Commande en boucle ouverte (canal de Gignac)

Problématique de la commande en boucle ouverte

Lacommandeenboucleouverte(BO)estuneapplicationessentielledel'automatique,etconcerne

denombreuxdomaines.Elleestillustréeiciàtraverslecasparticulierdescanauxd'irrigation.Le

système considéré est un biefdu canal de Gignacdélimité par les stations Partiteur et Avencq.

Ce canalestutilisé pour alimenterun périmètre irriguéd'environ3000 ha,etréponddonc àdes

besoinsen eauparticuliers.Legestionnairedoitsatisfaireunedemandequivarietoutaulongde

lasaisond'irrigation, touten économisant au maximumlaressource.Des vannessont disposées

toutle longducanal(dont une àlastationPartiteur) de manièreàpouvoiralimenterles prises

d'irrigation en période de demande,etlimiterl'approvisionnement lereste du temps.

Prenonsl'exempleillustrésurlagure4.13.Supposonsquelesirrigantsaientunbesoinimportant

eneausurunepériodelimitéedansletemps(schémadegauche).Andesatisfairecettedemande,

legestionnaire doittenir compte deladynamiquede l'écoulement danslecanal, notamment du

retard entre l'ouverture d'une vanne à l'amont et l'arrivée du débit à l'aval, et l'atténuation le

long dubief. Pour s'assurerqu'un débit susant seradisponible danslecanal pendant toute la

périoded'irrigation,legestionnairedoitdoncanticiperl'ouverturedelavanneamont(schémadu

milieu).Leschémadedroite présenteledébitavaldésirécomparéaudébitavalobservésuiteàla

man÷uvre de lavanne amont. Onpeutyvoirunezonepleine représentant levolume d'eaunon

utilisé, etdonc gaspillé.Cet exemple montrequepouréviter legaspillage,legestionnairea tout

intérêt d'utiliser un modèle hydraulique représentant au mieux la dynamique de l'écoulement

danslebief.

Dansce contexte, lacommandeenBOconsisteà déterminer,àpartird'unmodèled'écoulement

dans le biefet d'uneconsigne en débit à l'aval, la man÷uvre de la vanne amont qui permettra

de respecter au mieux la consigne. A l'opposé de la commande en boucle fermée qui utilise en

temps réel desdonnéessurlesystèmepouréventuellement corriger lesdéfauts ouperturbations

débit aval désiré débit amont débit aval observé

Figure 4.13 Problématique delacommande en boucle ouverte

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

67 68 69 70 71

abscisse (km)

cote (m)

Bief Partiteur−Avencq

profil en long ligne d’eau prise d’eau

Figure 4.14 Bief Partiteur-Avencq :prol en long, prises d'eau etligne d'eaupour un débit

de 0.5m

3

/s

imprévus,lacommandeen BOn'utilise qu'unsignaldéterminéàl'avanceetne prendencompte

aucun retour surl'état dusystèmependant l'expérimentation.

Présentation du bief de Gignac : Partiteur-Avencq

Le biefconsidéré icia unelongueur d'environ 5km pour une pentemoyenne de 2.410

−4

etune

largeur moyenne d'environ2 m. Pendant la saisond'irrigation, le débit dansce biefvarie entre

0.2 et0.8 m

3

/s. Une vanne automatique est située à l'amont et permet desvariations du débit

amont. Deux seuils sont également présents surle bief, l'un vers le milieu et l'autre à l'aval. Il

permettent entre autres de maintenir danslecanal unniveau d'eau susant pour alimenterles

5 prises d'eausituées surles parois latéral du canal. Ces prisesd'eau sont desorices d'environ

15 cmde diamètre etalimentent des canaux secondaires servant à l'irrigation desparcelles. La

gure 4.14présente leprolen longdu biefetlapositiondesprises d'eau.

Modèle hydraulique

Le modèleutilisé pour la commandeen BO sera unmodèle linéaire du type premier ordre plus

retard.Nousconsidérons donc lesvariations autourd'unrégimederéférencedénipar undébit

amont

Q ₀

^{constant, un débit dérivé aux prises}

Q _l

^{constant et un débit aval}

Q _X

^{constant. La}

Q(X,t) = Q + q (t) _{X X} Q(0,t) = Q + q (t) _{0 0}

Q (t) = Q + q (t) _{l l l}

Figure 4.15Schéma dumodèle hydraulique

hauteur d'eaupour lerégime de référencen'est pasnécessairement uniforme. Pour lerégimede

référence, on pourra doncécrire :

Q _X = Q ₀ + Q _l

^(4.15)

Le débit aux prises d'eau dépend de la hauteur d'eau au droit de la prise. Toutefois, pour

simplierl'inuencedecesprisessurl'écoulement,noussupposeronsquetouslesdébitslatéraux

sont situées àl'aval.Le biefconsidéré estschématisésur lagure4.15.

An d'évaluer l'importance des variations du débitlatéral duesauxvariations dehauteur d'eau

dans le bief, deux modèles seront étudiés indépendamment. Le premier fera l'hypothèse d'un

débit latéralconstant, ledeuxième proposeraune approximationlinéairedesvariationsdudébit

latéral.

Débit latéral constant

Commenousl'avonsdéjà précisé, letransfert dudébit amont sera approché par une fonction

de type premier ordre avec retard. Sil'on suppose le débit latéral constant, les variations du

débitaval s'écriront,dansledomaine de Laplace :

q X (s) = e ^{−τ s}

1 + Ks q 0 (s)

^(4.16)

Lesparamètres

τ

^et

K

^{peuvent être déduits des}caractéristiques du biefpar la méthode pro-posée dans le chapitre 3. Cependant, nous préfèrerons caler ces paramètres à partir d'un

événement réelan d'obtenir lemeilleurmodèle possible.

Cepremier modèlesera nommé FODpour FirstOrder plus Delay.

Débit latéral variable

Onsupposeàprésentledébitlatéraldérivéauxprisesvariable.Lesprisessontdesoricesdans

lesparoislatérales,doncenfaisantl'hypothèsequetouteslesprisessontsituéesàl'aval,onpeut

direqueledébitlatéraldépenddelahauteurd'eauàl'aval

Y (X, t)

^.Ainsi,une approximation linéaire dudébit latéralconduit à :

q _l (s) = k _l y _X (s)

^(4.17)

où

k _l

^{estun coecient delinéarité.}

Par ailleurs,nousavonsvudanslechapitre 3quelaprésenced'unouvrage àl'avalpouvaitse

traduirepar l'équationde feedback,obtenuepar linéarisation del'équation d'ouvrage :

q X (s) = ky X (s)

^(4.18)

Ainsionpourraécrire :

q _l (s) = k _l

k q _X (s)

^(4.19)

Ledébitavalétantégalaudébitamontpropagé(parunefonctiondetransfertdetypepremier

ordre avec retard) auquel est soustrait le débit latéral, on obtient la fonction de transfert

suivantepermettant d'obtenir ledébitaval:

q _X (s) = e ^{− τ s}

1 + Ks q ₀ (s) − q _l (s)

= Ge ^{−τ s}

1 + Ks q ₀ (s)

^(4.20)

avec

G = k/(k + k _l )

^.

Cemodèle seranommé G-FOD pour Gainand FirstOrderplus Delay. Demême quepour le

modèleFOD,les paramètres

G

^,

τ

^et

K

^{seront identiés àpartir de données réelles.}

Synthèse d'uncontrôleur BO

Le débit avalcible

q f _X

^{prendra laformed'une fonctionGevrey déniepar :}

f

q _X (t) =

 

 

 



0 t < 0

q _T

R t/T

0 exp( − 1/(t ⁰ (1 − t ⁰ )) ^σ )dt ⁰ R 1

0 exp( − 1/(t ⁰ (1 − t ⁰ )) ^σ )dt ⁰ 0 ≤ t ≤ T

q _T t > T

(4.21)

avec

σ

^{un paramètre de forme. Le débit nal atteint au temps}

T

^{est désigné par}

q _T

^{. Le choix}

d'une fonction de ce type a été motivé par une étude parallèle d'un contrôleur basé sur la

méthode dierential atness. Ce contrôleur, développé par Di Meglio et al. (2008) et Rabbani

et al. (2009), est déni à travers une série innie qui nécessite l'utilisation d'une fonction de

typeGevreyand'enassurerlaconvergence. Lesmanipulationsquenousavonspumenersurle

canaldeGignacontpermisdevalidercecontrôleurainsiqueceluiquenousproposonsici,cequi

justie l'utilisation de la même fonction pour le débit aval cible. Le but de cette partie n'étant

pasdeprésentercetautrecontrôleur, nousnoterons justequelesdeuxcontrôleurs mènent àdes

performances similaires.

La gure4.16présente lafonction

q f _X

^pour

T = 3

^het

q _T = 0.1

^m

³

^{/s,et pour diérentesvaleurs}

de

σ

^.

Le contrôle est représenté par le débit amont

q ₀

^{qui permettra d'obtenir ledébit avalcible}

q f _X

^.

Pourdéterminer

q ₀

^{,ilsutd'inverserl'équation}diérentielleordinairedéterminéeparlafonction

0 1 2 3 4

de transfert (4.16) ou(4.20). Onobtient alors :

q ₀ (t) = 1

Avantd'êtretestésenconditionsréelles,cesdeuxmodèlessontvalidéssuruncasthéoriquesimulé

avec le logiciel SIC, pour lequel on dispose d'un modèle du bief considéré. Les prises latérales

peuventêtresimuléessoitpar undébitlatéralconstant (xéà15l/s,soit75l/ssurles5prises),

soit par un débit latéral dépendant de la hauteur d'eau au droit de la prise. Le coecient de

Strickleraétéxélorsd'uncalageantérieurà47m

1/3

/s.Lepasdetempsdecalculestde5min.

1. Identication

Dans un premier temps, les deux modèles sont calés sur la réponse aval à une ouverture

brusque de la vanne amont. Le débit amont du régime de référence

Q ₀

^{est égal à 0.4}

m

3

/s. Les paramètres à identier sont :

Q _l

^,

τ

^,

K

^{ainsi que}

G

^{pour le cas}

Q _l

^variable.

L'identication a été menée pour le modèle FOD dans le cas d'undébit latéral constant,

et pour les modèles FOD et G-FOD dans lecas d'un débit latéral variable. Les résultats

sont rassemblés dansletableau 4.3.La gure4.17présenteledébit relatifamont

q ₀

^,etles

résultatsd'identication pour lesdeux modèles dansles casd'undébit latéralconstant et

variable. On peut yvoir que le modèle FOD introduit un décalage en début et en n de

simulation. Ce décalage est dû au fait que le débit augmente au cours de la simulation,

ce qui fait augmenter la hauteur d'eau dans le bief et le débit latéral devient donc plus

important. On peut voir que la variation du débit latéral est bien reprise par le modèle

G-FOD.

Q _l

^Modèle

Q _l

^(m

³

^/s)

τ

^(s)

K

^(s)

G

Constant FOD -0.074 4052 3191

Variable FOD -0.089 5091 2446

Variable G-FOD -0.078 3901 3166 0.89

TABLEAU 4.3Résultatsd'identication desmodèles FODetG-FOD pour lavalidation

théo-rique

0 2 4 6 8

Figure 4.17Résultatsd'identication avec lelogicielSICpourles deuxcas

Q _l

^constantet

Q _l

variable

2. ContrôleBO

Pour lavalidation théorique,nousavonschoisi

σ = 1

^,

T = 3

^het

q _T = 0.1

^m

³

^{/s.Le calcul}

ducontrôle

q 0

^{aétéfaità partirde l'équation(4.22),pourles troismodèlesdécrits parles}

jeux deparamètres du tableau 4.3.

La gure4.18présentelecontrôle calculéaveclemodèle FODsousl'hypothèse d'undébit

latéralconstant,etledébitavalobtenucomparé audébitavalcible.Avecl'hypothèsed'un

débit latéral variable, les mêmes courbes sont représentées sur la gure 4.19. Le graphe

de gauche correspond au modèle FOD, celui de droite au modèle G-FOD. On peut voir

que le modèle FOD, qui ne tient pas compte de l'augmentation du débit latéral due à

l'augmentation du niveau d'eau dansle bief, propose une valeur nale du débit aval plus

faiblequecelleattendue.Aucontraire, lecontrôle obtenuparlemodèleG-FODpermetde

bien reproduire ledébitavalcible.

Onpeutnoterunléger écartentreledébitavalcible etledébitavalsimuléauniveaudela

deuxième courbure.Cet écartpourraitêtrediminué enaugmentant l'ordredumodèle(par

exempleavecundeuxièmeordre).Toutefois,nousavonschoisideconserverl'approximation

d'unpremierordre,considérantquel'améliorationapportéeparunordresupérieurneserait

quetrès peuvisible ensituation réelle,compte tenudu fonctionnement delavanne décrit

ci-après.

Figure 4.18Calcul du contrôle

q ₀ (t)

^{pour un débitlatéral constant avec lemodèleFOD}

0 2 4 6

Figure 4.19 Calcul du contrôle

q ₀ (t)

^{pour un débitlatéral variable avec les modèles FOD et}

G-FOD

Implémentation surle canal de Gignac

Nousavonstestélavalidité ensituationréelledesdeuxcontrôleursdécritsprécédemment (FOD

et G-FOD) sur le bief Partiteur-Avencq du canal de Gignac (voir gure 4.14). Les données de

débits amontetavalsont transmisesentempsréelaupasdetemps de5min.Avantdeprésenter

lesrésultatsd'identication etdecontrôle,nousdécrivonslefonctionnement de lavanneamont.

1. Fonctionnementde la vanne

Des consignes d'ouverture et de fermeture de lavanne amont peuvent être télétransmises

entemps réel toutesles5 minutes. Uncapteur deposition permetdeconnaîtreà cemême

pasdetempsl'ouverturedelavanne.Unalgorithmebasésurl'équationdelavannepermet

de convertir un débit traversant lavanne en ouverture de vanne.Ainsi, le débit amont

q ₀

calculé pour satisfairele débitaval cible

q f _X

^{pourraêtre envoyé} directement à lavanne.

Du fait de l'inertie de la vanne due à ses dimensions (environ 1 m x 1 m) et le système

d'hydraulique de puissancepermettant de laman÷uvrer, il esttrès dicile de régler

l'ou-verture avec une grande précision. Une zone morte de ±2 cm autour de la valeur cible

permetd'éviterdes oscillationstropimportantes. Ainsi, lorsquele capteur deposition

in-dique une valeur incluse dans cette zone morte, il est considéré que la vanne a atteint sa

position. Laprésence delazonemorte introduitun décalage par rapport auxvaleurs

sou-haitées. La position étant vériée toutes les 5 min, ce décalage estcorrigé à ce même pas

de temps,ce quipeutprovoquerdesoscillationsà unefréquencede 0.003Hz.Lesmodèles

proposéspermettent de vérierquecesoscillationsseront invisiblesdepuis l'aval.En eet,

laconstante depremierordre

K

^{aunevaleurdel'ordredel'heure,cequicorrespondàune}

fréquencede coupurede l'ordrede 10

−5

Hz,bieninférieure àlafréquenced'oscillation. Le

calculdugaindelafonction detransfertpermetd'établir uneatténuation deplusde98%

pour un signal sinusoïdal de période 5 min. Ainsiles oscillations dues à lazone morte ne

sont pasgênantes dansnotrecontexte.

2. Identication

L'identication des paramètres nécessite des mesures des débits amont et aval lors d'un

événement antérieur. Plusieurs contrôleurs ont été testés lors de l'expérience qui a duré

plusieursjours.Chaquemodèleutiliséaétécalibrélorsdel'événementmesuréleplusrécent,

ceci an de limiter les changements de conditions (ruissellement lié aux précipitations,

prélèvements) entre lecalage dumodèleetl'application du contrôleur.

Les résultats d'identication pour les modèles FOD et G-FOD sont présentés dans le

ta-bleau 4.4etsurlagure4.20.

Modèle

Q _l

^(m

³

^/s)

τ

^(s)

K

^(s)

G

FOD -0.070 2490 8523

G-FOD -0.055 5055 2662 0.80

TABLEAU 4.4Résultats d'identication desmodèles FOD etG-FOD pour lavalidation

0 2 4 6 8 10 12

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

temps (h) débit (m 3 /s)

Identification FOD

Q(0,t) mesuré Q(X,t) mesuré Q(X,t) simulé

0 1 2 3 4 5 6

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65

temps (h) débit (m 3 /s)

Identification G−FOD

Q(0,t) mesuré Q(X,t) mesuré Q(X,t) simulé

Figure 4.20 Résultats d'identication surle biefréel deGignac

3. ContrôleBO

On peutvoirsur les résultatsde simulation quepour obtenir une augmentation

susam-ment rapide du débit aval, le débit amont doitpasser par des valeurs dépassant la valeur

nale. Oncomprend bienqueplus l'augmentation souhaitée dudébit avalestrapide, plus

lepicdudébitamontestimportant.Pourdesraisonsdedimensionnement ducanal,ilsera

impossibled'obtenirundébitavaldelaformed'unéchelon.Ainsi,pourl'applicationréelle,

lechoix descoecients

σ

^et

T

^{aétéfait enfonction dudébit initial etdu débitmaximum}

du canal, defaçon à éviter toutdébordement ou à-sec.

Lesvaleurssuivantesont étéretenues :

Pour FOD :

σ = 1

^,

T = 3.2

^h,

q T = − 0.1

^m

³

^/s.

Pour G-FOD :

σ = 1

^,

T = 5

^h,

q _T = 0.1

^m

³

^/s.

Lagure4.21présentelesrésultatspourlesdeuxmodèles.Danslesdeuxcas,ledébit aval

observé suitcorrectement ledébit avalcible.Néanmoinspourlemodèle FOD,onretrouve

l'écart entre les valeurs nales des débits aval théorique et mesuré, dû aux variations du

débit latéral. En eet, le débit dans le bief a diminué au cours de l'expérience, ce qui a

provoquéunediminutiondelahauteurd'eau,etdoncdudébitlatéral.Cetécartn'est plus

présent danslecasdumodèleG-FODqui prendbienencompte les variations par lebiais

du gain

G

^.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

temps (h) débit (m 3 /s)

Résultat BO − FOD

Q(0,t) théorique Q(X,t) théorique Q(0,t) mesuré Q(X,t) mesuré

0 1 2 3 4 5 6 7

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

temps (h) débit (m 3 /s)

Résultat BO − G−FOD

Q(0,t) théorique Q(X,t) théorique Q(0,t) mesuré Q(X,t) mesuré

Figure 4.21 Contrôle en BOsur lebiefde Gignacpour les modèles FOD etG-FOD

Conclusion

Dans cette application, nous avons mis en ÷uvre deux modèles simples pour la commande en

boucleouvertedansunbiefd'uncanald'irrigation.Ledeuxièmemodèleestuneversionaméliorée

dupremierpermettantdeprendreencomptelesvariationsdesdébitsdérivésauxpriseslatérales

dues aux variations de hauteur d'eau dans le canal. Ces deux modèles ont tout d'abord été

identiés puis validés de manière théorique avec le logiciel SIC de modélisation hydraulique.

NousavonspuensuitetestercesmodèlesenconditionsréellessurunbiefducanaldeGignac.Le

modèleamélioré(quiprendencomptelesdébitslatéraux)apermisdereproduiredemanièretrès

satisfaisanteun débit aval objectif à partir de man÷uvres sur une vanne amont gérée de façon

automatique. Nousavons pumontrer à travers cette application la pertinence de l'approche de

modélisationsimpliéedu transfertde débit dansuncanal d'irrigation.

Dans le document Modélisation intégrée des écoulements pour la gestion en temps réel d un bassin versant anthropisé (Page 106-115)