3.3 Etude approfondie de quelques cas particuliers
3.3.4 Arasement volumique et fonction d’extinction volumique
L’ouverture surfacique permet d’introduire un ´equivalent spatial de la notion de dy- namique. Notre but ici est de concilier ces deux crit`eres (taille et profondeur) de mani`ere `a introduire une valuation caract´eristique du volume des structures sur l’image.
Introduction d’une nouvelle transformation : l’Arasement volumique
Nous rappelons que Cx(X) extrait la composante connexe de X contenant x et que X+ s (f ) d´esigne le seuil de f au niveau s : X+
s (f ) = {x ∈ E | f (x) ≥ s}. Nous rappelons ´egalement que le sous-graphe d’une fonction num´erique f peut ˆetre vu comme une superposition de ses seuils successifs : voir figure 3.23.
f
s
Figure 3.23: Une fonction num´erique f peut ˆetre vue comme une superposition de ses seuils successifs
Nous avons vu que les transformations δ∞(f, f − h) et γa
λ(f ) (qui sont `a la base de la dynamique et de la fonction d’extinction surfacique) sont d´efinies par :
∀x ∈ E, δ∞(f, f − h)(x) = sup {s ≤ f (x) | ∃y ∈ Cx(X+ s (f )), f (y) − s ≥ h} ∀x ∈ E, γa λ(f )(x) = sup {s ≤ f (x) | Surf (Cx(Xs+(f ))) ≥ λ} f < S
ouverture surfacique de taille S
< h
f
h-reconstruction
h
Figure 3.24: Principe des h-reconstructions et de l’ouverture surfacique : ´elimination des dˆomes de hauteur ou de surface trop faible
δ∞(f, f − h) ´elimine les dˆomes de l’image (c’est-`a-dire les structures claires de l’image) de hauteur inf´erieure `a h ; les autres sont aras´es sur une hauteur h (donc partiellement pr´eserv´es). γa
λ(f ) ´elimine les dˆomes de l’image de surface inf´erieure `a λ ; les autres sont aras´es (voir figure 3.24). Nous nous proposons ici de d´efinir une transformation agissant sur les dˆomes de l’image selon leur volume.
γa
λ(f ) peut ˆetre vue comme une ouverture par un ´el´ement structurant plan de surface λ d´eformable. δ∞(f, f − h) peut ˆetre vue comme une ´erosion (suivie d’une reconstruction g´eod´esique) par un segment vertical de hauteur h centr´e en bas. Une mani`ere de concilier les crit`eres de taille et de hauteur peut consister `a consid´erer un ´el´ement structurant non plan et non ponctuel.
On peut notamment consid´erer la compos´ee γa
λ(δ∞(f, f − h)). Cette transformation peut ˆetre vue comme une ´erosion (suivie d’une reconstruction g´eod´esique) par un ´el´ement structurant d´efinit par un segment de hauteur h et une base d´eformable de surface λ (le centre de l’´element structurant ´etant situ´e sur sa base). On v´erifie ais´ement que :
γλa(δ∞(f, f − h)) = inf (γ a
λ(f ), δ∞(f, f − h)) γa
λ(δ∞(f, f − h)) ´elimine donc les dˆomes de l’image de hauteur ou de surface trop petite. Mais ce n’est pas exactement le volume des dˆomes qui est pris en compte. Un dˆome de volume V > h × λ peut tr`es bien ˆetre ´elimin´e par γa
λ(δ∞(f, f − h)) (voir figure 3.25).
< S
h-reconstruction
puis
ouverture surfacique de taille S f
< h
V > h.S S
E.S.
Comportement identique dans ces 2 configurations
Figure 3.25: γa
λ(δ∞(f, f − h)) agit selon la surface et la hauteur des dˆomes mais non selon leur volume.
Consid´erons maintenant une ´erosion par un ´el´ement structurant non plan quelconque (voir figure 3.26). Si on effectue une reconstruction de f par cet ´erod´e, alors, tous les dˆomes de l’image ne contenant pas cet ´el´ement structurant non plan sont ´elimin´es. Les autres sont ´erod´es. Nous d´efinissons l’arasement volumique comme une ´erosion associ´ee `a un ´el´ement structurant non plan de volume donn´e λ d´eformable capable d’adapter localement sa forme aux structures de l’image.
Erosion volumique (taille V) E.S. deformable f
Erosion par un E.S. non plan Reconstruction f
Figure 3.26: ´erosion `a partir d’un ´el´ement structurant `a niveaux de gris d´eformable Dans tout ce qui suit, V ols
x(f ) d´esignera la quanti´e : V ols x(f ) = X y∈Cx(X+s(f )) (f (y) − s) (3.15)
D´efinition 3.8 (Arasement volumique) Soit f une fonction num´erique. L’arasement volumique de taille λ de f not´ee av
λ(f ) est d´efini par : ∀x ∈ E, av
λ(f )(x) = sup{s ≤ f (x) | V ol s
x(f ) ≥ λ} (3.16)
av
λ(f ) ´elimine les dˆomes de l’image (c’est-`a-dire les structures claires de l’image) de volume strictement inf´erieur `a λ ; les autres sont aras´es (voir figure 3.27).
On d´efinit de mani`ere duale une transformation agissant sur les structures sombres de l’image : ∀x ∈ E, av λ(f )(x) = −a v λ(−f ) = inf {s ≥ f (x) | X y∈Cx(Xs−(f )) (s − f (y)) ≥ λ} (3.17) < V >= V
Arasement volumique (taille V) f
f(y)-s y
s
Le volume en discret
Figure 3.27: Principe de l’arasement volumique : ´elimination des dˆomes de volume trop faible
Propri´et´es de l’arasement volumique • La transformation av
λ n’est pas une ´erosion car elle ne commute pas avec l’inf : ∃(f, g) | av
λ(f ∧ g) 6= avλ(f ) ∧ avλ(g). Nous rappelons que δ∞(f, f − h) ne d´efinit pas non plus une ´erosion.
• av
λ est de mani`ere ´evidente • connexe
• anti-extensive : av
λ(f ) ≤ f et av0 = Id • croissante : f ≤ g =⇒ av
λ(f ) ≤ avλ(g)
• d´ecroissante vis-`a-vis de l’indice λ : ∀f, λ ≥ µ =⇒ av
λ(f ) ≤ avµ(f )
Ces propri´et´es sont ´egalement v´erif´ees par l’ouverture surfacique et par les h-reconstructions ; nous rappelons qu’elles correspondent aux conditions que nous avons impos´ees pour d´efinir la notion de fonction d’extinction.
• av
λ n’est pas idempotente (comme l’ouverture surfacique) et avλ◦ avµ≤ avλ+µ mais on n’a pas toujours l’´egalit´e donc av
λ ne satisfait pas une loi de composition additive (comme les h-reconstructions) (voir figure 3.29).
f g V f^g λ v ^ (f g) a
Pseudo-erosion volumique de taille V
f λ v (f) g λ v (g) a a INF ^ λ v (f) λv(g) a a
Pseudo-erosions volumiques de taille V INF
Figure 3.28: L’arasement volumique ne commute pas avec l’inf : ce n’est pas une ´erosion. Sur cet exemple av
λ(f ) ∧ avλ(g) 6= avλ(f ∧ g)
En conclusion, les propri´et´es de la la transformation av
λ ne sont pas aussi riches que celles des transformations morphologiques classiques utilis´ees pour le filtrage d’image. Doit-on en d´eduire que cette transformation n’est pas int´eressante ? Nous ne le pensons pas. Notamment, le fait qu’elle soit connexe, croissante, anti-extensive et d´ecroissante vis-`a-vis de l’indice λ permet d’utiliser la famille (av
λ)λ≥0 pour l’´etude des maxima de l’image.
On peut ´egalement s’interroger sur le sens physique d’une telle transformation qui m´elange des grandeurs spatiales et des grandeurs relatives `a la luminance. En effet, par construction, le r´esultat d’une telle transformation est compl`etement modifi´e par anamor- phose. En r´ealit´e, c’est en liant l’information spatiale et celle de luminance qu’il est possible d’approcher la perception humaine : `a contrastes ´egaux, l’oeil per¸coit avec plus ou moins d’intensit´e des objets de petite ou de grande taille. Nous verrons dans le chapitre suivant, que sur le principe du volume, d’autres crit`eres peuvent ˆetre introduits pour m´elanger ces informations : rapport contraste sur surface par exemple.
Valeurs d’extinction volumiques Comme (av
λ)λ≥0 est une famille d´ecroissante de transformations connexes anti-extensives, on peut lui associer une fonction d’extinction que nous appellerons fonction d’extinction volumique et qui associe `a tout maximum M d’une image f une valeur d’extinction volu- mique d´efinie par :
∀M ∈ Max(f ), Ev(M) = sup{λ ≥ 0 | ∀µ ≤ λ, M ∩ Max(avµ(f )) 6= ∅} (3.18) La figure 3.30 illustre l’int´erˆet de la notion de valeur d’extinction volumique pour distinguer des objets ayant des dynamiques et des valeurs d’extinction surfaciques ´egales (voir figure 3.30).
On peut ´egalement remarquer que, si f ne contient que des structures de mˆeme taille, alors la hi´erarchie engendr´ee par la fonction d’extinction volumique est identique `a celle
Pseudo-erosion volumique de taille 5 Pseudo-erosion volumique de taille 2
Pseudo-erosion volumique de taille 7
Figure 3.29: av
λ◦avµ ≤ avλ+µmais on n’a pas toujours l’´egalit´e : sur cet exemple notamment.
engendr´ee par la dynamique. De mˆeme, si toutes les structures de l’image sont de mˆeme hauteur, la hi´erarchie engendr´ee est identique `a celle que l’on obtiendrait `a partir de la fonction d’extinction surfacique.
Les figures 3.31 et 3.32 illustrent le principe et le comportement de la fonction d’extinction volumique. Par un simple seuillage des maxima valu´es avec leur valeur d’extinction volu- mique, il est possible d’extraire des marqueurs des r´egions les plus significatives de l’image en termes de volume. On retient : les r´egions tr`es fortement contrast´ees mˆeme si elles sont de petite taille (l’´ecrou sur l’image ”Tools” de la figure 3.31), les r´egions de tr`es grande taille mˆeme si elles sont faiblement contrast´ees (la grande clef) ainsi que les r´egions ayant un contraste moyen et une taille moyenne. Sur l’exemple 3.32, le r´esultat obtenu est sim- ilaire `a celui que l’on obtenait dans le cas des valeurs d’extinction surfaciques : on extrait un marqueur pour la route, le mur, le bord de route enneig´e et le ciel.
h
M M’
S
M M’ M M’ M M’
Vol(M’) < Vol(M)
ARASEMENTS VOLUMIQUES DE TAILLE CROISSANTE
Figure 3.30: Les valeurs d’extinction volumiques permettent de distinguer des r´egions ayant des caract´eristiques en taille et en contraste identiques
La fonction d’extinction volumique peut ´egalement ˆetre calcul´ee sur une image gradient (voir figure 3.33). Comme dans le cas de la dynamique, l’information extraite dans ce cas n’est pas la mˆeme que celle que l’on extrait en calculant la fonction d’extinction volumique sur l’image originale. Ici, c’est la taille et la force des contours des r´egions qui sont pris en compte et non pas la taille et le contraste des r´egions (voir figure 3.34). Par rapport `a la fonction d’extinction surfacique calcul´ee sur l’image gradient, la fonction d’extinction volumique pr´esente l’avantage de prendre en compte la qualit´e des contours des r´egions en plus de leur taille.
Max. de l’im. orig. de val. d’extinct. vol. sup. a 60000 Maxima de l’image "erodee" Pseudo-erosion volumique de taille 60000
M
M’
E(M’) = V seuil s
Volume > V Volume = V
Arasement volumique de taille (V + 1)
Figure 3.31: Valeurs d’extinction volumiques : principe et illustration sur l’exemple ”Tools”