La Ligne de Partage des Eaux (LPE)

Nous nous contenterons ici de rappeler bri`evement le principe de la LPE sans entrer dans les d´etails. Pour une pr´esentation plus compl`ete, on pourra se r´ef´erer aux ouvrages de r´ef´erence en ce domaine : la th`ese de S. Beucher [2], celle de L. Vincent [96] et la publication de F. Meyer [57] pour la partie plus algorithmique, ainsi qu’aux ouvrages de la liste non exhaustive suivante [4, 2, 6, 61, 98, 57, 5].

Minima r´egionaux, bassins versants et LPE

La notion de LPE est ´etroitement li´ee `a celle de minimum r´egional. Nous rappelons qu’un minimum r´egional est un ensemble connexe de pixels d’altitude constante tel qu’il n’est pas possible, partant de cet ensemble de rejoindre un point de la surface d’altitude inf´erieure sans avoir `a grimper.

Une mani`ere de d´eterminer les minima r´egionaux d’une image peut consister en l’exp´erience suivante : consid´erons le relief sous un nuage de pluie. Une goutte d’eau tombant en un point x va couler le long du relief et va finalement rejoindre le fond d’une vall´ee : un minimum r´egional. Soit M un minimum r´egional de l’image. Si une goutte d’eau tombant en x rejoint finalement M, alors x appartient au bassin versant de M [96] (cf. figure 5.1).

D´efinition 5.1 (Bassin versant d’un minimum r´egional [96]) Soit M un minimum r´egional d’une image num´erique f . Le bassin versant associ´e `a M (not´e BV (M)) est l’ensemble des pixels x tels qu’une goutte d’eau tombant en x rejoint finalement M.

Figure 5.1: Minima r´egionaux, bassins versants et LPE

La notion de bassin versant permet d’associer `a chaque minimum r´egional une portion de l’image : la vall´ee qui lui correspond. L’ensemble des bassins versants associ´es `a chaque minimum r´egional de l’image d´efinit une partition de l’image. L’ensemble des points de s´eparation de deux bassins versants adjacents forme la ligne de partage des eaux.

Plusieurs techniques permettent de calculer la ligne de partage des eaux d’une image. Pour certaines configurations du relief, les r´esultats obtenus peuvent varier l´eg`erement [2]. Dans tout ce qui suit, nous consid´ererons que la LPE a ´et´e obtenue par un algorithme d’inondation (tel que nous l’avons ´evoqu´e dans le chapitre pr´ec´edent). Cette technique est la plus utilis´ee aujourd’hui [96, 57]. La LPE produite par inondation peut-ˆetre formul´ee `a l’aide d’une distance topographique [2].

La ligne de partage des eaux est g´en´eralement calcul´ee non pas sur l’image originale mais sur son gradient : ainsi les points de partage des eaux correspondent aux points crˆete du gradient autour des minima, c’est-`a-dire aux lieux de forte transition d’intensit´e sur l’image originale. Les r´egions extraites par cette transformation satisfont alors au crit`ere d’homog´en´eit´e.

La figure 5.2 donne un exemple de la segmentation ainsi obtenue. Par d´efinition, le nombre de r´egions est ´egal au nombre de minima r´egionaux de l’image gradient. Comme nous le voyons sur cet exemple, cette transformation conduit g´en´eralement `a une sur- segmentation de l’image et n’est donc pas directement utilisable.

Minima de l’image gradient Segmentation par LPE (1643 regions) Image gradient

Image originale "Tools"

Figure 5.2: Le calcul direct de la LPE produit une sur-segmentation de l’image La cause de la sur-segmentation est, par d´efinition, le grand nombre de minima pr´esents dans l’image. Pour pr´evenir ce probl`eme, F. Meyer propose de calculer la LPE `a partir d’un nombre moins important de minima. L’id´ee consiste `a modifier l’homotopie de l’image

sur laquel on calcule la LPE, c’est-`a-dire d’imposer d’autres minima `a cette image : les marqueurs des r´egions devant ˆetre segment´ees dans l’image [61].

Marqueurs et zones d’influence

On entend par marqueur une ou plusieurs composante(s) connexe(s) permettant de lo- caliser (mˆeme grossi`erement) les r´egions devant ˆetre segment´ees dans l’image. La question de l’obtention de ces marqueurs est un probl`eme central dans tous les algorithmes de seg- mentation par LPE. Ce point sera largement abord´e dans toute la suite de ce chapitre. Rappelons tout d’abord bri`evement, le principe de la segmentation par LPE `a partir de marqueurs.

Notons fM l’image (binaire) des marqueurs d´efinie comme suit : fM(x) =

(

0 si x ∈ Marqueur

∞ sinon

L’ensemble des minima r´egionaux de cette fonction est exactement ´egal `a l’ensemble des marqueurs des r´egions `a segmenter. Une mani`ere de contrˆoler le r´esultat de la seg- mentation est de modifier les minima de l’image sur laquelle on calcule la LPE (l’image gradient le plus souvent), c’est-`a-dire d’imposer nos marqueurs (les z´eros de fM) comme seuls minima r´egionaux de l’image g. Ceci est r´ealis´e tr`es simplement par une reconstruc- tion g´eod´esique de (g ∧ fM) par fM [61] (voir figure 5.3) :

g′ _{= ǫ}∞_{((g ∧ fM), fM) (5.1)} fM g g’ fM g LPE(g’) LPE(g)

Figure 5.3: Modification de l’homotopie d’une image gradient : on impose d’autres minima `a l’image en utilisant une reconstruction g´eod´esique

On peut alors associer `a chaque marqueur-minimum un bassin versant sur l’image dont l’homotopie a ´et´e modifi´ee (g′<sub>) et d´efinir ainsi une nouvelle partition de l’image. La</sub> figure 5.4 illustre notre propos. Sur cet exemple, les marqueurs consid´er´es ont ´et´e obtenus par un filtrage pr´ealable de l’image (ici par un filtre altern´e s´equentiel de taille 3) puis en consid´erant les extrema r´egionaux de l’image filtr´ee. Cette m´ethode permet d’assurer que les r´egions segment´ees ont une taille minimale : elles contiennent la boule de taille 3. On a ainsi souvent recours `a une ´etape de pr´e-filtrage de l’image (image originale ou image gradient) dans les algorithmes de segmentation par LPE. En effet, la plupart du temps, un probl`eme de segmentation est d´efini par un cahier des charges pr´ecis des r´egions

Image filtree Extrema de l’image filtree Modif. de l’homothopie du gradient Segmentation par LPE (48 regions)

Figure 5.4: Segmentation obtenue apr`es modification de l’homotopie du gradient `a extraire. C’est au niveau du ou des filtres utilis´es que les connaissances a priori sont g´en´eralement introduites dans l’algorithme de segmentation. L’ajustement des param`etres de filtrage est alors, dans de nombreux cas, le seul point m´ecanique de l’algorithme.

La modification de l’homotopie du gradient est en fait une ´etape fictive qui n’apparaˆıt pas explicitement dans l’algorithme aujourd’hui utilis´e pour calculer la LPE. En effet, la d´efinition algorithmique de la LPE plus g´en´erale que la d´efinition formelle permet de dissocier cette notion de celle de minima r´egionaux [96, 57]. Consid´erant un ensemble de marqueurs quelconques (connexes ou non), chaque marqueur repr´esente une source d’inondation du relief. La LPE associ´ee `a ces marqueurs correspond alors aux barrages qu’il faut ´eriger pour que deux lacs provenant de deux sources distinctes ne se rencontrent pas lorsque le niveau d’inondation du relief progresse.

Lorsque la LPE est calcul´ee `a partir de marqueurs quelconques, les r´egions ainsi d´efinies autour des marqueurs sont appel´ees zones d’influence.

Notons que, dans le cas o`u les marqueurs sont connexes, alors, le nombre de r´egions est exactement ´egal au nombre de marqueurs. Cette propri´et´e n’est pas forc´ement satisfaite dans le cas de marqueurs non connexes.

g

LPE des minima de g

marqueurs LPE des marqueurs

Figure 5.5: Algorithme de calcul de la LPE `a partir de marqueurs quelconques : l’eau p´en`etre dans le relief `a partir des marqueurs et non plus des minima.