Méthodologie de synthèse d'un modèle simplié

Dans cette partie, nous nousintéressons à lamodélisation de la propagation d'undébit le long

d'un bief. Nous considérons ici le transfert d'un débit amont, le transfert des débits latéraux

sera étudié dans la partie 3.3. Nous supposons par ailleurs que le bief est délimité par deux

stations hydrométriques fournissant les mesures de débit à l'amont et à l'aval. L'objectif de la

modélisation du transfert débit-débit est alors de reconstituer le débit aval à partir du débit

amont(gure 3.2).

Station amont

Station aval

Modèle hydraulique

Débit amont

Débit aval

Figure 3.2 Schéma du transfertdébit-débit

De nombreux modèles hydrauliques

La littérature faitétatde nombreux modèleshydrauliques représentant ladynamiquede

l'écou-lementàsurfacelibredansunbief,ettraduisantletransfertd'undébitlelongdecebief.Comme

nousl'avonsvuauchapitre 2,unmodèlepeutêtre plusou moinscomplexesuivantles objectifs

pour lequelil estconstruit.

Des modèles de simulation

Dans de nombreuses études hydrauliques (dimensionnement d'ouvrage, cartographie du risque

d'inondation), on cherche à déterminerde façon relativement précise desniveauxd'eau atteints

lors d'unecruederéférence. Cesétudes requiert l'utilisationde modèlesdistribuéspour lesquels

une description détaillée de la géométrie du cours d'eau est nécessaire. Des algorithmes

numé-riques permettent la résolution des équations de la physique sur un grand nombre de mailles

élémentaires. Toutefois,lacomplexité de tels modèles imposedestemps de calculimportantset

peutprovoquerdesinstabilitésnumériques,cequienfaitdesmodèlesplusadaptésàlasimulation

qu'aux applicationsen temps réels.

Dans le cas de la gestion en temps réel, la variable recherchée est le débit en certains points

stratégiques ducours d'eau. Les temps de calculet larobustessesont des critères essentielsqui

nousamènentàdévelopperdesapprochessimpliées.Dufaitquel'onne cherche paslesniveaux

d'eau maisuniquement les débits en quelquespoints, une description ne de la géométrie n'est

pas nécessaire, ce qui permetd'éviter des problèmes de résolution fréquemment rencontrés lors

de la résolution des équations complètes de la physique (passages en torrentiel, problèmes de

convergence, etc.). Les modèles globaux conceptuels et les modèles à base physique simpliés

correspondent à cescritères.

Des modèles globaux

Lesmodèles globauxnes'intéressentqu'audébit aval.Leplussouvent,cesmodèlessont

concep-tuels, c'est-à-dire qu'ils découlent d'une analyse des données entrées/sorties uniquement. Les

paramètres de tels modèles n'ont généralement aucune signication physique. Le modèle de

Muskingum(McCarthy,1938),lemodèleLag&Route(Linsley,1949)etsesaméliorationscomme

leLag&Routequadratique(BenturaetMichel, 1997)sontdesmodèlesconceptuelsfréquemment

utilisés. Ces modèles seront écartéscarils nepermettent pas,par nature, l'intégration dedébits

latéraux. Notons toutefois qu'une extension du modèle de Muskingum prenant en compte des

apports latéraux ponctuels a été proposée par O'Donnell (1985) et Khan (1993), mais ce

mo-dèleprésentedesproblèmes dedébits négatifslorsdevariations brutalesdudébitamont (Lerat,

2009). Cetype d'approche ne sera doncpasretenu.

Des modèles physiques simpliés

Lesmodèles simpliésàbasephysiquesont,quant àeux, obtenuspar deshypothèses

simplica-trices, tant sur ladescriptiondusystème (commepar exemple lagéométrie dubief) quesurles

équations deladynamique(linéarisation,termesnégligés,etc.).Cessimplicationsontplusieurs

avantages :

ellespermettentde focaliser lamodélisationsurlesphénomènesdominantsàl'échelle dubief,

elles permettent de réduire le nombre de paramètres, rendant la procédure de calage plus

robuste,

ellesdiminuent très fortement lestemps de calcul, permettant lesapplications entemps réel,

ellespeuventêtreadaptées aucontexteparticulierdelagestionentemps réel,notamment par

l'applicationdesoutilsdel'automatique(parexempleassimilation,reconstitutiondedonnées).

Finalement, nous choisirons ce typed'approche pour représenter lacomposantehydraulique du

modèleintégré.

Un modèle simplié à base physique : quelle méthodologie?

Parmi les modèles simpliés à base physique, le modèle d'Hayami (Hayami, 1951) est

certai-nement l'un des plus connus. Ce modèle est construit à partir des équations de Saint-Venant

(Saint-Venant,1871)décrivantladynamiquemonodimensionnelledesécoulements dansunbief.

Ces équationssont détailléesdanslasuite.Pour établirlemodèled'Hayami,lestermesd'inertie

ont éténégligés,simplication permettant depasser deséquations deSaint-Venant à l'équation

de l'onde diusante, également largement utilisée dans la littérature. Le modèle d'Hayami a

l'avantagedeneposséderquedeuxparamètrespourdécrireladynamiquedanstoutlebief,mais

présentequelquesinconvénients danslecadrede lathèse :

on exclut les bief dont la pente est très faible pour lesquels les termes d'inertie ne sont pas

négligeables;

lecoecient dediusion estdicile à caler (Lerat,2009);

le modèle utilise le produit de convolution, outil mathématique coûteux en temps de calcul,

peu adaptéauxapplications entemps réeletauxoutils de l'automatique.

Dooge etal. (1987)présentent uneapproche fréquentielle baséesurlalinéarisationde l'équation

de l'onde diusante et la méthode des moments (Lal et Mitra, 1974). Cette approche permet

d'obtenir une fonction de transfert simple reproduisant le comportement basse fréquence de la

dynamique.PiquereauetVillocel(1982),Fossetal.(1989),Rey(1990),Malaterre(1994),Baume

et al.(1998)etLitrico(1999)reprennentcetteapproche pour modéliserletransfertdedébitpar

une fonction de transfert de type premier ou deuxième ordreavec retard,que nous appellerons

modèlefréquentield'Hayami.Cetypedemodèlepermetdereprésenterlesphénomènesderetard

etd'atténuation typiquesdelapropagationdansunbief.Enoutreilestparticulièrement adapté

aux outilsde l'automatique.

Limites dumodèle fréquentiel d'Hayami

Le modèlefréquentield'Hayamiest construitsurl'hypothèse d'unbiefsemi-inni àl'aval. Cette

hypothèse,quel'onretrouvesouventdanslesapprochessimpliées,permetderepousserla

condi-tionà lalimiteavalàl'innide manièreàpouvoirennégligerles eetssurladynamique.Ainsi,

en ajoutantl'hypothèse delinéarisation, onobtientun régimederéférenceuniformepermettant

la résolution analytique de l'équation de l'onde diusante. Par contre, sous ces hypothèses, il

devient impossibledeprendreencomptelesouvragesentravers(seuils,vannes)etleurinuence

sur ladynamique,qui peutêtre non négligeable (Strelko etal., 1998).

Par ailleurs, le modèle fréquentiel d'Hayami aété établi pour le transfert entre un débit amont

etundébitaval.Laméthoden'apasencoreétédéveloppéepourletransfertdesdébits latéraux.

Méthodologie développée

Nous proposons dans cette partie de développer un modèle simplié du transfert d'un débit

amont. Nous reprenons l'approche fréquentielle à partir des équations de Saint-Venant

linéari-sées(avec lestermesd'inertie)and'établir unefonctiondetransfertdetype premierordreavec

retard, grâceà la méthode desmoments déjà évoquée.Nousproposons également une méthode

permettant de prendre encompte leseetsde lacondition àla limiteaval. Le modèlede

trans-fert retenu pour la suite, obtenu par une approche adimensionnelle, sera caractérisé par deux

paramètres. Dans la partie 3.3, ce modèle sera étendu au cas du transfert des débits latéraux,

approché également par des fonctions de transfert de type premier ordre avec retard. Ainsi, le

transfert de chaque débit (amont et latéral) sera déni par deux paramètres : le retard et la

constantede premierordre.

Précisons à ce point l'intérêt de la démarche. Dans la mesure où le transfert du débit amont

et des débits latéraux sera approché par des fonctions de transfert de type premier ordre avec

retard, il serait tout à fait possible de caler les paramètres de ces fonctions lors de l'étape

d'identication, ce qui ferait

2(1 + N )

^{paramètres à caler,où}

N

^{représentele nombrede débits}

latéraux considérés.Ortouscesparamètres décrivent letransfertde débitdanslemême bief,et

l'on peutraisonnablement supposer qu'ilssont liésaux caractéristiquesde ce bief. Le but de la

démarche estdoncd'établir lesrelations entrecesparamètres et lescaractéristiquesd'unbiefde

géométrie uniformequel'onsupposera équivalent aubiefréeld'unpointdevuedynamique. Les

paramètres à caler seront donc réduitsaux caractéristiquesdu bieféquivalent.

Cette démarche présente aussi l'avantage d'être basée sur les équations décrivant la physique

de l'écoulement. Il est possible de tirer partie de cet avantage dès lors que l'on connaît les

caractéristiques dubief. Eneet, s'ilestpossibled'établir à l'avanceune géométrie équivalente,

les paramètres du modèle pourront être estimés sans avoir à procéder à un calage. Le nombre

de paramètres à caler lors de la procédure d'identication est ainsi réduit aux paramètres des

modèlesrelatifs auxdébits latéraux.

Enoutre,l'approchephysiqueoredespossibilitésd'analyseetd'interprétationdesrésultatsque

nepermetpasl'approcheconceptuelle.Ellepermetégalementd'étudierl'impactsurladynamique

de modications de certaines caractéristiques, utile notamment lors de la phase de conception

d'unouvrage.

Notations et équations de Saint-Venant

Dans lasuite,les notationsutilisées sont les suivantes:

g

l'accélération delapesanteur [m/s

2

],

t

^{lavariable de temps[s],}

x

^{lavariabled'espace[m],}

Q

^ledébit[m

³

^/s],

q _l

^{ledébit latéralpar unité delongueur [m}

²

^{/s] (}

q _l > 0

^siapports),

Y

^{lahauteur d'eau[m],}

S _f

^{lapentede frottement [m/m],}

A

^{lasectionmouillée [m}

²

^],

T

^{la largeuraumiroir [m],}

P

^{lepérimètre mouillé [m],}

R

^lerayon hydraulique[m](

R = A/P

^),

V

^{lavitessemoyenne de} l'écoulement [m/s](

V = Q/A

^),

C

^{lacélérité desondesde gravité[m/s] (}

C = p

gA/T

^).

Leséquations de Saint-Venant décrivent ladynamiquedel'écoulement dansun biefàpartir des

hypothèsessuivantes (Saint-Venant,1871) :

l'écoulement est unidimensionnel;

lapente

S _b

^{ducanalestsusamment faiblepourque}l'approximation

sin S _b ≈ S _b

^soitbonne;

lamassevolumique de l'eau estconsidérée commeconstante;

larépartitiondespressionsest hydrostatique;

leseetsde laviscosité interne sontnégligeables devant lesfrottements externes.

Sous ces hypothèses, les équations de Saint-Venant (3.1-3.2) traduisent la conservation de la

masse(équation decontinuité) etlaconservation delaquantité de mouvement,respectivement.

∂A

∂t + ∂Q

∂x = q _l

^(3.1)

∂Q

∂t + ∂Q ² /A

∂x + gA ∂Y

∂x + gAS _f = q _l V

^(3.2)

La pentede frottement est représentéepar laformulede Manning-Strickler:

S _f = n ² Q ²

A ² R ^4/3

^(3.3)

où

n

^{est lecoecient deManning (ensm}

^−1/3

^{), égalà l'inverse ducoecient de Strickler.}

Dans la suite, le terme

q _l V

^{sera négligé,} considérant que les transferts latéraux se feront soit perpendiculairement au sens de l'écoulement (apports d'un auent, prélèvements pour

l'irriga-tion),soit àdesvitessesrelativement faibles(échangesnappe-rivière),etdoncsansinuence sur

laquantité demouvement.

Remarque : l'équation de l'onde diusante, utilisée dans le modèle d'Hayami, est obtenue en

négligeant lestermes d'inertie

∂Q

∂t + ^∂Q _∂x ^{2 /A}

^{dansl'équation(3.2).}

Dans le document Modélisation intégrée des écoulements pour la gestion en temps réel d un bassin versant anthropisé (Page 35-40)