Mouvements du capteur

Etudions à présent le bruit de mesure qui peut être engendré par un mouvement du capteur. Nous savons que la référence inertielle est constituée par le miroir de rétro-réexion des faisceaux Raman. Celui-ci doit rester immobile par rapport à la Terre pendant la durée d'une mesure. Le gravimètre doit donc contenir un système d'isolation mécanique permettant de découpler le miroir des mouvements du porteur.

L'équation du mouvement des atomes dans leur référentiel en mouvement va donc être établie an de quantier les eets des diverses perturbations. Cela permettra de déduire un cahier des charges de la plate-forme d'isolation, en fonction de la précision visée.

Equation du mouvement Le gravimètre mesure l'accélération des atomes par rapport au miroir de rétro-réexion. Ce miroir peut être en mouvement par rapport au porteur, lui-même en mouvement dans le référentiel terrestre. Enn, il faut tenir compte de la rotation de la Terre.

Fig. 1.16 - Notation pour les changements de référentiel.

R_Gal est considéré comme galiléen. Le référentiel terrestre RT erre est en rotation constante à −

→

Ω_{T erre} par rapport à RGal. Le référentiel du porteur RP orteur est attaché au mobile, et donc en mouvement libre par rapport à la Terre. Nous supposerons pour l'étude que le miroir est rigidement lié au porteur. Cela permettra de mettre en évidence les diérents eets perturbateurs dont la plate-forme devra aranchir le capteur. Le gravimètre est alors un accéléromètre mesurant l'accélération des atomes dans le référentiel du porteur −^→a_{atome/porteur}. Lors de la mesure, le mouvement des atomes n'est soumis qu'à une seule force dans le référentiel galiléen : la force de gravité m.−^→g _grav, c'est-à-dire la force de pesanteur m.−^→g retranchée de la force centrifuge liée à la rotation de la Terre :

m−→_a

abs = m.−→_g

grav = m.−→_{g + m.}^−→_Ω

T erre×^−→ΩT erre× −^→ratome/T erre



(1.33) Cette accélération du référentiel absolu peut être réexprimée en fonction des diérents réfé-rentiels à l'aide des lois de la cinématique du point. L'accélération des atomes s'écrit alors :

− →_a abs = −→_a atome/porteur+ −→_a porteur/T erre (1.34) + −→

Ω_{T erre}×^−→Ω_{T erre}× −^→r_{porteur/T erre}^+ 2−→

Ω_{T erre}× −^→v_{P orteur/T erre} + −→ Ωporteur +−→ ΩT erre  ×^h−→ΩT erre+−→ Ωporteur  × −^→r_{atome/porteur} i + 2^−→ Ω_porteur+−→ Ω_{T erre}^× −^→v_{atome/porteur} + ^d − → Ω_porteur dt × −^→r_{atome/porteur} +^−→

Ω_porteur×^−→Ω_{T erre}^× −^→r_{atome/porteur}

En supposant le porteur immobile, on retrouve bien l'expression connue de l'expression de l'accélération par changement de référentiel. Dans l'équation (1.34), quelques termes sup-plémentaires apparaissent, notamment l'accélération du porteur par rapport à la Terre, et la rotation du porteur qui s'ajoute à celle de la Terre. Comme nous avons

||−^→r_{atome/porteur}||  ||−^→r_{porteur/T erre}||,

le premier terme de la deuxième ligne peut être assimilé à la force centrifuge associée à la rotation de la Terre13. Il est donc contenu dans la force de pesanteur m−^→g. De plus, pour que les termes de la troisième ligne soient importants, il faudra que la rotation du porteur soit importante devant la rotation de la Terre.

Les termes principaux sont à présent développés. Ils sont considérés séparément an de bien identier leur impact.

13La force centrifuge des atomes est, en toute rigueur, −

→

ΩT erre×^h−→ΩT erre× (−^→ratome/porteur+ −→_r

Vitesse du porteur Si on suppose le mobile purement animé d'une vitesse constante, et suivant une équipotentielle, les termes d'accélération verticale obtenus correspondent à la force de Coriolis et à la force centrifuge créée par la trajectoire circulaire. On retrouve l'eet d'Eötvös étudié dans le paragraphe précédent.

Rotation du porteur Pour simplier, supposons la rotation du porteur très supérieure à la rotation de la Terre. Les termes prépondérants sont alors :

− →

Ω_porteur × (^−→Ω_porteur × −^→r_{atome/porteur}) et 2−→

Ω_porteur × −^→v _{atome/porteur} (1.35) Il apparaît clairement qu'une rotation autour de l'axe vertical (noté z) n'aecte pas la mesure. On considère alors une rotation autour de l'axe x. Le terme centrifuge n'est alors sensible qu'à la position en z, tandis que le terme de type Coriolis n'aura une composante verticale que pour des vitesses orientées selon y. Ce dernier terme est donc couplé à une accélération selon y. La diérence d'accélération entre le début et la n de la séquence donne une bonne idée de l'erreur commise sur la mesure :

∆gcentrif uge = Ω²_x.2g.T² et ∆gCoriolis= 2Ωx.Γy.2T (1.36)

Pour une accélération horizontale de Γy = 10⁻³.g et une vitesse de rotation Ωx = 1^◦.s⁻¹, le terme centrifuge fournit une contribution de 6, 0 mGal, et l'eet Coriolis est de 7, 0 mGal.

Ainsi, le système d'isolation pourra ne pas isoler le système des rotations autour de l'axe vertical, mais devra impérativement isoler des rotations qui désalignent le système par rapport à la verticale. Il apparaît d'ores et déjà que la plate-forme d'isolation jouera un rôle crucial dans la détermination des performances de l'instrument.

Accélération horizontale du porteur Nous venons de voir l'eet couplé d'une accélé-ration du porteur avec sa rotation. Toutefois, même en l'absence de rotation du porteur, un eet Coriolis a lieu avec la rotation de la Terre ΩT. L'erreur s'écrit alors :

∆g_Coriolis2 = 2Ω_T.Γ_y.2T (1.37)

Pour une même accélération de Γy = 10⁻³g, l'erreur est de 29 µGal.

Accélération verticale du porteur Au niveau du capteur, rien ne permet de distinguer l'accélération du porteur de l'accélération de pesanteur. Aussi, en l'absence de plate-forme d'isolation, toutes les accélérations verticales du porteur seront interprétées comme une va-riation du champ de pesanteur :

Toutefois, une distinction fondamentale réside dans le fait que la pesanteur est une accé-lération constante, contrairement aux accéaccé-lérations et vibrations du porteur. Ainsi, le choix de la bande passante de la plate-forme jouera un rôle déterminant.

Déterminons tout d'abord la sensibilité du capteur aux accélérations verticales. Pour cela, considérons une accélération sinusoïdale de la forme −^→a (t) = (a_s. sin ω.t + a_c. cos ω.t).−→_a où la référence de temps est prise au niveau de la deuxième impulsion. En raison de la symétrie de l'interféromètre, les contributions paires n'ont pas d'incidence sur le déphasage nal. L'impact sur la mesure de pesanteur est donné par [3] :

∆g(f ) = as.^{4. sin (ωT /2)} 2 ω2.T2 .−→_{a .−}→_v rec (1.39) ≡ G_capt(f ).a_s.−→_{a .−}→_v rec

Le capteur possède de façon intrinsèque une fonction de ltrage coupant les hautes fréquences, et les fréquences multiples de 1/T . Cette fonction Gcapt(f )est tracée sur la gure 1.17.a pour T = 100 ms.

Fig. 1.17 - a. Réponse en fréquence du capteur interférométrique. b - Spectre de vibrations ver-ticales d'une automobile roulant à 100 km.h−1 sur une autoroute, et à 50 km.h−1 sur un chemin de terre [84].

Le spectre d'accélération verticale dépendra évidemment du porteur. Nous ne proposons pas ici une solution adaptée à un type de véhicule spécique, mais une méthode permettant de dégager les contraintes sur la plate-forme d'isolation.

A titre d'exemple, nous pouvons évaluer le bruit sur la mesure en fonction du spectre de vibrations verticales d'une voiture en mouvement. La gure 1.17.b représente le spectre d'une Ford Taurus roulant sur une autoroute à 100 km.h−1, et sur une route de terre à 50 km.h−1

[84]. Le tableau 1.14 présente les contributions au bruit de mesure des diérentes décades. Il ressort que, sur la bande 0, 1 Hz − 5 kHz, le ltrage du capteur diminue le bruit d'un facteur 5, principalement aux hautes fréquences. Les principales sources de bruit se situent

Fréquence [Hz] 0, 1 − 1 1 − 10 10 − 100 100 − 1k 1k − 5k Total Chemin de terre

- Vibrations [Gal] 1,46 2,8 14,8 4,4 0,77 15,8 - Bruit de mesure [Gal] 1,40 2,49 1,34 0,63 < 10⁻² 3,2 Autoroute

- Vibrations [Gal] 0,9 1,45 4,9 2,12 4,4 5,6 - Bruit de mesure [Gal] 0,9 1,28 0,34 2.10⁻² < 10⁻² 1,6

Tableau 1.14 - Spectre de vibrations verticales d'une Ford Taurus roulant sur autoroute ou sur chemin de terre. Mesure brute, et bruit répercuté sur la mesure de pesanteur.

dans la bande 0, 1 Hz − 100 Hz. C'est donc dans cette gamme de fréquence que le système d'isolation doit être particulièrement actif.

Désalignement des faisceaux Les faisceaux Raman sont susceptibles de se désaligner de deux façons diérentes : tout d'abord, si le capteur est incliné d'un angle θ1 par rapport à la verticale (gure 1.18.a), l'axe de mesure étant déni par l'axe des faisceaux Raman, le déphasage en sortie s'exprime ^−→k_eff.−→_{g .T}2. L'erreur commise est alors :

∆g = g.(1 − cos θ₁) ≈ g.^θ

2 1

2 (1.40)

En maintenant le capteur vertical à 0, 1 mrad prés pendant la mesure, la plate-forme inertielle permet de réaliser une mesure exacte à 5 µGal.

Une solution alternative consiste à mesurer l'écart à la verticale du capteur et de multiplier la mesure en sortie par 1/ cos θ1. Il ne faut pas toutefois que le capteur soit trop incliné sinon les atomes risquent d'être excentrés des faisceaux Raman. Ainsi pour que la position nale des atomes soit excentrée de 1 mm de l'axe des faisceaux pour un temps total de chute de 300 ms, il faut que θ1 < 2 mrad. Une plate-forme est donc nécessaire, même si la contrainte sur θ1 est largement relâchée. Néanmoins, la composante horizontale de l'impulsion de recul

~.keff

m sin θ₁ peut alors créer une aire non négligeable, rendant l'interféromètre sensible aux rotations le long d'un axe horizontal. L'erreur est alors de :

∆g ≈ g.θ1.Ωx.T (1.41) Ainsi, pour θ1 < 2 mrad, la contrainte sur la vitesse de rotation est Ωx < 5.10⁻³ mrad.s⁻¹ pour garantir une erreur inférieure à 5 µGal. Nous préférerons donc la première solution si elle est réalisable.

La deuxième cause de désalignement peut provenir d'une rotation du miroir autour de x ou y : les deux faisceaux ne sont alors plus exactement confondus (gure 1.18.b). En notant θ2 l'angle que fait le miroir avec le plan horizontal, l'erreur commise est alors :

∆g ≈ g.^{1 − cos 2.θ2} 2 ≈ g.^θ

2 2

2 (1.42)

L'erreur est la même que celle du défaut de verticalité.

En dénitive, si l'enceinte à vide peut être mobile, il est en revanche impératif d'assurer la verticalité des faisceaux Raman ainsi que l'horizontalité du miroir de rétroréexion.