3.5 Annexe : Approximation de T aylor de la fonction de transfert du modèle LBLR . 85
4.1.4 L'identication dans la thèse
Procédure d'identication retenue
Dans lasuite, l'identication desparamètres se ferapar laminimisation d'uncritère traduisant
l'écart entrelesmesures etlesrésultatsde simulation.La recherche d'unminimumglobal (dans
l'espacedesparamètres)permetdes'assurerquelejeudeparamètresobtenuestbienoptimal.La
convergenceverscetoptimumsefaitàpartird'unpointinitial,maisn'esttoutefoispasgarantie,
notamment lorsqu'ilexiste plusieurs minima locaux (cas desmodèles sur-paramétrés). Le choix
du point initial devient alors crucial.
Pour contourner ce problème, nous utiliserons une méthode développée par Mathevet (2005)
et utilisée notamment par Lerat (2009) avec un modèle couplé hydrologie-hydraulique. Cette
méthode sedécompose entrois étapes.
1. L'espace des paramètres est tout d'abord échantillonné. La grille d'échantillonnage est
déniepar desvaleursréalistesdesdiérentsparamètres.Comptetenudesdimensionsdes
biefsétudiés,lesvaleursde1het10hontétéretenuespourlesparamètreshydrauliques
τ 0
et
K 0
.Pour lesparamètres hydrologiques,lesvaleursutiliséesontétédéterminées àpartir des résultats d'identication sur un grand nombre de bassins versants (Le Moine, 2008).Nous retiendrons les valeurs de10 h et100 h pour le paramètre
K R
,100 mm,400 mm et1000 mm pour leparamètre
S
,et0.5, 1et1.5pour leparamètreIGF
.2. Le critère estensuitecalculé pour chaqueéchantillon.
3. L'échantillon ayant obtenulemeilleurscoreestretenupourservir depointde départpour
laprocédure deminimisation du critère.
L'algorithme de Levenberg-Marquardt (Levenberg, 1944) sera ensuite utilisé pour la recherche
du jeu de paramètres qui minimise le critère. Cet algorithme est codé sous le logiciel de calcul
Scilab 1
par la fonction lsqrsolve. Dans les diérentes applications proposées dans la suite,
l'algorithme asystématiquement convergévers unminimumquenoussupposeronsglobal.
Enn,lapérioded'identicationdevraêtresusammentlonguepourpouvoirreprésenterles
phé-nomènes modélisésdansleurensemble. Notonsquecesphénomènesmettentenjeu destempsde
transfert diérents. Ainsi, un unique événement peut permettre d'identier un modèle
hydrau-lique, alors quel'onconsidère généralement queplusieurs années sontnécessaires pour identier
un modèlehydrologique.
Choix d'uncritère
Le choix ducritèreestprimordialpours'assurerdubon fonctionnement dumodèle. Eneet,un
modèlefonctionnemieuxsilesobjectifsdemodélisationsontprisencomptelorsdel'identication
àtraverslecritèreretenu(Oudinetal,2006).Celasignieparexemplequelecritèreseradiérent
pouruneétudedecrueetpouruneétudedesétiages,bienquelemodèleutilisépuisseêtrelemême
danslesdeuxcas.Lorsdel'étudedescrues,lemodèledoitassurerunebonnereprésentation des
périodesdehautes eaux, contrairement àune étude desétiagesqui seconcentre essentiellement
sur lespériodesde basseseaux.
Les diérentes applications proposées seplacent dansdescontextes variés.Aussi, diérents
cri-tères seront utilisés.Néanmoins,cescritères sonttousbasés surlecritèreclassique desmoindres
carrés,nomméRMSE(RootMeanSquare Error).Cecritèrepermetdequantierl'écart
quadra-tiquemoyen entre unegrandeur simulée etsamesure.Il est dénipar :
RMSE
= 1 N
v u u t X N
k=1
(y mes (k) − y sim (k)) 2
(4.1)1. LelogicielScilabestdéveloppéàl'INRIA(www.scilab.org).
où
N
estlenombre depasdetemps,y mes (k)
lagrandeur mesuréeaupasdetempsk
,ety sim (k)
la grandeur simuléeà ce même pasde temps. Le critère RMSE atendance à donner plus
d'im-portance aux valeurs élevées qu'aux valeurs faibles. Lors d'une étude hydrologique, des écarts
relatifs similaires enhautes etbasseseauxn'auront paslemême poidslors ducalculdu critère.
La minimisation dece critère auradonctendance à favoriser unebonne reproduction descrues.
Andedonnerlamêmeimportanceauxécartsrelatifsdehautesetbasseseauxlorsde
l'identica-tion, ilestpossibled'appliquerunetransformationsurlesgrandeursévaluées.Latransformation
logarithmique, illustrée surlagure4.1, estsouvent utiliséeà ceteet.Le critères'écrit alors :
RMSE
log = 1 N
v u u t X N
k=1
(log y mes (k) − log y sim (k)) 2
(4.2)0 200 400 600
Q (m 3 /s)
10 0 10 2 10 4
temps log Q (m 3 /s)
Figure 4.1 Eetsdelatransformation
log Q
Le critère de Nash-Sutclie (Nash etSutclie, 1970), déni par l'équation 4.3, permet de
nor-maliser l'écart quadratique moyen et de fournir ainsi une information sur la qualité relative
de la simulation. Ce critère, donné en pourcentage, est largement utilisé en hydraulique et en
hydrologie.
Nash
= 1 − P N
k=1 (y mes (k) − y sim (k)) 2 P N
k=1 (y mes (k) − y mes ) 2
(4.3)
où
y mes
représente lavaleur moyenne dey mes
.Les critères RMSE, RMSE
log
et Nash seront ceux utilisés dans les diérentes applications pro-posées. Pour le cas de Sacramento, l'identication étant eectuée dans le domaine fréquentiel,nousutiliserons un critèrespécique déniplusloin.
Validation
Pour lesapplicationshydrologiquesprésentées danslasuite, l'étaped'identication sedéroulera
selon une procédure dite de calage-contrôle croisé . Cette méthode, développée par Klemes
(1986),estaujourd'huilargement utiliséeenhydrologie.Le principereposesurundécoupagede
lapériode dedonnéesendeuxsous-périodesP
1
etP2
.L'identication esttoutd'abord eectuée sur la période P1
et validée sur la période P2
. Le modèle est ensuite identié sur la périodeP
2
puis validé sur lapériode P1
. Cette procédure permet notamment de vérier la consistance des paramètres. Généralement, si les paramètres varient peu entre les deux identications, lesparamètres sont moyennéspour obtenir lesvaleursretenues.
Dans certains cas, ilest également possible de validerlejeu de paramètres identié en utilisant
d'autrestypesdedonnées,commeledébitenunpointintermédiaireparexemple(voirlestravaux
de Lerat (2009) et l'application sur le delta de Sacramento en 4.2.1). Enn, dans le cas de la
synthèse d'un contrôleur (voir l'application Gignac présentée en 4.2.2), la validation ne pourra
sefaire qu'en situation réelleen vériant queledébit observé correspondbien audébit désiré.