Cohérence physique entre pas de temps et pas d'espace

Nous avons déjà évoqué l'existence du nombre de Courant qui permet d'assurer une diusion

numérique minimum lors delarésolution numérique deséquations de Saint-Venant. Ce nombre

metenrelationlepasdetemps etlepasd'espaceutilisésdansladiscrétisationspatio-temporelle

du système.

L'approche développée ici, basée sur une modélisation simpliée du transfert en cours d'eau,

révèleunlienentrepasdetempsetpasd'espace,nonpasparrapportàl'algorithmederésolution

maisrelativement auphénomène physique de transfertde débit.

Fréquence de coupure, fréquence d'atténuation

Notre analyseestbaséesurdeuxobservations. Lapremière estquepourunsignal échantillonné

à un pas de temps

∆t

^{, il est impossible d'en connaître les} composantes dont la fréquence est supérieure à

1/∆t

^{(théorême de Shannon). La seconde} observation est qu'un bief se comporte commeunltrepasse-bas,quel'onaapprochéparune fonctiondetransfertdutypepremier

ordreplus retard.Laconstantedepremierordre

K ₀

^etleretard

τ ₀

^{dépendent deladistancesur}

laquellesepropageledébit.Cesfonctionssontcroissantes, cequisigniequeplusladistancede

propagation estgrande, plus l'atténuation et leretard sont importants. Le principe estalors de

relier les fréquencescaractéristiques dutransfert aupasde temps

∆t

^.

Ainsi, pour chaque distance de propagation

x

^{, on peut déterminer une fréquence de coupure}

f _c (x)

^{en-deçà de laquelle} l'atténuation est négligeable (inférieure à 3 dB), et une fréquence d'atténuation

f _a (x)

^{au-delà de laquelle on peut considérer que le signal n'est plus transmis}

(atténuationsupérieureà20dB). Cesdénitionssont illustréessurlagure3.30.Lesèchessur

legraphe montrent que lesfréquences

f _c

^et

f _a

^{augmentent quand}

x

^diminue.

Pour une fonction de transfert du type premier ordre avec retard de paramètres

τ

^et

K

^{, les}

fréquences de coupureetd'atténuation sont dénies par :

f _c = 1

2πK

^et

f _a = 10

2πK

^(3.73)

10 ⁻³ 10 ⁻² 10 ⁻¹ 10 ⁰

−40

−30

−20

−10 0

Diagramme de Bode

ω (rad/s)

Gain (dB)

|TF| _dB ω _a ω _c

x diminue

Figure3.30Illustrationdesfréquencesdecoupureetd'atténuation(diagrammedeBoded'une

fonction de transfertdu premier ordre)

Choix de

∆t

^et

∆x

^{par rapport aux} caractéristiques du bief

Engénéral,lepasdetemps

∆t

^{estxéparlesdonnées}disponibles.Pourunpasdetemps donné, on peut trouverune distance minimale

∆x _min

^{telle que}

f _c = 1/∆t

^{. Alors, pour}

x < ∆x _min

^{, le}

débitamontn'estpasatténué,etiln'estdoncpasnécessairedeprendreencomptelephénomène

d'atténuationsurunedistanceinférieureà

∆x _min

^{.Onpeutégalement trouver uneautredistance}

minimale telle que le temps de réponse 3

à 80 ou 90 %est inférieur au pas de temps. Le débit

avalestdanscecasquasimentidentiqueaudébitamontcomptetenudutempsécouléentredeux

mesures.

La gure3.31permetd'illustrerce phénomène avec unpasdetemps de 5min. Onsupposeque

la fonction de transfert représente exactement la dynamique, et que le débit amont subit une

variationentrelesdeuxpremiers pasdetemps de1 m

3

/s.Sur legraphedegauche,onconsidère

une fonction de transfert du premier ordresans retard, avec

K = 1

^{min et}

τ = 0

^{min.On peut}

voir quelephénomène d'atténuation esttrès peu visibledanscetexemple,puisqu'à l'instantoù

l'on observelavariation dudébitamont (à

t = 5

^{min),ledébit avalestquasiment égalaudébit}

amont.Cen'est pluslecaslorsquel'onconsidère enplusun retardde 2min(graphe dedroite).

La dynamiqueserait invisiblesilepas detemps valait 10 min.

0 5 10 15 20

Figure 3.31 Illustrationdulien entrelepasdetemps et lesparamètres

τ

^et

K

^delafonction

de transfert

Pourenreveniraulienentrelepasd'espaceetlepasdetemps,chercher

∆x _min

^{revientàchercher}

ladistance minimalesur laquelleletransfert estinvisible. Sil'on utilise commecritère letemps

de réponseà 90%, noté

T _R ⁽⁹⁰⁾ (x)

^,

∆x min

^{estdéni par:}

T _R ⁽⁹⁰⁾ (∆x _min ) = ∆t

^(3.74)

Or

T _R ⁽⁹⁰⁾

^{s'obtient par larelation (Munieret al.,2009) :}

T _R ⁽⁹⁰⁾ (x) = τ 0 (x) + 2.3K 0 (x)

^(3.75)

En utilisant lesrelations (3.40) et(3.75), ilvient :

∆x _min = X

La gure3.32présente, pourlecanaltype 4,laréponseà uneentréeéchelonpour diérentspas

de temps en

x = ∆x _min

^et

x = 2∆x _min

^{. Les graphes montrent bien que pour chaque pas de}

3. Le tempsde réponse à

α

^{%correspond autemps nécessaire pourque ledébit atteigne}

α

^{%desa valeur}

nale.L'approcheLBLRapermisd'enétabliruneformuleanalytique(Munieretal.,2009).

temps considéré,

q(∆x _min , ∆t) = 0.9

^m

³

^{/s,soit90%delavaleurnale.Ence point,letransfert}

peut être négligé et le débit peut être considéré comme égal au débit amont. En

x = 2∆x _min

^,

on observe une atténuation plusmarquée;on aalors intérêt à prendreen compte ladynamique

du transfert.

(le signaléchantillonné est représentépar les croix)

Sur lagure 3.33, on peutvoir l'évolution de

∆x _min

^{en fonction de}

∆t

^{pour les quatrecanaux}

types. D'après ce graphe, pour un pasde temps d'une heure, qui est le pas de temps que l'on

utilisera dansleschapitres 4et5,

∆x _min

^{peutatteindre plusieurs} kilomètres.

0 20 40 60

Figure3.33 Variation de

∆x _min

^{en fonction de}

∆t

^{pourles canaux types}

Discrétisation des transferts latéraux

Ces considérations permettent de proposer une décomposition du bief en fonction d'unpas de

temps donné. En eet, deux injections ponctuelles très rapprochées pourront être vues à l'aval

commeune seuleetmêmeinjection. La valeur de

∆x min

^{fournit ainsiun pasd'espaceminimum}

en-deçà duquel ladécompositionspatiale dusystème perdsonsens dupoint devue dela

dyna-mique dans lebief. Cette décomposition spatiale permetpar lasuite d'aborder la modélisation

destransfertslatéraux, commepar exempleles apportsdus auxpluies.

Enoutre,ilestpossibled'utiliserplusieursdécompositions enfonctiondudébitlatéralconsidéré.

Parexemple,silesapportsdus auxpluiessontcalculésaupasdetempshoraire,une

décomposi-tion spatiale découlerade cettevaleur de

∆t

^{.Si, enmême temps, onconsidère les} prélèvements

pour l'irrigationau pasde temps journalier,une autredécompositionpourraêtre appliquée.De

même si leséchanges avec lanappe sont évaluésau pasde temps hebdomadaire.

Notonstoutefois queles paramètresdumodèle(

τ ₀ (X)

^et

K ₀ (X)

^{)sonten généralcalés enmême}

temps quelemodèle intégré.S'ilestpossible d'avoir uneestimation a priori desparamètres

ca-ractéristiques, alors lecalculde

∆x _min

^permetunedécomposition spatialeà peu prèscohérente avec ladynamiquede l'écoulement danslebief.

Enrésumé :cohérence physique entrepasde temps etpasd'espace

Pour un pas de temps

∆t

^{donné, calcul d'un pas d'espace minimum}

∆x _min

^{lié au phénomène}

d'atténuation (ou autemps de réponse)

Q X

Q 1

x _min

Q 3

Q 2

X

ˆ

Q ₁

^,

Q ₂

^,

Q ₃

^{:débit latéraux ponctuels;}

Q _X

^{:débit observé}

ˆ Transfert de

Q ₁

^:atténuation non visible(

Q _X = Q ₁

⁾

ˆ Transfert de

Q ₂

^et

Q ₃

^:distinction nonvisible (

Q _X = T F (X, s)(Q ₂ + Q ₃ )

⁾

Dans le document Modélisation intégrée des écoulements pour la gestion en temps réel d un bassin versant anthropisé (Page 74-78)