Les m´ethodes granulom´etriques et celles bas´ees sur l’´etude des extrema de l’image peuvent paraˆıtre tr`es dissemblables. Pourtant, elles sont ´etroitement li´ees.
Nous avons vu que les granulom´etries par reconstruction permettent de d´efinir dans le cas binaire une m´ethode de valuation des composantes connexes d’une image num´erique par le biais de la fonction granulom´etrique (relation 2.19). Soit C(X) l’ensemble des com- posantes connexes d’une image binaire X :
∀Y ∈ C(X), gX(Y ) = sup{λ ≥ 0 | Y ∩ δ∞(X, ǫλ(X)) 6= ∅} (2.26)
Chaque composante connexe est valu´e avec une mesure de sa persistance (le niveau pour lequel elle disparaˆıt) lorsqu’on applique des ouvertures de taille croissante.
La dynamique quant `a elle introduit une m´ethode de valuation des extrema d’une image num´erique et nous avons vu le lien qui existe entre cette notion et une famille de reconstructions g´eod´esiques (relation 2.25) :
∀M ∈ Max(f ), dyn(M) = sup{h ≥ 0 | M ∩ Xh+(f − δ∞(f, f − h)) 6= ∅} (2.27) Chaque maximum est valu´e avec une mesure de sa persistance (le niveau pour lequel il disparaˆıt) lorsqu’on applique des filtres de contraste de taille croissante.
Les similitudes entre les relations 2.26 et 2.27 montrent que les fontions granulom´etriques binaires et la dynamique fonctionnent selon un mˆeme principe : on mesure la persistance des structures ou des particules de l’image lorsqu’on applique des filtres de taille crois- sante. Alors que les fonctions granulom´etriques usuelles valuent les particules binaires selon un crit`ere spatial (taille et/ou forme), la dynamique value les extrema d’une image num´erique (et donc les structures de l’image qu’ils marquent) selon un crit`ere de contraste et ind´ependamment de leur taille ou de leur forme.
Dans la pratique, la dynamique est une transformation tr`es utile lorsque l’on cherche `a extraire les extrema significatifs d’une image (par exemple dans les probl`emes de segmen- tation). Une de ses caract´eristiques est de ne d´ependre d’aucune consid´eration de taille ou de forme. Cet avantage devient pourtant un inconv´enient d`es lors qu’une caract´erisa- tion spatiale des structures doit ˆetre prise en consid´eration. Une mani`ere de r´esoudre ce probl`eme consiste g´en´eralement `a associer `a la dynamique un filtrage spatial de l’image, par des ouvertures morphologiques par exemple.
La question qui se pose alors est : est-il possible de valuer les extrema d’une image num´erique selon un crit`ere spatial (de taille ou de forme) selon le mod`ele des granu- lom´etries par ouvertures binaires ?
Chapitre 3
Des fonctions d’extinction
num´eriques
La plupart des transformations morphologiques ont d’abord ´et´e introduites pour les en- sembles binaires puis ´etendues aux fonctions num´eriques. Un exemple bien connu est celui de la ligne de partage des eaux d´efinie comme une extension de la notion de SKIZ binaire [82, 2].
Aujourd’hui encore certains outils binaires n’ont pas d’´equivalent en morphologie num´erique. C’est le cas par exemple de l’ensemble des outils disponibles pour caract´eriser des particules binaires (les mesures de surface, de forme...). De ce fait, on aborde g´en´erale- ment ce type de probl`eme en morphologie num´erique en se ramenant au cas binaire que l’on sait r´esoudre par un seuillage, une segmentation de l’image... Une telle d´emarche s’accompagne in´evitablement d’une perte d’information et est de plus g´en´eralement assez complexe et peu syst´ematique : des pr´etraitements param´etriques sont souvent n´eces- saires. La question qui se pose alors est : est-il possible d’´etendre au cas num´erique la d´e- marche r´ealis´ee dans le cas binaire ? C’est de cette question que traite le pr´esent chapitre. Nous proposons ici de nouveaux op´erateurs morphologiques, les fonctions d’extinction num´eriques, d´efinis comme une extension des fonctions de type granulom´etrique d´ej`a connues en morphologie binaire.
3.1
Introduction
Les transformations morphologiques agissent sur les structures d’une image qui sont soit pr´eserv´ees, soit ´elimin´ees selon qu’elles satisfont ou pas le crit`ere de filtrage (crit`ere de taille, de forme, de contraste...) : une ouverture morphologique par un ´el´ement structurant B ´elimine les structures claires de l’image ne contenant pas B et pr´eserve les autres ; une h-reconstruction ´elimine les structures claires de l’image ayant un contraste inf´erieur `a h et pr´eserve les structures de plus fort contraste (voir figure 3.1).
En consid´erant des transformations de plus en plus s´electives, on ´elimine progressive- ment les structures de l’image des moins significatives aux plus significatives (au sens du crit`ere de filtrage). Si l’on rep`ere une structure donn´ee et qu’on l’´etudie tout au long du processus de filtrage, l’indice pour lequel elle disparait enti`erement constitue une mesure
a- Image originale "Pepper"
b- ouverture par rec. de taille 20
a- Ouverture par rec. de taille 10 c- ouverture par rec. de taille 30
d- h-reconstruction, h = 40 e- h-reconstruction, h = 80 f- h-reconstruction, h = 120
Figure 3.1: Exemples de filtrage hi´erarchique sur l’image ”Pepper”
de sa persistance vis-`a-vis de la transformation. Cette mesure permet donc de caract´eriser la structure vis-`a-vis du crit`ere de filtrage ´etudi´e. Si l’on applique ce principe `a toutes les structures de l’image, on obtient alors une caract´erisation enti`ere de la sc`ene.
Consid´erons pour illustrer notre propos, l’exemple de la figure 3.1. Nous avons appliqu´e ici deux types de filtre : un filtre de taille (ouvertures de taille croissante) et un filtre de contraste (h-reconstructions avec h croissant). Rep´erons une structure de l’image : le poivron allong´e par exemple. Cet objet persiste sur l’image apr`es une ouverture de taille 20 et est ´elimin´e par l’ouverture de taille 30. On peut en d´eduire que la taille du poivron allong´e est sup´erieure `a 20 et inf´erieure `a 30 (ou plus exactement : le poivron allong´e contient la boule de taille 20 mais pas la boule de taille 30). On peut ´egalement `a la vue des images ouvertes conclure que la taille du poivron rond et plus grande que celle du poivron allong´e : le poivron rond persiste apr`es une ouverture de taille 30. En ´etudiant les images issues des filtres de contraste, on extrait les caract´eristiques en contraste des objets de l’image : le poivron allong´e persiste au filtre de contraste de param`etre h = 120 ; il a un contraste sup´erieur `a 120. Le poivron rond, quant `a lui, a un contraste plus faible
que le poivron along´e.
Le principe que nous venons de d´ecrire est `a la base de la d´efinition de la fonction d’extinction qui est l’objet de ce chapitre.
L’id´ee d’utiliser des familles de filtres de taille croissante pour analyser des images n’est pas nouvelle : elle est `a la base des m´ethodes d’analyse granulom´etrique. Cette approche diff`ere cependant dans le principe des granulom´etries classiques : au lieu de mesurer pour chaque indice granulom´etrique la quantit´e de particules ´elimin´ees, on associe `a chaque particule de l’image l’indice pour lequel la particule est ´elimin´ee. On passe donc d’une analyse globale de l’image `a une analyse objet par objet de l’image.