Les transformations de la morphologie math´ematique agissent sur des ensembles en mor- phologie binaire et sur des fonctions en morphologie num´erique, le r´esultat d’une trans- formation ´etant de mˆeme nature que l’objet sur lequel elle s’applique (un ensemble est transform´e en un ensemble, une fonction en une fonction). La morphologie binaire est bas´ee sur les op´erations bool´eennes de base sur les ensembles : l’union ∪ et l’intersection ∩. Dans le cas num´erique, les op´erations de base sont le sup et l’inf.
B.1.1
La notion de connexit´e
La notion de connexit´e a ´et´e formalis´ee pour l’analyse d’image par G. Matheron et J. Serra [81, 82]. Elle permet notamment d’introduire la notion d’ouverture connexe ponctuelle (Cx) :
D´efinition B.1 (Ouverture connexe ponctuelle) Une ouverture Cx est appel´ee ou- verture connexe ponctuelle si elle v´erifie les trois axiomes suivants :
∀x ∈ E, Cx({x}) = {x} (B.1)
∀A ∈ E, ∀x ∈ E, Cx(A) ∩ Cy(A) 6= ∅ ⇒ Cx(A) = Cy(A) (B.2)
∀A ∈ E, ∀x ∈ E, Cx(A) 6= ∅ ⇒ x ∈ A (B.3)
Autrement dit, l’ensemble Cx(A) est soit la composante connexe A si x appartient `a A, soit l’ensemble vide si x n’appartient pas `a A.
En discret, on travaille sur une grille ou trame permettant de d´efinir des relations de voisinage entre les pixels (points de la trame) d’une image. Ce graphe (not´e G) n’est qu’un ensemble de couples de pixels (soit un sous-ensemble de ZZ2× ZZ2) , c’est-`a-dire :
∀p, q ∈ ZZ2, p voisin de q ⇔ (p, q) ∈ G
On suppose toujours qu’un pixel n’est pas son propre voisin et que la relation est voisin de est transitive et sym´etrique. Le voisinage d’un pixel p au sens de la trame est :
∀p ∈ ZZ2, NG(p) = {q ∈ ZZ2, (p, q) ∈ G}
D´efinition B.2 (Chemin) Un chemin C de longueur l(C) = n et d’extr´emit´es p et q dans la trame G est un (n+1)-uplet (p0, p1, p2, ..., pn) de pixels tels que :
p0 = p et pn = q (B.4)
∀i ∈ [1, n], pi ∈ NG(pi−1) (B.5)
(B.6)
La notion de connexit´e est introduite `a partir de la notion de chemin g´eod´esique : D´efinition B.3 (Connexit´e) Soit A un ensemble de pixels inclus dans ZZ2 et x un pixel de A. La composante connexe de A qui contient x (Cx(A)) est l’union des chemins d’origine x inclus dans A.
Nous verrons que le terme chemin g´eod´esique vient du fait que le chemin est astreint `a ˆetre enti`erement inclus dans A.
D´efinition B.4 (Distance g´eod´esique) La distance g´eod´esique dX(y, x)d’un point x `a un point y `a l’int´erieur d’un ensemble X est la longueur du plus court chemin de x `a y restant `a l’int´erieur de X:
Cette distance vaut, par d´efinition, +∞ s’il n’existe aucun chemin entre x et y `a l’int´erieur de X, c’est-`a-dire si x /∈ X ou si y /∈ X.
La distance g´eod´esique d’un point x `a un ensemble X not´ee D (x, X) vaut alors : D(x, X) = inf{y ∈ X, dX(x, y)} =
(
0 si x ∈ X
+∞ sinon
La notion de distance permet d’introduire celle de fonction distance, qui `a chaque point x d’un ensemble X fait correspondre la distance de ce point au plus proche point du compl´ementaire de X :
fd(X) (x) = inf {d (x, y) , y ∈ Xc} (B.8)
Figure B.1: Trames carr´ee et hexagonale : la trame hexagonale vaut pour la forme et pour le fond
Figure B.2: Sur la trame discr`ete, il n’y a pas unicit´e du chemin de longueur minimale entre deux points
D´efinir une distance et une connexit´e sur la trame revient donc `a d´efinir des relations de voisinage entre les pixels de cette trame. Ainsi, on distingue plusieurs types de connexit´es : hexagonale (6 voisins sur la trame), carr´ee (4 ou 8 voisins sur la trame). La trame
hexagonale est certainement la plus utilis´ee par les morphologues car elle poss`ede de bonnes propri´et´es de sym´etrie (voir figure B.1): mˆeme connexit´e d´efinie pour la forme et pour le fond (ce qui n’est pas le cas des trames carr´ees).
B.1.2
Morphologies binaire et num´erique
Dans tout ce qui suit ψ d´esignera une transformation alternativement binaire ou num´erique sans qu’il soit fait de distinction. Le contexte permettra alors de d´eterminer si l’on est dans le cas binaire ou dans le cas num´erique (au cas o`u une ambigu¨ıt´e subsisterait, nous pr´eciserions de quelle type de transformation il s’agit).
Morphologie binaire Dans le cas binaire, ψ agit sur des ´el´ements de P(IR2), c’est- `a-dire des ensembles de IR2 (ψ : P(IR2) → P(IR2)). Dans ce cas la relation d’ordre est l’inclusion.
Morphologie num´erique Dans le cas num´erique, ψ agit sur des fonctions de IR2 dans IR. F d´esignera l’ensemble de ces fonctions (F = nf : IR2 → IRo). ψ : F → F . Dans ce cas la relation d’ordre est la suivante :
∀f, g ∈ F , f ≤ g ⇔ ∀x ∈ IR2, f (x) ≤ g(x)
En pratique, les transformations s’appliquent dans un domaine fini du plan discr`et ZZ2, domaine le plus g´en´eralement rectangulaire : les images correspondent alors `a des tableaux de donn´ees. Une image num´erique sera `a valeurs dans ZZ. Une image binaire peut alors ˆetre consid´er´ee comme une image num´erique `a valeurs binaires (prenant exclusivement les valeurs 0 ou 1 par exemple : 0 pour le fond et 1 pour la forme).
x t
f
sous-graphe de f
Figure B.3: Sous-graphe d’une image num´erique
On d´efinit le sous-graphe SG d’une image `a niveaux de gris comme la partie de l’espace `a trois dimensions situ´ee en dessous du graphe de l’image (voir figure B.3). Plus pr´ecis´e- ment :
SG(f ) = {(x, t) ∈ ZZ2× ZZ, t ≤ f (x)}
B.1.3
Propri´et´es de base des transformations morphologiques
Les transformations morphologiques sont dot´ees de propri´et´es importantes dont nous rap- pelons d`es `a pr´esent les d´efinitions. Ces propri´et´es de base des op´erateurs morphologiques sont celles relatives aux op´erations sur les ensembles.
Extensivit´e ψ sera dite extensive si et seulement si son r´esultat est plus grand que l’ensemble ou la fonction de d´epart :
∀X ∈ P(IR2), X ⊆ ψ(X) ou ∀f ∈ F , f ≤ ψ(f )
Dans le cas contraire (X ⊇ ψ(X) ou bien f ≥ ψ(f ) ), ψ sera dite anti-extensive.
Un op´erateur anti-extensif agit de mani`ere privil´egi´ee sur les grains des images binaires (les structures claires des images num´eriques). Au contraire, un op´erateur extensif traite les pores des images binaires (les structures sombres des images num´eriques).
Croissance ψ sera dite croissante si et seulement si elle pr´eserve l’ordre :
∀X, Y ∈ P(IR2), X ⊆ Y ⇒ ψ(X) ⊆ ψ(Y ) ou ∀f, g ∈ F , f ≤ g ⇒ ψ(f ) ≤ ψ(g) Dans le cas contraire (X ⊆ Y ⇒ ψ(Y ) ⊆ ψ(X) ou bien f ≤ g ⇒ ψ(f ) ≥ ψ(g)), ψ sera dite d´ecroissante.
Idempotence Une transformation ψ est dite idempotente si, appliquer plusieurs fois ψ revient `a appliquer ψ une seule fois :
ψ ◦ ψ = ψ
Dualit´e Enfin, deux transformations ψ1 et ψ2 sont duales si et seulement si appliquer l’une revient `a appliquer l’autre sur le compl´ementaire de l’ensemble puis `a compl´ementer le r´esultat final :
∀X ∈ P(IR2), ψ1(X) = (ψ2(Xc))c ou ∀f ∈ F , ψ1(f ) = −(ψ2(−f ))
Homothopie Une derni`ere propri´et´e dont il est utile de parler est la conservation (ou la non conservation) de l’homothopie. D’une mani`ere simple, on peut dire que deux en- sembles (ou fonctions) sont homothopes si on peut passer de l’un `a l’autre par une trans- formation continue. Une transformation qui pr´eserve l’homothopie ne cr´ee ni de d´etruit de particule.