres de l’image
de d´epart (les maxima et les minima de l’image originale sont des minima de l’image gradient). Remarquons que l’interpr´etation de la dynamique ainsi calcul´ee n’est pas la mˆeme que lorsqu’elle est calcul´ee sur l’image originale : ce n’est plus une mesure de contraste des structures qui est d´eduite mais une mesure caract´eristique de la force et de l’homog´en´eit´e des contours des r´egions (voir figure 3.14).
Notons, enfin, la fragilit´e de la dynamique lorsqu’elle est calcul´ee sur une image gradi- ent : des variations locales d’intensit´e, au niveau des lignes de crˆete du gradient, peuvent modifier radicalement les valeurs de dynamique (voir figure 3.15). Nous aurons l’occasion de revenir plus en d´etails sur ce point important dans le chapitre 5 (voir notamment la figure 5.16). Le mˆeme ph´enom`ene apparaˆıt ´egalement sur l’image originale lorsque le con- tour d’une r´egion est flou (faible transition des niveaux de gris `a la fronti`ere de la r´egion) ; ceci peut influencer ´egalement, de mani`ere plus ou moins significative, la dynamique calcul´ee sur l’image originale.
les 4 maxima de plus forte dynamique h-reconstruction equivalente Image originale "Road" Maxima de l’image originale
Figure 3.12: Utilisation de la dynamique pour extraire les extrema les plus significatifs en termes de contraste : on ne retient que les 4 maxima de plus forte dynamique ; nous donnons, pour r´ef´erence, le r´esultat d’une h-reconstruction de param`etre h ´egal `a la plus faible valeur de dynamique prise par ces 4 maxima.
Image gradient Minima de l’image gradient les 4 minima de plus forte dynamique
M’ M M M’ Image gradient dyn(M) = dyn(M’) Image originale dyn(M) dyn(M’)
Figure 3.14: Comparaison entre la dynamique calcul´ee sur l’image originale et la dy- namique calcul´ee sur l’image gradient : lorsqu’elle est calcul´ee sur le gradient, la dynamique est caract´eristique de la force et de l’homog´en´eit´e des contours des r´egions.
minima dyn(M) M Contour Gradient uniforme minima M Contour Irregularite locale dyn(M)
Figure 3.15: Illustration du manque de robustesse de la dynamique calcul´ee sur une im- age gradient : des variations locales d’intensit´e modifient radicalement les valeurs de dy- namique extraites.