Apport du point de vue sym´etrique

L’analyse dendronique est uniquement d´efinie `a partir d’une vue non sym´etrique de l’image : on ´etudie soit les pics, soit les vall´ees de l’image. Ce principe peut bien ´evidemment ˆetre appliqu´e `a une image gradient de telle sorte que les structures claires et sombres de l’image soient trait´ees simultan´ement. Mais nous savons que dans ce cas, une partie de l’information pr´esente sur l’image originale est perdue.

Nous avons vu que la notion de valeur d’extinction sym´etrique associ´ee `a des familles de transformations altern´ees s´equentielles permettent de d´efinir un arbre de fusion des extrema de l’image. Le point de vue sym´etrique permet donc de d´efinir un ´equivalent sym´etrique du dendrone traitant simultan´ement pics et vall´ees de l’image.

Nous avons vu que le passage de l’arbre de fusion des minima au dendrone s’effectue tr`es simplement : A −→ B se traduisant par la cr´eation du noeud (A+B) dans le dendrone. La construction d’un dendrone sym´etrique peut s’effectuer selon le mˆeme algorithme que celui utilis´e pour calculer la dynamique sym´etrique et qui aboutit `a un arbre de fusion sym´etrique des extrema de l’image : on effectue une propagation des extrema de l’image

; lorsque deux nappes fusionnent, un nouveau noeud est cr´e´e, r´esultat de l’agr´egation des deux nappes : si A −→ B dans l’arbre de fusion des extrema, alors A et B sont des noeuds terminaux du dendrone sym´etrique et A et B ont pour p´ere le nouveau noeud (A + B). Encore une fois, seule la structure utilis´ee (de type ”arbre non orient´e” et non plus de type ”arbre orient´e”) diff`ere dans l’algorithme (voir figure 4.30).

A B C D E A B C D E c d a b dendrone dendrone symetrique

Figure 4.30: D´efinition sym´etrique du dendrone `a partir de la notion de dynamique sym´etrique : on reprend le processus de propagation des extrema utilis´e pour le calcul de la dynamique sym´etrique. Lorsque deux plateaux fusionnent, une branche de l’arbre est cr´ee ainsi qu’un nouveau noeud (correspondant `a l’union des deux plateaux).

4.4

Discussion

La d´efinition algorithmique des fonctions d’extinction met en ´evidence une notion sous- jacente tr`es importante : celle d’ arbres de fusion des extrema de l’image. Dans le cas non sym´etrique, l’arbre construit lie soit les minima soit les maxima de l’image ; dans le cas sym´etrique l’ensemble des extrema de l’image sont li´es entre eux. De plus ces arbres contiennent toute l’information qu’il est possible d’extraire de l’image en calculant les familles croissantes de filtres morphologiques associ´ees.

L’utilisation de telles repr´esentations arborescentes dans le cas non sym´etrique n’est pas nouvelle. Par contre, la notion de dynamique sym´etrique introduit de nouvelles per- spectives pour l’analyse d’image par arbre qui peut par ce biais ˆetre d´efinie sym´etrique- ment pour les structures claires et sombres de l’image.

A partir de cette structure arborescente, il est possible de centraliser toute l’information recueillie : le contraste, la surface, le volume... ; nous avons vu qu’on peut ´egalement l’utiliser pour introduire d’autres mesures sur les r´egions de l’image... Nous allons voir enfin, dans le chapitre suivant, comment cette information est exploitable pour la seg- mentation d’images.

Chapitre 5

Application `a la segmentation

d’image

La segmentation (c’est-`a-dire la partition d’une image en r´egions connexes homog`enes) est un point central de l’analyse d’image. Etape oblig´ee de tout syst`eme d’analyse intel- ligente de sc`enes (modules d’assitance `a la conduite, d’aide au diagnostique m´edical, de t´el´esurveillance... pour ne citer que quelques exemples), la segmentation est ´egalement utilis´ee dans des domaines a priori moins ´evidents tels que le codage d’image (codage orient´e objet), l’analyse de mat´eriaux...

Analyser et comprendre une sc`ene sous-entend d’abord extraire, segmenter et mettre en correspondance les diff´erentes r´egions de la sc`ene. La question de l’interpr´etation de cette information est g´en´eralement un probl`eme intervenant dans une seconde ´etape et qui fait appel `a des techniques ne relevant plus `a proprement parler de l’analyse d’image mais de l’intelligence artificielle.

En morphologie math´ematique, la segmentation d’image est presque essentiellement bas´ee sur une m´ethode : la Ligne de Partage des Eaux (LPE) calcul´ee sur une image gradient `a partir de marqueurs des r´egions `a extraire. Trouver ces marqueurs est toujours un probl`eme d´elicat. Or, sur ce point pr´ecis´ement, les fonctions d’extinction que nous avons introduites laissent pr´esager un apport important.

5.1

Introduction : la segmentation par LPE

Le probl`eme de la segmentation d’image peut ˆetre abord´e par le biais de diverses tech- niques, des plus imm´ediates comme le simple seuillage, aux plus complexes comme celles fond´ees sur la g´eom´etrie des objets [81], la g´eom´etrie informatique [72], la croissance hi´erar- chique de r´egions [74, 65, 66, 14]... Aujourd’hui, la segmentation d’image en morphologie math´ematique est presque essentiellement bas´ee sur une seule transformation : la ligne de partage des eaux. Les autres m´ethodes (bas´ees sur le seuillage ou bien sur des trans- formations de base de la morphologie math´ematique telles que le chapeau haut de forme ou encore les d´ecompositions morphologiques d’images, les squelettes ...) ne sont utilis´ees que dans des cas ”pathologiques” du fait de leur complexit´e (voir par exemple [86, 94]) ou bien de leur extrˆeme simplicit´e et pour lesquels la ligne de partage des eaux ne constitue

pas une solution optimale.

La ligne de partage des eaux (LPE) trouve son origine en topographie et en hydrolo- gie [11, 74] et apparaˆıt comme le prolongement naturel de transformations morphologiques ensemblistes [2, 4] (le squelette par zone d’influence SKIZ, les transformations homo- topiques et g´eod´esiques). La LPE fut ´elabor´ee `a l’aide des transformations morphologiques pour la premi`ere fois en 1977 par C. Lantuejoul [39, 4]. La formalisation de ce concept comme outil de segmentation fut effectu´ee par S. Beucher en 1989 [2]. Enfin, les travaux de F. Meyer sur la notion de marqueurs achev`erent de rendre la ligne de partage des eaux op´erationnelle pour la r´esolution des probl`emes de segmentation [61, 6, 5, 98].

L’approche par ligne de partage des eaux poss`ede certaines similarit´es avec les tech- niques de croissance de r´egions. Bien plus qu’une autre m´ethode de segmentation par croissance de r´egion, le concept de ligne de partage des eaux formalise le probl`eme de la partition d’une image et permet de le d´efinir ind´ependamment d’un autre probl`eme sous-jacent qui est celui de l’extraction des r´egions significatives : un probl`eme de seg- mentation peut, par le biais de ce concept, ˆetre divis´e en deux parties ind´ependantes : une partie m´ecanique et totalement automatique (le calcul de la ligne de partage des eaux) et une partie intelligente `a la charge de l’utilisateur (l’utilisation de connaissances a priori pour extraire les r´egions pertinentes de l’image). Cette derni`ere partie est particuli`erement primordiale puisqu’elle d´etermine la segmentation finale de mani`ere radicale.