Eets d'une condition à la limite aval

Danslecadre decette thèse,les biefsconsidérés sont délimitéspar desstationshydrométriques,

généralement situées à l'amont immédiat d'un ouvrage en travers (seuil, vanne, etc.). Ces

ou-vrages ont une inuencesur ladynamiquede l'écoulement à travers lecouplage qu'ilsinduisent

entre le débit et la hauteur d'eau. Ce couplage se traduit par l'équation d'ouvrage, et est à

l'origine de deux phénomènes. Le premier, quel'on appellera eet backwater, vient du fait que

la hauteur d'eau au droit de l'ouvrage est liée au débit qui le traverse, provoquant une courbe

de remous(gure 3.11).Lesecond, nomméeet feedback,est lié àlavariationde hauteur d'eau

qu'induit une certaine variation de débit. Cet eet est souvent négligé lors de l'étude de

l'in-uence d'un ouvrage aval; nous verrons cependant qu'il peut avoir un impact aussi important

quel'eet backwater. Enquelque sorte,l'eet backwater correspondà uneet statiquepuisqu'il

aectelerégime permanent considéré pour lalinéarisation, alors quel'eet feedback correspond

à uneet dynamiquepuisqu'il peutêtre assimilé àun contrôleur proportionnel.

ouvrage aval

débit aval débit

amont

courbe de remous

Figure 3.11 Schémade lacourbe de remousinduitepar unouvrage aval

La gure3.12 représentedes exemples de courbes

Q = f (Y )

^{pour un seuil etune vanne. Pour}

ces deux ouvrages, la hauteur d'eau est

Y ₀

^{pour un débit}

Q ₀

^{. La courbe de remous, et donc}

l'eet backwater, sont les mêmes dans les deux cas. Cependant, si le débit passe de

Q ₀

^à

Q ₁

^,

la variation de hauteur d'eau induite est bienplus importante pour la vanne que pour leseuil.

Ainsi, ladynamiquenesera pasaectéedelamême manièrepar laprésenced'unseuiloud'une

vanne à l'aval, même si la courbe de remous est identique pour un régime de référence

Q ₀

^{. Ce}

résultat a été mis en évidence par Strelkoet al. (1998), maisn'a jamaisété étudié de manière

analytique.

La méthodedéveloppée icipermetd'étudierl'inuence d'unouvrage avalen prenant encompte

les eets backwater et feedback indépendemment. Pour ce faire,nous supposerons quel'avalde

l'ouvrage n'a aucune inuence sur l'amont (ouvrages dénoyés). Notons que la méthode décrite

peut facilement s'étendre au cas desouvrages inuencés par l'aval (cas des ouvrages noyés) en

couplant lesfonctions detransfert desbiefs amont etaval.

L'équation d'ouvrage sera notée:

Q = f _ouvr (Y )

^(3.7)

Nousutiliserons l'équation(3.8) pour décrireun seuildénoyé etl'équation(3.9) pour une vanne

Y0 Y1s Y1v

Q0 Q1

hauteur d’eau

débit

seuil

vanne

Figure 3.12 Lesdeux eetsde laprésenced'unouvrage aval.

de fond dénoyée :

largeurde lavanne,

W _v

l'ouverture dela vanne et

C _v

^{lecoecient dedébit de lavanne.}

Développement d'un modèle fréquentiel

Nous cherchons ici à établir une fonction de transfert simple reliant les variations de débit en

tout point du cours d'eau aux variations du débit amont. Les équations de Saint-Venant sont

d'abordlinéariséesautourd'unrégimederéférence,puistransposéesdansledomaine fréquentiel.

L'introductiondel'équationd'ouvragelinéariséepermetensuited'établirlafonctiondetransfert

aveccouplageavalpourunrégimederéférenceuniforme.Enn,pourprendreencomptelacourbe

de remous, le biefsera scindé en deux sous-biefs, le premier représentant la partie uniforme, le

deuxième lapartie nonuniforme.Le modèleainsiobtenu,nommé LBLRpour LinearBackwater

Lag&Route, estprésentédansl'article deMunier et al.(2008).

1. Equations deSaint-Venant linéarisées

Danslasuite,lesvariablesdécrivantlerégimederéférence,déniparundébituniformesur

toutlebief(doncsans débitlatéral),seront notéesavec l'indice0 (parexemple

Q ₀

^,

Y ₀ (x)

^,

etc.), les variables notées en minuscule (

q(x, t)

^,

y(x, t)

^,etc.) correspondront à des petites variationsautourdurégimederéférence.Aveccesnotations, leséquations deSaint-Venant

linéarisées s'écrivent : la section d'écoulement. Dans les équations (3.12-3.13), la dépendance en

x

^{a été omise}

pour plusde lisibilité.

Danscette partie,on s'intéresseau transfertd'undébitamont;ledébitlatéral

q _l

^estdonc

supposénul.Le transfert d'undébit latéralsera étudiédans lapartie 3.3.

2. Approche fréquentielle

Les équations de Saint-Venant linéarisées sont ensuite transposées dans le domaine

fré-quentielpar latransformée de Laplace. An d'alléger les écritures, les variables

q(x, t)

^et

y(x, t)

^{garderontlamême notation dansledomaine} fréquentiel,soit

q(x, s)

^et

y(x, s)

^,où

s

est lavariable deLaplace. Le systèmepeutalors s'écriresous laforme :

d

Pour résoudre analytiquement l'équation diérentielle ordinaire (3.14), la matrice

A s

^est

diagonalisée. Lesvaleurspropres sont :

( λ 1 (s) = a + bs − √

Dans lasuite,ladépendanceen

s

^de

λ ₁

^et

λ ₂

^{sera omisepour plus de}lisibilité.

La matrice

A s

^{s'écrit alors :}

A s = P _s D _s P _s ⁻¹

^(3.17)

En supposant que

A s

^{est uniforme le long du bief, l'équation (3.14) peut être résolue}

analytiquement et conduità (Litrico etFromion, 2004a):

q(x, s)

La matrice

Γ

^{permet d'obtenir le débit et la hauteur d'eau en tout point du bief avec}

commeconditionsauxlimitesledébitetlahauteurd'eauàl'amont.Commenousallonsle

voir, l'introduction de l'équation d'unouvrage situé à l'aval du biefpermetde réduireles

conditions aux limites au seul débit amont, etainsi d'établir la fonction de transfert

T F ₀

reliant

q(x, s)

^à

q ₀ (s)

^:

q(x, s) = T F ₀ (x, s)q ₀ (s)

^(3.21)

3. Fonctionde transfert avec feedback pour un écoulement uniforme

La linéarisationdel'équationd'ouvrage(3.7) permetd'introduirelecoecient defeedback

k = f _ouvr ⁰ (Y _X )

^{.Ce coecient} caractérisel'eet feedback àtravers larelation :

q(X, t) = ky(X, t)

^(3.22)

Dans lecasduseuil,

k = ³ _{2 Y} ^{Q 0}

X −Z s

.Pour la vanne,

k = ¹ _{2 Y} ^{Q 0}

X

.

Ainsil'équation(3.19)couplée àl'équation(3.22) permettentd'écrire lafonction de

trans-fert

T F ₀

^{sous laforme :}

T F ₀ (x, s) = 1 − ρe ^{(λ 1 −λ 2 )(X−x)}

1 − ρe ^{(λ 1 −λ 2 )X} e ^{λ 1 x}

^(3.23)

où :

ρ = kλ ₁ + T ₀ s

kλ ₂ + T ₀ s

^(3.24)

4. Approximation dela courbe de remous

L'eet backwater est pris en compte grâce à une approximation de la courbe de remous

développée initialement par Schuurmans et al. (1999) et modiée par Litrico et Fromion

(2004b). Elle consiste en un découpage du bief en deux sous-biefs, le premier relatif à la

partie uniformede laligned'eau, lesecondrelatifà lapartienon uniforme. Laligne d'eau

réelle, caractérisée par l'équation (3.25), estalors approchée par deuxsegments de droite,

commeillustré surlagure3.13.

dY

dx = S _b − S _f

1 − F ²

^(3.25)

où

F = V /C

^{est lenombrede Froude.}

0

Uniform part Backwater part Y n

S

b

Y X

S X

X 1 X

Figure 3.13 Approximationde lacourbe deremous

Dans la partie non uniforme, la ligne d'eau approchée est tangenteà la ligne d'eau réelle

en

x = X

^{. L'abscisse de séparation des deux} sous-biefs,

X ₁

^{, est alors déterminée par}

l'intersection de la ligne d'eau approchée de la partie backwater avec la ligne d'eau du

régime normal. Les variables décrivant l'écoulement de référence seront notées avec les

indices 1 et2pour les sous-biefsamont et avalrespectivement. Le régime de linéarisation

dans la partie amont correspond au régime normal avec le débit

Q ₀

^{. Dans la partie aval,}

de longueur

X ₂ = X − X ₁

^,lerégimede linéarisationestdénipar undébit

Q ₀

^{,une pente}

de laligne d'eau

S _X

^{etunehauteur d'eau moyenne}

Y ₂ = Y _X − S _X X ₂ /2

^.

Danschaquesous-bief,lescaractéristiquesdel'écoulementsontsupposéesuniformes.Il est

alors possible d'écrire les fonctions de transfert

T F ₁

^et

T F ₂

^{relatives à chaque sous-bief}

sous lamême formeque dansl'équation(3.23), soit,pour

i = 1..2

^:

T F _i (x _i , s) = 1 − ρ _i e ^{(λ 1i −λ 2i )(X i −x i )}

1 − ρ _i e ^{(λ 1i −λ 2i )X i} e ^{λ 1i x i}

^(3.26)

avec

λ _1i

^et

λ _2i

^{les valeurspropres dusous-bief}

i

^et

x _i

^{l'abscisse danslesous-bief}

i

⁽

x ₁ = x

et

x ₂ = x − X ₁

^{).Lesvariables}

ρ _i

^{dont dénies par :}

ρ _i = k _i λ _1i + T _i s

k _i λ _2i + T _i s

^(3.27)

où

k ₁ = − T ₂ s ^{1−ρ 2 e (λ 12 −λ 22) X 2}

λ 12 −λ 22 ρ 2 e ^{(λ 12 −λ 22) X 2}

^et

k ₂ = k

^(3.28)

k ₁

^{est obtenuen couplant leséquations (3.19) (dansle sous-bief2) et(3.22).}

La fonction de transfert

T F ₀

^{découle du couplage entre les fonctions de transfert}

T F ₁

^et

T F ₂

^{.Elleest donnéepar :}

T F ₀ (x, s) =

( T F ₁ (x, s)

^si

x ≤ X ₁ T F ₁ (X ₁ , s)T F ₂ (x − X ₁ , s)

^si

x > X ₁

(3.29)

Approximation basse fréquence (méthode des moments)

Pourpermettreunretourdansledomainetemporelsanspasserparl'utilisationduproduit

de convolution, la fonction de transfert

T F ₀

^{, que l'on appellera exacte , devra être}

approchée par une fonction detransfert plussimple.La méthodeutilisée aétédéveloppée

par Lal et Mitra (1974) et adaptée par Dooge et al. (1987) pour le transfert d'un débit

amont. Il s'agitde laméthode dite desmoments (Moment MatchingMethod) dont le

principe est d'égaliser les moments d'ordre 0, 1, 2,etc. de la fonction de transfert exacte

avec ceux d'une fonction de transfert approchée dont la forme est déterminée a priori.

Cetteméthodepermetd'obteniranalytiquementlesparamètres delafonctionde transfert

approchée de façon à reproduire le mieuxpossible lecomportement basse fréquence de la

dynamiquedu bief.

La gure 3.14 présente le diagramme de Bode 2

de la fonction de transfert exacte pour

les quatre canaux types, dansle cas uniforme. La forme de ces courbes permet de choisir

pourlesfonctionsdetransfertapprochées unereprésentationdutypepremierordreavec

retard en première approximation (graphede droite).

An de représenterplus nement ladynamique dubief, ilest possible dechoisir des

fonc-tions de transfert plus complexes (ajout d'un zéro, deuxième ordre ou plus généralement

2. Lediagramme deBodedelafonctiondetransfert

T F (jω)

^{est composé destracés du moduleendécibels}

(

20 log ₁₀ |T F (jω)|

^{)etdelaphaseendegrés(}

arg T F(jω)

^{)enfonctiondelafréquenceangulaire}

ω

^enrad/s

−30

Figure 3.14 Diagramme de Bode de la fonction de transfert exacte pour les quatre canaux

types (à gauche) et diagramme de Bode pour une fonction de transfert de type premier ordre

avec retard (à droite)

fraction rationnelle). Cependant, même si la méthodologie développée reste applicable,

nous avons choisid'en rester à une fonction de type premier ordre plus retard pour deux

raisons. La première est d'éviter les problèmes de stabilité que l'on peut rencontrer avec

desordresplusélevés(Malaterre,1994), laseconde estdelimiterlenombredeparamètres

qui devront être calés lors del'étaped'identication. En outrece type de fonctionpermet

de reproduire deuxcaractéristiquesessentiellesdutransfert desurface :l'atténuation etle

retard.

Rappelons ladénition du moment logarithmique d'ordre

R

^{de la fonction}

h(t)

^(ou

h(s)

dansle domainede Laplace) :

M _R [h(t)] = ( − 1) ^R d ^R

ds ^R [log h(s)] _s=0

^(3.30)

La méthode des moments revient donc à égaliser les dérivées successives des fonctionsde

transfertexactes etapprochées en

s = 0

^{.Le calculdecesdérivées seferapar} l'approxima-tion deTayloren 0,soit pour lafonctionde transfert exacte:

T F ₀ (x, s) = A ₀ (x) + B ₀ (x)s + C ₀ (x)s ² + o(s ² )

^(3.31)

Lafonctiondetransfert

T F ₀

^{étantcalculéeàpartirdes}caractéristiquesdubiefetdurégime de linéarisation, ilen vade même pour les fonctions

A ₀

^,

B ₀

^et

C ₀

^.

Cette fonction de transfert est approchée par la fonction de transfert suivante, du type

premier ordreplus retard :

T F g ₀ (x, s) = G ₀ (x) e ^{− τ 0 (x)s}

1 + K ₀ (x)s

^(3.32)

La méthodedes moments conduitalors auxéquations :

G 0 (x) = A 0 (x) τ ₀ (x) = − B ₀ (x) − p

2C ₀ (x) K ₀ (x) = p

2C ₀ (x)

(3.33)

L'annexe 3.5 détaille le calcul de l'approximation de Taylor de

T F ₀

^{qui permet d'établir}

l'expression de

A ₀

^,

B ₀

^et

C ₀

^{dénis par l'équation (3.31). Notons quece calculconduit à}

A ₀ (x) = 1

^{, ce qui est en accord avec l'équation de} conservation de la masse. Il en résulte que

G ₀ (x) = 1

^{.Lafonctiondetransfertsimpliéedudébitamontestdonc}caractériséepar

τ ₀ (x)

^et

K ₀ (x)

^{, calculés} analytiquement à partir descaractéristiques du bief

X

^,

B

^,

m

^,

S _b

et

n

^,de

Q ₀

^{décrivant le régimede} linéarisation,etde

Y _X

^et

k

^décrivant respectivement la courbe de remousetlefeedback.

Enrésumé :lemodèleLBLR (Linear Backwater Lag&Route)

ˆ Modèlefréquentielsimpliéà basephysique

ˆ Prise en compte deseetsde laconditionà lalimiteaval

ˆ Fonction de transfert distribuée dutype premierordre avec retard:

T F g ₀ (x, s) = _1+K ^{e −τ 0( x)s}

0 (x)s

ˆ Paramètres

τ ₀ (x)

^et

K ₀ (x)

^déterminésanalytiquement àpartir descaractéristiques physiques

Analyse des eets backwater et feedback

Eet d'un seuil, eet d'unevanne

Pour illustrerl'impactque peutavoirlaconditionà lalimiteavalsurladynamique, deuxtypes

d'ouvrages sont introduits successivement à l'aval du canal type C2. Le premier est un seuil

de longueur 30 m, de hauteur de pelle 2.6 m etde coecient de débit 0.4. Ce seuil induit une

hauteur aval

Y _X = 1.25Y _n

^{et un coecient de feedback}

k = 1.89k _n

^{, où}

k _n

^{est le coecient de}

feedback obtenulorsquel'équationd'ouvrageestl'équationdeManning(3.3).Lesecondouvrage

estune vanne delargeurde10 m,d'ouverture1.52metdecoecientde débit0.6,ce quidonne

Y _X = 1.25Y _n

^et

k = 0.21k _n

^{.Le seuiletlavanne provoquent donc lamême courbede remous,et}

ontdonclemêmeeetbackwater.Lesrésultatstemporelsainsiquel'approximationdelacourbe

de remoussont illustrés sur la gure3.15. La réponse par le modèle d'Hayami y est également

présentéepourcomparaisonaveclecassemi-inni.Lagure3.16présentelediagramme deBode

desfontions de transfertexactes etapprochéespar les modèles LBLRetHayami.

Il est clair d'après ces graphes que, d'une part, la condition à la limite aval peut avoir une

inuencesignicativesurladynamiquedel'écoulement,d'autrepart,lanaturedel'ouvrage aval

a également uneimportance dupointde vuedynamique.Eneet,laprésenced'unseuilà l'aval

atendance,danscetexemple,àaccélererl'écoulement,alorsquelavanneleralentit.Enoutre,le

modèleLBLRestcapable,danscesdeuxcas,deprendreencompte demanièretrèssatisfaisante

lacondition àla limite aval.

Demême,lagure3.17montrelesrésultatsdumodèleLBLRcomparésàceuxdeSICenincluant

0 1 2 3 4 5 6

Canal 2 − Approximation de la courbe de remous

abscisse (km)

Figure 3.15 Comparaisondes modèles LBLR, Hayami et SICpour lecanal C2avec un seuil

à l'aval(à gauche)ou une vanne (à droite)

Figure 3.16Diagrammede Bodedesfonctionsdetransfert exactesetapprochées (parLBLR

etHayami) pour lecanalC2 avec un seuilà l'avalou unevanne

0 2 4 6 8 10 12

Figure3.17Comparaisondesréponsesen

x = X/2

^et

x = X

^{parlelogicielSICetlesmodèles}

LBLR etHayamià uneentrée créneaupour lebiefGignac1 avec vanneaval

lavanne àl'avaldubiefGignac1.Lesrésultatsdumodèled'Hayamisontégalement représentés.

La vanne est dénie par une largeur de 3.58 m, une ouverture de 0.4 m et un coecient de

débit de 0.6. Le modèle LBLR permet de reproduire avec une très bonne précision le débit à

l'aval,ainsiqu'aupointintermédiaireoùlavanneamoinsd'inuence.Laqualitédesrésultatsau

point intermédiaire est moinsbonne dufait de laprésence de hautes fréquences(visibles par la

montéerapideetlacassurequisuit)nonprisesencomptedanslemodèleLBLR.Ilseraitpossible

d'identier par la méthode des moments une fonction de transfert de type premier ordre plus

zéroavecretard,quipermettraitunepremièreapproximationdeshautesfréquencesetdonnerait

de meilleurs résultats:

T F g 0 (x, s) = 1 + Z 0 (x)s

1 + K ₀ (x)s e ^{−τ 0 (x)s}

^(3.34)

Cettenouvelle fonctiondetransfertn'est pasprésentéeici,carlagrandemajoritédescastraités

par la suite concernent desbiefs de rivièreplutôt longs pour lesquelsles hautes fréquences sont

fortement atténuées.

Cerésultatmontrequelaméthodesimplederecherched'unegéométrieéquivalenteetlapriseen

comptedel'ouvrageréeldanslemodèleLBLRpermettentdereproduiredemanièresatisfaisante

ledébit danslebief.

Recherche d'un ouvrage équivalent

Nous avons déjà mentionné quelebief Gignac2 possède de nombreux ouvrages répartisle long

du bief. Une première façon de prendre ces ouvrages en compte serait de découper le bief en

sous-biefs séparés par les ouvrages, et d'appliquer le modèle LBLR sur chacun des sous-biefs.

Cette méthode n'est pas présentée car elle introduit une erreur multiplicative qui dégrade la

reconstitution du débit à l'aval. Une autre méthode, que l'on appellera méthode des volumes,

seraitde chercherunouvrage équivalent permettantde reproduireles eetsde tousles ouvrages

réels. Pour ce faire,nousavonscalculé grâceau logicielSICle volume total

V

^{danslebief pour}

diérents régimes permanents

Q

^{. En conservant la géométrie} équivalente établie au début de cettepartie (voirtableau3.2),unseuiléquivalent aétédéterminédemanièreàminimiserl'écart

entre la courbe

V (Q)

^{calculée par SIC et celle obtenue par l'approximation de la courbe de}

remous. On obtient un seuil de longueur 3.23 m etde hauteur 1.37 m (le coecient de débit a

été xé à 0.4). La gure 3.18 montre la courbe obtenue, ainsi que celle correspondant au bief

semi-inni (uniforme).

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.5 1 1.5

2 x 10 ⁴

débit (m ³ /s) volume (m 3 )

Gignac 2 − méthode du volume

SIC semi−infini seuil équivalent

Figure 3.18 Volume équivalent pour lebiefGignac2

La résponse en

x = X/2

^eten

x = X

^{à une entrée créneau est présentée sur lagure 3.19. Les}

modèlesSIC,LBLRetHayamiproduisentquasimentlesmêmesrésultatsaupointintermédiaire

oùl'inuencedesouvragesestpeumarquée.Parcontreàl'aval,lemodèleLBLRestbienmeilleur

que lemodèle d'Hayami.Ces résultats montrent qu'il estpossible,par laméthode desvolumes,

de trouverun ouvrageéquivalentdupointde vuedeladynamiquepermettantde reproduireles

eets desmultiples ouvragesrépartis lelongdu bief.

0 2 4 6 8 10 12

Figure 3.19 Comparaison desréponses en

x = X/2

^et

x = X

^{par lelogicielSICetlemodèle}

LBLR àune entrée créneau pour lebief Gignac2avec l'ouvrage équivalent

Discussion

Lapriseencomptedelaconditionàlalimiteavaldansletransfertdedébitaétérenduepossible

grâce àl'approche physique développée.Le modèle LBLRobtenu présenteplusieurs avantages :

Danslecasoùlebiefne présente qu'unouvrage àl'aval,lemodèle LBLRpermet d'améliorer

signicativement la reconstitution du débit dans le bief en utilisant directement les

caracté-ristiques de l'ouvrage. Dans lecas de plusieurs ouvrages répartis le longdu bief, la méthode

desvolumespermetd'établirunouvrageéquivalentcapabledereproduireleseetsdetousles

ouvrages.

LemodèleLBLRorelapossibilitéd'analyserindépendammentleseetsbackwater etfeedback

induitspar unouvragedonné,ce quipeutêtreutilelors delaphasede conceptiond'uncanal.

Le caractère physique du modèle permet une pré-détermination des paramètres à partir des

caractéristiquesphysiquesdubief,réduisantainsilesproblèmes d'identiabilité lorsdel'étape

d'identication du modèleintégré.

Cependant,laméthode soulève quelquesinterrogations:

Elle nécessite une connaissance relativement précise de la géométrie du bief et des

caracté-ristiques des ouvrages pour la détermination d'un bief et d'un ouvrage équivalents. Dans de

nombreux cas, ces données ne sont pas disponibles et nécessitent des campagnes de mesure

coûteuses. Apartir de quellesdonnées peut-on établirune géométrie équivalent?

Les résultats précédents ont été obtenus pour des géométries uniformes ou quasi-uniformes.

Commentdéterminerlagéométrieéquivalentedanslecasnonuniforme,commepourlaplupart

desrivières?

En résumé, laprise en compte de la condition à lalimite aval présente un fort intérêt lorsqu'il

est possible d'établir une géométrie équivalente et que les caractéristiques des ouvrages sont

connues, ce quiest lecasde laplupart descanaux dont lagéométrie est relativement uniforme.

Dans ce cas, le nombre de paramètres à identier lors de la procédure de calage s'en trouvera

réduit,puisquelesparamètresdumodèledetransfertpourrontêtrepré-déterminés.Laprocédure

de calage ne portera donc que sur les paramètres des modèles relatifs aux transferts latéraux,

réduisant ainsiles problèmes d'identiabilité.

En revanche, lorsqu'il devient dicile de trouver une géométrie équivalente, en général par

manque de données topographiques, les paramètres du modèle de transfert devront être calés

à partir des mesures de débit amont et aval. A moins de pouvoir isoler des événements sans

transferts latéraux, le calage du modèle de transfert débit-débit devra se faire en même temps

que celui des modèles des transferts latéraux. Dans ce cas, il vaut mieux caler les paramètres

τ ₀ (X)

^et

K ₀ (X)

^{plutôt que les} caractéristiques physiques plus nombreuses, ceci pour plusieurs raisons :

Plusieurs géométries peuvent correspondre à des mêmes valeurs de

τ ₀ (X)

^et

K ₀ (X)

^{, ce qui}

peutengendrer desproblèmes d'identiabilité.

Lorsque l'on modélise l'inuence de plusieurs ouvrages par un seul ouvrage équivalent, on

reportetousleseetsdesouvragessurlapartieavaldu bief.Ainsi,laqualité dumodèlen'est

plusgarantie lorsque l'on souhaitereconstituer les débits à l'interieurdu bief, ou lorsquel'on

intègreles débits latéraux répartis endiérents points dubief.

Sur des biefs longs contenant peu d'ouvrages, les eets de ces ouvrages sur la dynamique

peuvent êtrelimités, voire négligeables devant d'autres phénomènes commelors desépisodes

decrue oùles ouvragessont eacés.

En conclusion, nous avons fait le choix, pour la suite de nos travaux, de négliger la condition

à la limite aval en considérant le bief comme semi-inni. Cette hypothèse présente l'avantage

d'un nombre minimum de paramètres caractéristiques décrivant ladynamique de l'écoulement.

Nous verrons par lasuite que cesparamètres, au nombre detrois voire deux, susent à décrire

le transfert d'un débit amont ainsi que le transfert des débits latéraux. Par contre, même si

ces paramètres conservent une signication physique, il sera en général nécessaire de les caler

lors de l'étape d'identication. Le caractère physique de ces paramètres permet toutefois de

lors de l'étape d'identication. Le caractère physique de ces paramètres permet toutefois de

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