Modélisation

Une modélisation mécanique de notre système à l'aide du logiciel Femlab permet de déduire les contraintes dans le hublot en verre. Il est alors possible de déduire la variation d'indice de réfraction du matériau associée au stress dans le matériau. En intégrant cet indice de réfraction le long du trajet optique, la déformation du front d'onde peut être déduite.

La première étape de la modélisation consiste donc à obtenir les contraintes mécaniques dans le hublot. Pour cela, nous utilisons une méthode numérique d'éléments nis. Nous nous ramenons à un modèle à 2 dimensions en supposant que notre système est à symétrie

cylindrique. Cela revient à supposer que la pression exercée par les 6 vis sur la bride est uniformément répartie. S'il est peu probable que ce soit le cas au niveau des vis, la pression transmise par la bride au joint d'aluminium est en revanche très probablement uniformément répartie. Nous pouvons ainsi nous ramener à un modèle 2D à symétrie cylindrique, réduisant ainsi signicativement le temps de calcul.

La géométrie du système est représentée sur la gure 2.12.a. Femlab réalise alors un maillage d'environ 2500 éléments an d'eectuer les calculs. Les propriétés mécaniques des diérents matériaux doivent être spéciées, ainsi que les contraintes sur les parois. Dans notre cas, les contraintes suivantes sont imposées :

Pression atmosphérique La pression atmosphérique s'exerce sur la face supérieure du hublot, pas sur la face inférieure. Nous enlèverons cette contrainte pour certaines si-mulations, an d'évaluer l'impact de la pression atmosphérique sur la déformation du front d'onde.

Mouvement vertical de la bride Comme le montre la gure 2.12.a, les vis n'ont pas été modélisées. Il est donc nécessaire de rajouter une contrainte supplémentaire sur la bride supérieure an d'empêcher la pièce de bouger horizontalement, et de n'autoriser qu'un mouvement vertical.

Immobilité de l'enceinte La bride inférieure est totalement bloquée en translation. Pression exercée par les vis Le couple total Mtot exercé sur chacune des vis étant connu,

la force F exercée par chacune d'elles sur la bride de serrage peut être déduite grâce aux formules suivantes [123] :

M_tot = M_t+ M_v M_t = ^dt

2^.F.µt (2.16)

M_v = ^dt

2^{.F.tan(α + arctan(µv)}

où Mt est le moment de frottement au niveau de la tête de la vis, Mv est le moment de frottement dans le pas de la vis, dt et dv sont les diamètres de la tête et du pas de vis, µt et µv sont les coecients de frottement au niveau de la tête et du pas de la vis, et α est l'angle du pas de vis. Les vis sont de type M6, et nous supposerons µ_t = µ_v = 0, 16. Une fois la force totale exercée par les 6 vis déduite de leur couple de serrage, la pression exercée sur la bride de serrage est calculée en supposant que la force est uniformément répartie. Ainsi, un couple de 3 N.m appliqué aux 6 vis est équivalent à une force de pression sur la bride de serrage de 4, 2.106 P a.

Une fois le modèle paramétré, Femlab calcule le tenseur de contraintes sur tout le système. La gure 2.12.b présente la contrainte radiale issue du calcul. Le logiciel calcule également

la déformation du système, la position initiale des contours étant représentée par une ligne noire.

Fig. 2.12 - Calcul des contraintes dans le matériau par une méthode d'éléments nis. (a) Maillage déduit par Femlab de la géométrie du système. (b) Résultat de la simulation : repré-sentation de la composante σrr du tenseur de contraintes.

La donnée du tenseur de contraintes permet alors de déduire les variations de l'indice de réfraction induites par contraintes. Nous ne détaillerons pas ici le calcul déjà réalisé par Lubin [124], mais en rappellerons néanmoins les principales étapes. L'indice de réfraction du milieu est relié au tenseur des contraintes par le tenseur photoélastique. Dans le cas d'une contrainte axi-symétrique, on peut montrer que les axes ordinaires et extra-ordinaires en un point donné du hublot correspondent aux axes des coordonnées polaires. Ainsi, la lumière incidente, polarisée linéairement doit être décomposée en coordonnées polaires. Dans cette base, l'indice de réfraction modié peut être déterminé. Cet indice de réfraction est alors intégré sur l'épaisseur du hublot (on suppose dans un premier temps la trajectoire parfaitement normale au hublot), et exprimé à nouveau dans le repère cartésien. La lumière est alors dépolarisée du fait de la biréfringence induite. Toutefois comme l'analyseur de front d'onde est un interféromètre de type Michelson, seule la lumière polarisée comme la lumière incidente interférera. La diérence de phase est donc donnée par la phase de la composante ayant la même polarisation que la polarisation incidente. La déformation du front d'onde w(r, φ), exprimée en ondes, s'écrit donc [124] :

w(r, φ) = − ¹ 2λ^{[(q1+ q2)(Ir+ Iφ) + 2q2Iz] −} 1 2π^arctan  cos2φ.tan 2π λ ^(q1− q2)(Ir− Iφ)  (2.17) avec Ik= Z e 0 σ_kkdz pour k = r, z, φ et q1 = ^∂n// ∂σ ^{, q2 =} ∂n⊥ ∂σ

q₁ et q2 sont les coecients photoélastiques pour une contrainte respectivement parallèle et perpendiculaire à la polarisation de la lumière. Pour le BK7, on a q1 = 0, 25.10⁻¹² P a et

q₂ = −2, 7.10⁻¹² P a [125]. λ est la longueur d'onde du laser incident, et e est l'épaisseur du hublot.

Pour tenir compte de la déviation des rayons lumineux due à la déformation du hublot, la formule précédente doit être légèrement modiée. L'épaisseur e du hublot doit être remplacée par la longueur réelle du trajet optique, c'est-à-dire par la trajectoire du rayon lumineux déduite des lois de réfraction aux interfaces. Rappelons que la courbure des interfaces est donnée par la simulation.

Fig. 2.13 - Comparaison des défauts de fronts d'onde mesurés sur un hublot scellé sur un joint non recuit avec un couple de 3 N.m par vis (a), et la modélisation utilisant les mêmes caractéristiques expérimentales (b). Les lignes de niveaux sont séparées de λ/100.

La gure 2.13 montre la comparaison entre la mesure de déformation réalisée sur un hublot scellé sur joint recuit avec un couple de 3 N.m par vis, à notre modèle utilisant les mêmes spécications. Les deux gures semblent en accord qualitatif. Cependant, l'anisotropie du front d'onde est moins prononcée sur le modèle que sur la mesure.

Expliquons l'origine de cette anisotropie. Pour rendre le phénomène plus compréhensible, constatons tout d'abord que |q2|  |q₁|. Nous pouvons donc négliger la modication de l'indice de réfraction par des contraintes parallèles à la polarisation. Considérons, comme sur la gure 2.14, que la lumière se propage le long de l'axe z, polarisée selon l'axe y. Nous souhaitons alors connaître la variation de l'indice de réfraction δny en tout point du hublot. Sur l'axe x, sa variation est donnée par δny = q₂.σ_rr, tandis que sur l'axe y, elle vaut δn_y = q₂.σ_tt. Comme rien n'indique a priori que σtt = σ_rr, on doit s'attendre à une anisotropie de la déformation du front d'onde. Cette anisotropie est bien observée expérimentalement. En revanche le résultat de la simulation des contraintes par Femlab donne des composantes tensorielles σtt et σrr relativement proches. L'anisotropie est donc nettement moins marquée sur le modèle.

Pour comparer de façon quantitative le modèle aux données expérimentales, nous dé-nissons une région utile et calculons quelques grandeurs caractéristiques. La région utile sera la zone s'étendant jusqu'au début de remontée violente de la phase à l'extrémité du hublot.

Fig. 2.14 - Hublot parallèle au plan (x, y), et laser polarisé selon y et se propageant selon z.

Ce sera donc un cercle de diamètre 28 mm. Sur cette surface, nous pouvons alors déterminer la variation maximale de phase, la variance, ainsi que le rapport de Strehl. Ce dernier est déni comme le rapport de l'intensité au point image gaussien sur l'intensité qui aurait été obtenu en l'absence d'aberration, et s'écrit [126] :

S.R. = ¹ π2     Z 2π 0 Z 1 0 e^{i2πW (ρ,θ)}ρdρdθ     2 (2.18)

où W (ρ, θ) est le défaut de front d'onde exprimé en ondes. Pour des rapports de Strehl S.R. < 0, 1, on peut faire l'approximation suivante :

S.R. ≈ e^−(2πσ)2 (2.19) où σ est la variance de la déformation du front d'onde, toujours en ondes. Le tableau 2.3 recense ces diérentes grandeurs pour un hublot mesuré scellé sur joint non recuit, ainsi que pour le modèle. Les valeurs sont en bon accord quantitatif.

Expérience Modèle Variation maximum [en ondes] 0,108 0,080

Variance σ [en ondes] 0,026 0,045 Rapport de Strehl S.R. 0,973 0,979

Tableau 2.3 - Données statistiques sur une mesure de déformation de front d'onde et sa modéli-sation.

Notre modèle nous permet enn de déduire la dépolarisation créée par la traversée du hublot. Cette dernière est donnée par le rapport de l'intensité sur l'axe perpendiculaire à la polarisation incidente sur l'intensité totale [124]. Dans nos conditions expérimentales, la dépolarisation obtenue sur la surface utile du hublot est représentée gure 2.15.

Fig. 2.15 - Prol de dépolarisation pour un hublot dans nos conditions expérimentales. La dé-polarisation ne dépasse pas 0, 1% sur l'ensemble du hublot et s'annule sur deux axes orthogonaux centrés, dont un correspond à l'axe de polarisation de la lumière.

La dépolarisation moyenne attendue est donc de 5, 5.10−5 avec une variance de 7, 8.10−5, ce qui est en accord avec les valeurs mesurées par Kasevich [98]. On constate que la dépolari-sation est nulle le long de l'axe de polaridépolari-sation ainsi que sur l'axe qui lui est perpendiculaire, ce qui est logique puisque la lumière se trouve alors sur un axe principal du matériau devenu biréfringent. De plus, on observe un cercle le long duquel la dépolarisation est également nulle. Ce cercle doit correspondre à l'égalité des composantes σrr et σtt. On obtient alors la même variation d'indice sur les deux axes, et donc une variation du chemin optique, mais pas de biréfringence.