Fonction d’extinction surfacique

L’ouverture surfacique num´erique a ´et´e introduite r´ecemment par L. Vincent [97] comme une g´en´eralisation de l’ouverture surfacique binaire qui consiste `a extraire d’une image binaire les composantes connexes de surface sup´erieure `a une valeur donn´ee : on d´efinit l’ouverture surfacique num´erique en appliquant la transformation binaire `a chaque com- posante connexe des seuils successifs de f .

D´efinition 3.7 (Ouverture surfacique [97]) L’ouverture surfacique d’une image num´erique f de taille λ not´ee γa

λ(f ) est d´efinie par :

γaλ(f )(x) = sup{h ≤ f (x) | Surf (Cx(Xh+(f ))) ≥ λ} (3.12) Dans cette d´efinition, Surf (X) d´esigne la surface de l’ensemble X (nb de pixels appar- tenant `a X).

L’ouverture surfacique peut ˆetre vue comme une transformation avec un ´el´ement struc- turant plan qui adapte localement sa forme aux structures de l’image. L. Vincent montre la relation liant cette ouverture aux ouvertures morphologiques classiques d´efinies `a partir d’´el´ements structurants fixes : une ouverture surfacique de taille λ est ´egale `a un supr´e- mum des ouvertures morphologiques d´efinies `a partir d’´el´ements structurants connexes de

surface sup´erieure ou ´egale `a λ [97]. γa

λ =

_

{γB | B connexe et Surf (B) ≥ λ} (3.13)

Outre le fait de s’affranchir du choix de l’´el´ement structurant, l’ouverture surfacique pr´esente l’int´erˆet, par rapport aux ouvertures morphologiques classiques, de conduire `a un algorithme de calcul efficace [97]. Le principe de cet algorithme est un processus d’inondation de l’image similaire `a celui utilis´e dans l’algorithme de calcul de la ligne de partage des eaux [2, 96]. Les algorithmes relevant de tels processus sont parmi les plus rapides de la morphologie math´ematique.

Nous appellerons valeurs d’extinction surfaciques les valeurs d’extinction associ´ees aux ouvertures et aux fermetures surfaciques. Elles seront not´ees Ea_{. Ces valeurs correspon-} dent `a la persistence des structures de l’image lorsqu’on applique des ouvertures ou des fermetures surfaciques de taille croissante.

∀M ∈ Max(f ), Ea

(M) = sup{λ ≥ 0 | M ∩ Max(γλa(f )) 6= ∅} (3.14)

Contrairement aux valeurs d’extinction associ´ees aux ouvertures morphologiques clas- siques, les valeurs d’extinction surfaciques permettent d’extraire une caract´erisation en taille des structures de l’image sans qu’aucun crit`ere de forme ne soit pris en compte : sur l’exemple de la figure 3.18, les clefs, le crayon et la lame de rasoir ont de toute ´evidence des surfaces ´equivalentes. Les valeurs d’extinction surfaciques qui leur sont associ´ees sont ´egalement du mˆeme ordre de grandeur.

Surface > S

E(M) = S M

M’

Ouverture surfacique de taille (S + 1)

Surface = S

Max. de l’im. orig. de val. d’extinct. sup. a 1000 Maxima de l’image ouverte Ouverture surfacique de taille 1000

Figure 3.18: Valeurs d’extinction surfaciques : principe et illustration sur l’exemple ”Tools” La figure 3.19 donne un exemple d’utilisation de la fonction d’extinction surfacique pour extraire d’une image les extrema significatifs en termes de taille. Le contraste et la

forme des r´egions ne sont pas pris en compte. A chaque grande r´egion de l’image (la route, le ciel, le bord de route enneig´e et le mur) est associ´e un et un seul maximum de forte valeur d’extinction surfacique. Ce r´esultat peut ˆetre compar´e `a celui obtenu pr´ec´edemment grˆace `a la dynamique (voir figure 3.12).

La figure 3.20 illustre la comparaison entre la dynamique et les valeurs d’extinction surfaciques. On construit bien ainsi un ´equivalent spatial de la dynamique. A un maximum de faible dynamique peut ˆetre associ´ee une valeur d’extinction surfacique importante et vice versa.

les 4 max. de plus forte val. d’extinct. surf. Ouverture surfacique equivalente Maxima de l’image originale

Image originale "Road"

Figure 3.19: Utilisation de la fonction d’extinction surfacique pour extraire les extrema les plus significatifs en termes de taille : on ne retient ici que les 4 maxima de plus forte valeur d’extinction. L’image de gauche est le r´esultat de l’ouverture surfacique de taille λ, o`u λ correspond `a la plus faible valeur d’extinction des 4 maxima retenus. Seules les r´egions claires qui persistent sur l’image filtr´ee sont marqu´ees.

M

Image originale

Plateau non-maximum de l’image ouverte Maximum de l’image ouverte Ouvertures surfaciques de taille croissante

M’ M’

Valeur d’extinction surfacique de M

M

dyn(M) < dyn(M’)

dynamique de M

surf(M) > surf(M’)

Figure 3.20: Comparaison entre la dynamique et la fonction d’extinction surfacique : ces deux op´erateurs agissent selon deux crit`eres distincts, les hi´erarchies entre les extrema de l’image qui s’en d´eduisent diff`erent. Sur cet exemple : `a un pic ponctuel de forte amplitude, on associe une forte valeur de dynamique et une faible valeur d’extinction surfacique.

Tout comme la dynamique, la fonction d’extinction surfacique peut ´egalement ˆetre cal- cul´ee sur une image gradient (voir figure 3.21). Comme nous l’avons vu, le fait de travailler sur une image gradient permet de traiter simultan´ement de mani`ere non ind´ependante les structures claires et sombres de l’image. Les valeurs d’extinction surfaciques calcul´ees

sur l’image gradient sont ´egalement une mesure de la surface des r´egions de l’image : con- trairement `a la dynamique, dans le cas des valeurs d’extinction surfaciques, il n’y a pas de diff´erence d’interpr´etation entre la mesure calcul´ee sur l’image originale et celle calcul´ee sur l’image gradient, mˆeme si ces mesures peuvent ˆetre diff´erentes (voir figure 3.22).

En fait, il semble tout-`a-fait pertinent de calculer la fonction d’extinction surfacique sur une image gradient. En effet, la notion de taille d’une r´egion est ´etroitement li´ee `a la notion de contour de la r´egion, information que le calcul d’une image gradient permet d’extraire (voir figure 3.22). La distribution en taille ainsi obtenue est d’autant plus fiable que les contours des r´egions sont pr´ecis´ement d´efinis (lignes de crˆetes ferm´ees, pas de discontinuit´e locale sur l’image gradient). Lorsque ce n’est pas le cas, l’incertitude sur la taille calcul´ee est `a la mesure de l’incertitude sur le contour de la r´egion ´etudi´ee.

les 4 minima de plus forte val. d’extinct. surf.

Image gradient Minima de l’image gradient

Figure 3.21: Exemple o`u la fonction d’extinction surfacique est calcul´ee sur une image gradient Image gradient Image originale Surf(M) Surf(M) Surf(M’) Surf(M’) M M’ M M’

Figure 3.22: Comparaison entre la fonction d’extinction surfacique calcul´ee sur l’image originale et la fonction d’extinction surfacique calcul´ee sur l’image gradient. Contrairement au cas de la dynamique, il n’y a pas ici de diff´erence d’interpr´etation entre la mesure calcul´ee sur l’image originale et celle clcul´ee sur l’image gradient, mˆeme si ces mesures peuvent ˆetre diff´erentes.