Eets systématiques

3π 2 ^. σ_I I (1.15)

En pratique, pour T = 100 ms, le bruit en monocoup sera de 5, 1 µGal pour σI

I = 0, 3%. Détection Le nombre d'atomes N en n d'interféromètre étant relativement faible, ses uctuations sont observables. Le rapport signal à bruit est donné par le bruit de projection quantique, et s'écrit SNR = 1/^√N [3]. Cela se traduit par un bruit sur la mesure σg =

1

keff.T2.^√N. Ainsi, pour N = 105 atomes, et T = 100 ms, on obtient σg = 1, 9 µGal. En se plaçant à mi-frange, la population détectée est deux fois plus faible, le bruit augmente donc d'un facteur ^√2, soit σg = 2, 7 µGal.

D'autres sources de bruit, notamment les vibrations du système entrent en jeu. Toutefois, comme elles seront bien plus importantes en situation embarquée, nous n'en tiendrons compte qu'au moment de faire le bilan d'instrument. Ainsi, nous ne présentons pas de bilan des sources d'erreurs maintenant, car il serait incomplet.

1.5.2 Eets systématiques

Nous nous intéressons à présent aux eets ajoutant un biais à la mesure.

Champ magnétique Les atomes étant préparés dans le sous-niveau mF = 0, ils ne sont pas sensibles à l'eet Zeeman d'ordre 1. Toutefois, ils subissent une dépendance quadratique au champ magnétique (voir annexe B.2) ∆E = α.B2. Pour déterminer le déphasage addi-tionnel lié à cet eet, le potentiel d'interaction est intégré le long de la trajectoire classique des atomes dans le champ de pesanteur [72].

9Comparées aux performances des plus récentes chaînes hyperfréquences [41], notre estimation semble ambitieuse. Cet optimisme peut provenir des spécications des constructeurs.

Si le champ magnétique est constant, le déplacement du niveau d'énergie n'aura pas d'eet sur la phase nale, du fait de la symétrie de l'interféromètre. En revanche, en pré-sence d'un gradient vertical Γ, l'intégrale de chemin donnera un déphasage supplémentaire à l'interféromètre. Nous considérons un champ magnétique homogène B0 auquel est ajouté un gradient magnétique vertical B0 dont l'origine est à mi-distance de chute : ^−→B (−→_{r ) =} B₀.−→_e

z + B⁰.(z.−→_e

z − r.−^→e_r/2). En notant vR la vitesse de recul et vA la vitesse des atomes à l'instant de la première impulsion Raman, nous obtenons une expression de l'erreur sur la mesure :

∆Φ = ^2π 3 ^.α.B

0

.vR.T².12B0+ B⁰.(5g.T²+ 12(vA+ vR).T )^ (1.16) En prenant vA = 1 m.s⁻¹, g = 9, 81 m.s−2 et T = 100 ms, on obtient la dépendance au champ magnétique représentée sur la gure 1.13.a.

Fig. 1.13 - Dépendance de la mesure de pesanteur au champ magnétique. a - Cas d'une seule mesure du déphasage. b - Cas où deux mesures du déphasage avec des impulsions de recul opposées sont réalisées et moyennées.

Rappelons qu'un champ magnétique permanent orienté selon l'axe des faisceaux est néces-saire pour conserver l'axe de quantication des atomes, et pour que les transition Raman vers les états mF 6= 0 ne soient pas à résonance. Ainsi, pour des impulsions lumineuses de 10 µs, un champ d'au moins 100 mG semble indiqué. Dans ces conditions, la gure 1.13 montre que le gradient vertical global de champ magnétique ne doit pas dépasser 0, 2 mG.cm−1 pour obtenir une incertitude de 5 µGal sur la mesure.

Le cas échéant, il est possible de mesurer le champ magnétique au niveau du tube de chute en réalisant des transitions Raman copropageantes sur des niveaux mF 6= 0 pour diérents temps de chute. Cette mesure permet de retrancher l'eet attendu du gradient vertical.

Pour minimiser la dépendance au gradient de champ magnétique, une technique consiste à alterner le sens des faisceaux Raman à résonance, ce qui revient à remplacer vRpar −vRdans l'expression (1.16). En moyennant deux mesures de phase consécutives, l'erreur résiduelle est :

∆Φ⁰ = 16π.α.(B⁰.v_R.T )².T (1.17) L'expression est alors indépendante du champ magnétique homogène, et un gradient de 5 mG.cm⁻¹ mène à une erreur sur la mesure de pesanteur de 1, 0 µGal, comme le montre la gure 1.13.b. Cette technique permet ainsi de gagner plus d'un ordre de grandeur sur la tolérance en gradient de champ magnétique.

Vide dans l'enceinte Dans le vide, l'indice de réfraction vaut 1. Toutefois, l'enceinte possède une pression résiduelle de Rubidium, et les faisceaux qui la traversent sont proches de la résonance. Le milieu induit une variation de l'indice de réfraction n : l'impulsion de recul communiquée aux atomes est alors de n.~.k [71, 73]. La variation d'indice de réfraction est alors donnée par ∆n = n − 1 = Im α

k . Cette dernière expression peut être reliée à la pression dans l'enceinte par [3] :

Im α = ^nat.σ 2 ^. 1 1 + s^. ∆ Γ/2^. 1 1 +^_Γ/2.^∆√ 1+s 2 (1.18) ≈ ^nat.σ.Γ 4∆ (1.19)

où nat [cm⁻³] = 2, 4.10¹⁴.P [P a]est la densité atomique, σ est la section ecace d'absorption à résonance, Γ est la largeur naturelle de la transition atomique, ∆ est le désaccord laser, et s est le paramètre de saturation. Dans le cas où le désaccord est important par rapport à la largeur de la transition atomique, l'expression (1.18) se réduit à l'équation (1.19).

Nous avons vu précédemment (paragraphe 1.4.2) que le déphasage nal correspond à la phase imprimée par les faisceaux Raman. Si ces derniers se propagent dans un milieu d'indice n, il est donc tout naturel que la phase communiquée à l'atome soit proportionnelle à l'indice de réfraction. Ainsi le décalage de fréquence conduit à une variation de la mesure ∆g = ∆n.g = 3, 3.10⁻².P [P a]. Ainsi, une pression résiduelle de 3.10−7 P aintroduit un eet systématique de 1 µGal.

Collisions froides Les collisions entre atomes dans un nuage refroidi provoquent une modication de la fréquence d'horloge. Cette dernière dépend de la température et de la concentration atomique. Le tableau 1.11 présente les déplacements collisionnels calculés par Kokkelmans [74] pour les deux isotopes du Rubidium, en supposant un nuage à 1 µK et de densité 109 cm⁻³.

Au niveau de l'interféromètre, le nuage est un mélange équiprobable des deux sous-niveaux de l'état fondamental. Pour le 87Rb, l'eet est alors 30 [75] à 50 fois [76] moins important que dans le133Cs. Il ne devrait donc pas poser problème à nos niveaux de précision.

Isotope Etat peuplé Décalage κ [mHz]

87Rb F = 1, m_F = 0 -0,7 F = 2, m_F = 0 -0,9

85Rb F = 2, m_F = 0 5 F = 3, m_F = 0 -45

Tableau 1.11 - Déplacement collisionnel de la fréquence d'horloge du Rubidium dans un nuage à 1 µK et de densité 109 cm⁻³. Données extraites de [74].

Pour le85Rb, le déplacement est de signe opposé dans les sous-niveaux. Il peut donc être annulé en jouant sur les populations relatives dans les deux niveaux. Toutefois, pour notre expérience, ce ne sera pas le cas, et il devient nécessaire d'évaluer l'eet. Nous supposons qu'après la phase de sélection du sous-niveau mF = 0, et la phase de sélection en vitesse verticale, la densité du nuage est de 108 cm⁻³. Nous supposons alors une expansion linéaire du nuage, exclusivement de façon radiale, correspondant à une température radiale de 1 µK. Pour un demi-temps de chute de T = 100 ms, le déphasage en sortie de l'interféromètre s'écrit :

∆Φ = 2π^{κF =2,m}F=0+ κ_{F =3,mF=0}

2 ^.T.

ρ_a− ρ_b

109 cm−3 (1.20) où ρaet ρb sont les densités moyennes du nuage, respectivement sur la première et la deuxième moitié de l'interféromètre. Une borne supérieure sur l'erreur peut être donnée en considérant que la densité pendant la première moitié de l'interféromètre est maximale, et qu'elle devient nulle sur la deuxième moitié : le déphasage obtenu est alors de 1, 25 mrad, ce qui correspond à ∆g = 0, 8 µGal.

Déformation du front d'onde Comme les lasers Raman sont des faisceaux gaussiens, et qu'ils traversent des hublots, les conditions expérimentales sont relativement éloignées de l'interaction idéale d'un atome avec une onde plane. A. Wicht a récemment montré que l'impulsion de recul communiquée à l'atome correspond au gradient de la phase de l'onde électro-magnétique à la position de l'atome, dans la mesure où celui-ci est localisé dans l'enveloppe du faisceau [77]. A l'aide de ce résultat, nous pouvons donner une estimation de l'eet de la déformation du front d'onde sur la mesure de pesanteur. L'eet attendu sera estimé au paragraphe 2.7.4. Pour cela, nous exploiterons les mesures de front d'onde réalisées sur les hublots après xation sur l'enceinte. Grâce à la technique utilisée pour serrer les hublots, l'erreur sur la mesure est estimée à 0, 4 µGal.

Exactitude des fréquences Pour obtenir une exactitude de 1 µGal, la fréquence des lasers doit être connue à mieux que 400 kHz, ce qui implique une connaissance précise de la transition optique D2 du Rubidium, ainsi que du désaccord laser, qui doit rester constant.

Déplacement lumineux La présence de faisceaux lumineux intenses provoque, par eet Stark, un déplacement des niveaux d'énergie. Nous verrons dans le chapitre 5.2.1 que les fréquences des faisceaux sont telles que les deux sous-niveaux de l'état fondamental sont décalés vers le bas. En jouant sur l'intensité relative des faisceaux, on peut faire en sorte que le décalage des deux sous-niveaux soit égal. Le déphasage en sortie d'interféromètre n'est alors pas modié.

Alignement des faisceaux Raman Si le miroir de rétroréection présente une rotation selon un axe perpendiculaire à l'axe vertical, le faisceau rééchi n'est alors plus colinéaire à l'axe de chute des atomes, ce qui diminue la projection de l'impulsion de recul le long de la verticale. La mesure de la pesanteur est alors décalée de σg

g ≈ θ2

4 où θ est l'angle entre les deux faisceaux. Pour avoir une incertitude inférieure à 1 µGal, l'angle doit rester inférieur à ±63 µrad.

Gradient de gravité La formule du déphasage en sortie ∆Φ = keff.g.T2 ne tient pas compte du gradient de gravité verticale γ ≈ 300 µGal.m−1. Un calcul perturbatif sur les trajectoires classiques des atomes en chute libre permet de rajouter une valeur approchée du terme de gradient associé au déphasage [3]. En écrivant le champ de pesanteur g(z) = g0−γ.z, la valeur mesurée gm est alors :

g_m ≈ g₀− γ.(− ⁷ 12^.g0.T 2+ ¯v₀.T + z₀) ≈ g(z_C) + ¹ 12^.γ.g0.T 2 (1.21)

où z0 est la position au début de l'interféromètre, ¯v₀ = v₀+~.keff

2m est la vitesse moyenne des atomes au niveau de la première impulsion, et zC est la position moyenne du nuage au milieu de l'interféromètre, c'est-à-dire au moment de la deuxième impulsion lumineuse.

Ainsi, on peut interpréter la mesure de l'interféromètre comme la valeur du champ de pesanteur à une altitude correspondant à celle des atomes au moment de la deuxième im-pulsion Raman. L'erreur sur la mesure est alors ∆g = 1

12γ.g₀.T2, ce qui correspond à moins de 1 µGal pour T < 60 ms.

Durée nie des impulsions lumineuses L'expression du déphasage ∆Φ = keff.g.T² ne tient pas compte de la durée nie des impulsions. Dans le cas où le décalage Doppler est compensé par trois échelons de fréquences, il est important de connaître l'expression exacte.

Une expression a été établie par Charles Antoine [57]. Pour cela, des paquets d'onde gaussiens sont propagés à l'aide du théorème ABCDξ [52], et les lames séparatrices sont traitées à l'aide du théorème ttt généralisé [78], ce qui permet de traiter simultanément l'interaction électro-magnétique et gravitationnelle. En l'absence de compensation de l'eet Doppler, le déphasage nal s'écrit :

∆Φ_g = k_eff.g.(T₀+ 2τ ).  T₀+ ^4τ π  (1.22) où τ est la durée d'une impulsion π/2 et T0 est la durée séparant la n d'une impulsion lumineuse et le début de la suivante. Cette expression est retrouvée par Patrick Cheinet à l'aide d'une technique utilisant une fonction de sensibilité [79].

Dans le cas où l'eet Doppler est compensé par une rampe de fréquence, l'expression exacte de la formule est nettement moins critique. En eet, le déphasage en sortie de l'inter-féromètre s'écrit alors :

∆Φ = (k_eff.g − 2π.α).f (T₀, τ ) (1.23) où α est la rampe de fréquence, et f(T0, τ ) est une fonction regroupant les dépendances temporelles. Lorsque α = keff.g

2π , l'interféromètre est à la teinte plate, et ne dépend plus de T ni de τ. Il n'est donc pas impératif de connaître l'expression exacte du déphasage pour obtenir la mesure exacte du champ de pesanteur.

En fonctionnement autonome, la mesure de pesanteur sera réalisée en se plaçant sur un anc de frange plutôt qu'à la teinte plate. On retrouve alors une dépendance aux diérents temps caractéristiques de l'expérience. Néanmoins, l'erreur commise en négligeant la durée des impulsions est faible : pour T = 100 ms, le fait de déterminer α permettant de se positionner sur la première frange d'interférence donne une mesure de précision relative 10−5. En considérant un rapport τ/T0 = 10⁻⁵, l'inexactitude relative sur la mesure est d'environ 10⁻¹⁰. Une erreur sur l'estimation de la durée des impulsions lumineuses est donc a fortiori négligeable.

Le même raisonnement peut être adopté pour montrer qu'une erreur de 1 µs sur la durée T de demi-chute apporterait une contribution négligeable au terme d'erreur. On serait tenté de penser, d'après l'expression du déphasage en keff.g.T2, qu'une précision de la mesure de g à 10−9 requiert un contrôle de T à 5.10−10, soit à 50 ps. En réalité, comme nous travaillons autour de la teinte plate, la dépendance en T est 105 fois plus faible, voire nulle si l'on se trouve précisément à la teinte plate. Nous pouvons donc négliger ce terme d'erreur.