Exemples

Nous nous proposons de comparer les filtres d’extinction dans le cas de la dynamique et des valeurs d’extinction surfaciques et volumiques lorsque celles-ci sont calcul´ees soit sur l’image originale, soit sur l’image gradient. L’image ”Tools” nous servira d’illustration (voir figure 3.44).

surf(M’) M M’ M" surf(M) surf(M") f f g M’ M" surf(M’) surf(M") M M" M’ Filtre d’extinction f M’ M" Filtre d’extinction g

seuil = surf(M) seuil = surf(M’)

Figure 3.43: Non croissance des filtres d’extinction. Sur cet exemple, on calcule un filtre d’extinction surfacique. On a f ≥ g mais RE,+

s (f ) et RE,+s (g) ne sont pas comparables.

Figure 3.44: Image ”Tools” et son gradient (gradient morphologique de taille 1)

• La figure 3.45 donne un premier exemple du filtrage obtenu lorsque les marqueurs consid´er´es sont les maxima les plus significatifs de l’image en termes de contraste, de taille et de volume. Dans un premier temps, les valeurs d’extinction des maxima r´egionaux de l’image originale sont calcul´ees. Les marqueurs sont obtenus en s´electionnant les maxima de plus forte valeur d’extinction. Le filtre d’extinction consiste enfin en une reconstruction g´eod´esique de l’image `a partir des marqueurs obtenus. Dans le cas des valeurs d’extinction surfaciques par exemple, les seuls outils pr´eserv´es par le filtrage sont les outils de grande surface.

Nous comparons ce r´esultat `a celui obtenu en appliquant le filtre ´equivalent : nous avons vu que si les valeurs d’extinction sont d´efinies `a partir de la famille de transfor- mations (ψλ)λ≥0 alors, les maxima de valeur d’extinction sup´erieure ou ´egale `a un seuil s

donn´e marquent des structures de l’image qui persistent lorsqu’on applique ψs `a l’image.

Ainsi, le filtre d’extinction surfacique de seuil 1000 est compar´e `a une ouverture sur- facique de taille 1000. On remarque que les images issues des deux filtrages sont com- parables : les mˆemes structures sont ´elimin´ees, les mˆemes structures sont pr´eserv´ees. Cependant, les structures d’int´erˆet sont int´egralement pr´eserv´ees par le filtre d’extinction alors qu’elles sont aras´ees en hauteur par le filtre ψs. Ceci est particuli`erement visible sur nos exemple si l’on compare le filtre d’extinction surfacique de seuil 1000 et l’ouverture surfacique de taille 1000. Une des cl´es (celle situ´ee dans le coin bas `a gauche) a presque enti`erement ´et´e ´elimin´ee par l’ouverture (l’´elimination n’est pas encore totale cependant : voir figure 3.18)) ; elle est int´egralement reconstruite par le filtre d’extinction.

D’une mani`ere g´en´erale, si REψ,+

s d´esigne le filtre d’extinction et si ψλ est la transfor- mation associ´ee aux valeurs d’extinction ´etudi´ees, alors on a :

REψ,+

Reconstruction des structures marquees h-reconstruction avec h = 40 Max. de dyn. sup. a 40 (17 marqueurs)

Max. de val. d’ext. surf. sup. a 1000 Reconstruction des structures marquees Ouverture surfacique de taille 1000

Reconstruction des structures marquees

Max. de vol. sup. a 60000 (17 marq.) Arasement volumique de taille 60000

Figure 3.45: Exemple d’utilisation des valeurs d’extinction pour le filtrage d’image. En haut, les marqueurs correspondent aux maxima de forte dynamique. Au centre, les mar- queurs correspondent aux maxima de forte valeur d’extinction surfacique. En bas, les mar- queurs correspondent aux maxima de forte valeur d’extinction volumique. On compare les r´esultats `a ce que l’on obtiendrait `a partir des filtres ´equivalents : par une h-reconstruction, par une ouverture surfacique et par un arasement volumique.

• Le mˆeme traitement peut ˆetre appliqu´e aux structures sombres de l’image. Nous don- nons figure 3.46 le r´esultat obtenu dans le cas de la dynamique. Apr`es avoir reconstruit les structures blanches de fort contraste (marqu´ees par des maxima de dynamique sup´erieure ou ´egale `a 40), on reconstruit, sur l’image r´esultat, les structures sombres de fort contraste `a partir des minima de l’image originale de dynamique sup´erieure ou ´egale au mˆeme seuil s = 40.

Le r´esultat est compar´e `a ce que l’on obtiendrait en effectuant sur l’image originale des h-reconstructions altern´ee s´equentielle (pour une mˆeme taille h = 40). La diff´erence entre ces deux filtrages est notable : sur l’image filtr´ee d´eduite de la dynamique les objets trou´es sont int´egralement reconstruits (objet plus trou) ; Par contre, ces trous ont ´et´e ferm´es par les h-reconstructions altern´ees s´equentielles. La dynamique consid`ere les structures claires

et sombres de mani`ere ind´ependante alors que celles-ci inter-agissent lorsqu’on calcule la transformation altern´ee s´equentielle. De ce fait, lorsque les structures sont emboit´ees les r´esultats diff`erent : c’est le cas notamment pour la lame de rasoir, les clefs et les ´ecrous qui sont trou´es. Mais nous avons justement introduit la dynamique sym´etrique pour r´esoudre ce type de probl`eme...

Extr. de dyn. sup. a 40 Reconstruction des structures claires Reconstruction des structures sombres h-rec. alt. seq. (40 iterations)

Figure 3.46: Filtrage des structures claires et sombres de l’image de faible contraste en utilisant la dynamique des extrema de l’image - Comparaison avec le r´esultat obtenu `a partir d’un filtre de contraste sym´etrique

Si l’on applique le mˆeme processus de filtrage en consid´erant la dynamique sym´etrique (on extrait les extrema de l’image de dynamique sym´etrique sup´erieure `a 40 puis on effectue deux reconstructions successives sur les blancs puis sur les noirs), alors, le r´esultat obtenu est comparable `a celui d´eduit des h-reconstructions altern´ees s´equentielles (voir figure 3.47). Sur cet exemple, les “trous” dans les outils et les outils eux mˆemes ont des dynamiques identiques mais des dynamiques sym´etriques diff´erentes. C’est pour cette raison, que dans le cas de la dynamique sym´etrique, les trous des outils ne sont pas reconstruits.

Extr. de dyn. sym. sup. a 40 Reconstr. des struct. claires et sombres h-rec. alt. seq. (40 iterations)

Figure 3.47: Filtrage des structures claires et sombres de l’image de faible contraste en utilisant la dynamique sym´etrique des extrema de l’image

• Reprenons l’exemple de la figure 3.45 o`u le crit`ere de filtrage est la taille des structures. Pour filtrer les structures claires et sombres de l’image de taille inf´erieure `a une valeur s donn´ee, plusieurs solutions sont possibles :

• calculer les fonctions d’extinction surfaciques des extrema de l’image originale et seuiller le r´esultat au niveau s.

• calculer la fonction d’extinction surfacique sym´etrique des extrema de l’image orig- inale et seuiller le r´esultat au niveau s.

• calculer la fonction d’extinction surfacique des minima de l’image gradient et seuiller le r´esultat au niveau s.

La derni`ere solution est de toute ´evidence la plus simple. En effet, nous avons d´ej`a vu que les valeurs d’extinction surfaciques, qu’elles soient calcul´ees sur l’image originale ou sur l’image gradient, correspondent toujours `a une mesure de la taille des structures. Le calcul sur l’image gradient pr´esente en outre l’int´erˆet de consid´erer simultan´ement et de mani`ere inter-d´ependante les structures claires et sombres de l’image (voir figure 3.48).

La dynamique des minima du gradient peut ´egalement ˆetre utilis´ee pour filtrer les structures de l’image originale. Dans ce cas, le crit`ere de filtrage n’est pas le contraste mais la force et la r´egularit´e des contours des structures (voir figure 3.49).

Enfin, les valeurs d’extinction volumiques calcul´ees sur l’image gradient permettent d’´eliminer les r´egions de l’image de faible taille ou bien ayant des contours mal d´efinis (voir figure 3.50).

val. d’extinct. surf. sup. a 1000 Minima du gradient de

Reconstruction des structures marquees

Figure 3.48: Filtrage des structures claires et sombres de l’image de faible taille en utilisant les valeurs d’extinction surfaciques des minima de l’image gradient

plus forte dynamique Les 13 minima du gradient de

Reconstruction des structures marquees

Figure 3.49: Filtrage des structures claires et sombres de l’image aux contours mal d´efinis en utilisant la dynamique des minima de l’image gradient

Les 13 minima du gradient de

plus forte val. d’extinct. volumique Reconstruction des structures marquees

Figure 3.50: Filtrage des structures claires et sombres de l’image en utilisant les valeurs d’extinction volumiques des minima de l’image gradient