Identication fréquentielle (Delta de Sacramento-San Joaquin)

Position du problème

Le Deltade Sacramento-San Joaquin en Californie est un réseau complexe de plus de 1150 km

de rivièresetcanaux fortement inuencéspar lamarée.Le biefconsidérédanscette application

concerne la rivière San Joaquin entre les stations nommées SJL et SJG sur la gure 4.2. Les

données disponibles sont issues des bases de l'USGS (U.S. Geological Survey). Il s'agit des

va-riations de débit et de hauteur d'eau aux stations amont et aval, respectivement SJL et SJG.

Les variations de hauteur d'eauà lastation intermédiaire BDTsont également disponibles. Les

données couvrent lapériode du16/11/2006 au 17/12/2006 à un pasde temps de 900 s (soit15

min). Lebief seraconsidéré commerectangulaire large.

Le problèmeconsisteàidentier unmodèlehydrauliquesurcebief. Lecontexteduforçagedela

marée apportedeux particularitésau problème:

les variables mesurées (débits et hauteurs d'eau) peuvent être caractérisées par des modes

fréquentiels dominants,

lesconditions auxlimitessontdonnéesparledébitamont

q ₀ (t)

^{etlahauteurd'eauaval}

y _X (t)

^.

Figure 4.2 Stationsdemesure surlarivièreSan Joaquin, DeltadeSacramento

Une modélisationpar une approche fréquentielle est particulièrement adaptéedu fait dela

pré-sencedemodesfréquentielsdominants.Lessignauxd'entréeetdesortiesontalorsconsidérésdans

l'espacefréquentiel,etreliésparunefonctionde transfertdéduite deséquationsdeSaint-Venant

transposées dansl'espace deLaplace. Cettedémarche permetdecomparer les signauxde sortie

simulés etmesurésdirectement dansledomaine fréquentiel,ce quiprésentedeuxavantages :on

évite la transposition entre les domaines temporel et fréquentiel, ce qui diminue fortement les

temps de calcul, etil n'est pas nécessaired'approcher lafonction de transfert (parexemple par

un premier ordre avec retard). Ces particularitéspermettent d'envisager une méthode

d'identi-cation fréquentielle,que nousprésentons ici.

Dansce problème, lesvariablesd'entréedu modèlesontledébitamont

q ₀ (t)

^{etlahauteurd'eau}

aval

y _X (t)

^{,etles variablesde sortiesont ledébitaval}

q _X (t)

^{etlahauteurd'eau amont}

y ₀ (t)

^.La

hauteur d'eauà lastationintermédiaire

y BDT (t)

^{sera utiliséeà desnsde} validation.

Modèle fréquentiel de Saint-Venant

La synthèse du modèle hydraulique reposesur lamême méthodologie que celle présentée dans

le chapitre 3, avec des conditions aux limites diérentes. Les équations de Saint-Venant sont

toutd'abord linéarisées autourd'unrégimederéférencea priori nonuniforme,puistransposées

dansledomainefréquentielparlatransforméedeLaplace.Lanonuniformitéseraapprochéepar

l'approximationdelacourbederemousdéveloppée danslapartie 3.2.Lerégimederéférenceest

alors déniparledébitdelinéarisation

Q

^{,lalargeur dubief}

B

^{,lapentedufond}

S _b

^,lecoecient

de Manning

n

^{etla hauteurd'eauaval}

Y _X

^.

On utilise lamatrice

Γ(x, s)

^{,dénie par l'équation (3.20) etreliant les débits ethauteurs d'eau}

en toutpoint dubiefau débit etàlahauteur d'eauà l'amont :

q(x, s) y(x, s)

!

= Γ(x, s) q ₀ (s) y ₀ (s)

!

(4.4)

Ondénit ensuitelamatrice Entrée/Sortie

G = (g _ij )

^{relative au problèmeposé:}

Pour unrégime de référenceuniforme,cette matrice estobtenue parsimple recombinaison:

g ₁₁ = γ ₁₁ − ^{γ 12} _{γ 22} ^{γ 21} g ₁₂ = ^γ _γ ¹²

Pour unrégimenon uniforme,l'approximationde lacourbe deremouspermetde scinderlebief

en deuxsous-biefs danslesquels le régime est considéré commeuniforme. On peutalors dénir

les matrices

Γ ⁽¹⁾

^et

Γ ⁽²⁾

^{relatives auxsous-biefsamont etaval}respectivement. Onen déduitles matrices

G ⁽¹⁾

^et

G ⁽²⁾

^{àpartirdesrelations (4.6).Lamatrice}

G

^{relativeaubiefentier estobtenue}

par :

Cettedémarchefournitunmodèlefréquentielàbasephysique adaptéauproblèmeparticulierde

la rivièreSan Joaquin. Notons que les expressions des

g _ij

^sont analytiques et ne font intervenir quelescinqparamètres

(Q, B, Sb, n, Y X )

^{relatifs aurégimederéférence.Danslasuite,unjeude}

paramètre donné sera noté

θ = (Q, B, Sb, n, Y _X )

^.

Uneversionadimensionnelledumodèleaégalementétéétudiée.Ellepermetderéduirelenombre

de paramètres à identier à quatre :

F ₀

^,

χ ₀

^,

κ ₀

^{(présentés en 3.2 avec le modèle LLR) et}

Y _X ^∗ = Y _X /Y _n

^{. Ce modèle fait aussi intervenir deux variables de référence xées par}

l'utilisa-teur : un débit de référence

Q _R

^{et une longueur de référence}

X _R

^{. L'annexe 4.4 présente les}

détails des calculs permettant d'écrire les matrices

Γ ⁽¹⁾

^et

Γ ⁽²⁾

^{à partir des quatre paramètres}

adimensionnelsetdesdeuxparamètres deréférence.Lesmatrices

G ⁽¹⁾

^et

G ⁽²⁾

^{sontalorsobtenues}

par les équations (4.7). Lesdeux modèles (modèle dimensionnel et modèle adimensionnel) sont

présentésici, demanière àillustrer laquestionde l'identiabilité etl'intérêt d'uneréduction du

nombre deparamètres.

Identication fréquentielle

Le problème de l'identication desparamètres revient donc à trouver

θ

^{qui minimise uncritère}

donné.Lessorties dumodèlesont ledébitavaletlahauteur d'eauamont.Lecritère retenu doit

donc faireétatdelaqualité desimulationde cesdeuxvariables.Pour desdonnéesEntrée/Sortie

sur l'intervalle de temps

[0; τ ]

^{,lecritère estdéni par lafonction coûtsuivante:}

J (θ) =

où

w _Q

^et

w _Y

^{sont descoecients de} pondération permettant de donnerplus de poids audébit ou à lahauteur d'eaurespectivement,

q ˆ _X (t | θ)

^et

y ˆ ₀ (t | θ)

représentent le débitavalet la hauteur d'eau amont simulés avec lejeu de paramètre

θ

^,

Q _norm

^et

Y _norm

^{descoecients permettant de}

normaliser les écartssurlesdébits etles hauteurs d'eau.

Ce critère est ensuite transposé dans le domaine fréquentiel en utilisant les propriétés

fréquen-tielles dessignaux Entrée/Sortie. Onsupposera en outre que les signauxpeuvent être

correcte-ment reproduits à partir d'un nombre ni de modes fréquentiels

(ω _k ) _k=1..N

^{, et que ces modes}

sont les mêmes pour tous les signaux. Par une transformée de Fourier classique, on peut écrire

ladécomposition fréquentiellede cessignaux commesuit(pour les

N

^{modesdominants) :}

q ₀ (t) ≈

Le modèle deSaint-Venant dénipar l'équation (4.5) permetalors d'écrire :

α _k = a ⁽⁰⁾ _k g ₁₁ (X, jω) + b ^(X) _k g ₁₂ (X, jω) α _k = a ⁽⁰⁾ _k g ₁₁ (X, jω) + b ^(X) _k g ₁₂ (X, jω) β _k = a ⁽⁰⁾ _k g 21 (X, jω) + b ^(X) _k g 22 (X, jω) β _k = a ⁽⁰⁾ _k g 21 (X, jω) + b ^(X) _k g 22 (X, jω)

(4.11)

Remarque : Il està noterque

g _ij (X, − jω) = g _ij (X, jω)

^.

Sionchoisitpour

τ

^{unmultipledelaplusgrandepériodeconsidérée(}

τ = ^2πp _ω

1

L'écritureducritèresouslaformefréquentielle permetderéduireconsidérablement lestempsde

calcullors de laphased'identication.

Application

La méthode d'identication est à présent appliquée au casde larivière San Joaquin surle bief

considéré. L'application, présentée par Munieret al. (2007), sedécomposeen quatre points :la

décompositionfréquentielle desentrées etsorties,l'identication desparamètres,uneanalysede

sensibilitéet lavalidation.

Décompositionfréquentielle

La décomposition en série de Fourier a été appliquée aux signaux d'entrée

q ₀

^et

y _X

^{et aux}

signauxdesortie

q _X

^et

y ₀

^{.Unepuissancedecoupurede0.02dB/Hzapermisdesortir27modes}

prédominants. Les spectres complets et réduits aux modes prédominants sont présentés sur la

gure 4.3. On peutreleversur ces graphes les fréquences desdeux premiers modes(1.157 10

−5

Hz et2.24010

−5

) correspondant àdespériodesde24het12.4h.Cesdeuxmodestraduisentles

inuences desmaréessolaire etlunairerespectivement.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 4.3 Décomposition fréquentielle desdonnées

La gure 4.4 présente les signaux recomposés à partir des modes prédominants, comparés aux

signauxréels.Cederniergraphemontreque27modespermettentdereprésenterlecomportement

des hauteurs d'eau amont et avalde manière satisfaisante. Quant aux débits, le comportement

global est bienreprésenté par les modesdominants, mais ces derniers ne susent pas à décrire

les petites oscillationsque l'on peut observer auniveau des crêtes. Lesrésultats étant toutefois

assez satisfaisant,lenombre de27 modessera conservé pour lasuite.

Identication

Pour lecalculdu critère

J ˆ

^{,les coecientsde} normalisation sont dénis par :

Q _norm = 1

Les coecients de pondération

w _Q

^et

w _Y

^{ont étéxés à 0.5dans un premier temps. Les}

con-gurations

w _Q = 1

^et

w _Y = 0

^,puis

w _Q = 0

^et

w _Y = 1

^{ont également été testées an d'observer}

l'importance d'utiliser les deux données (

q X

^et

y 0

^{) pour le calage. Le tableau 4.1 rassemble}

les résultats d'identication pour le modèle dimensionnel. Les trois cas étudiés présentent des

valeurs de paramètres très diérentes. Les paramètres de la première conguration (

w _Q = 0.5

et

w Y = 0.5

^{) pourraient toutefois} correspondre à des valeurs réalistes. Quant au critère, il est logiquement plusélevé pour lapremière conguration puisqueles contraintes sont doubles.

Lesgures4.5à4.7présententlesrésultatstemporelsobtenuspartransforméedeFourierinverse,

pour les trois cas étudiés. On peut voir sur ces graphes que lorsque l'on xe

w _Y

^{à 0, le débit}

15 16 17 18 19 20

Figure 4.4Comparaisondesdonnéesréellesetrecomposéesà partirdes27modesprincipaux

w _Q w _Y Q

^(m

³

^/s)

B

^(m)

S _b n

^(sm

^{− 1/3}

⁾

Y _X

^(m)

J ˆ

0.5 0.5 19.20 40.44 0.000143 0.0299 3.32 4.26

1 0 306.38 30.88 0.000273 0.0057 6.61 1.26

0 1 63.83 122.64 0.000709 0.6083 15.66 3.22

TABLEAU4.1Résultatsd'identicationpourdiérentesvaleursdescoecientsdepondération

w _Q

^et

w _Y

avalsimulé n'est que très légèrement amélioré, alors que la hauteur d'eau amont est fortement

dégradée. Demême, lorsque

w _Q

^{estxé à 0,} l'amélioration sur lahauteur d'eau amont esttrès peu visiblepour une dégradationimportante surledébitaval.

Pourlemodèleadimensionnel,lesrésultatsd'identicationpourlecas

w _Q = 0.5

^et

w _Y = 0.5

^sont

présentésdansletableau 4.2.Ces valeurs,obtenuesavec undébitde référence

Q _R = 20

^m

³

^/set

une longueur de référence

X _R = 16000

^m, correspondent aux caractéristiques adimensionnelles relativesauxparamètres dimensionnels calés(première lignedu tableau4.1). Toutefoisquelques

pointssontàpréciserquant àlaprocédured'identication. Danslecasdumodèledimensionnel,

15 16 17 18 19 20

l'identication était très sensible au point initial dans l'espace des paramètres et convergeait

souvent vers desminima locaux. Il adonc falluquadriller l'espace desparamètres pour trouver

un point proche du minimum global. Ce point a alors servi de point initial pour la procédure

d'identication.Dans lecasdu modèleadimensionnel, l'identication aconvergé beaucoup plus

rapidementversleminimumglobal,etcequelquesoitlepointinitialchoisi.Ceciestuneparfaite

illustration du problème d'identiabilité. L'étude de sensibilité qui suit permettra de visualiser

ce problème.

Sensibilité

Nous regardons ici la sensibilité du modèle aux diérents paramètres. Une façon de l'aborder

estde tracer l'évolutionducritèreauxenvironsdu point obtenupar identication.La gure4.8

représente,pour chaqueparamètre,lavariationducritère

J ˆ

^{pourune variationde±10 %,tout}

autre paramètre étant xé par ailleurs. Ces graphes semblent montrer que lejeu de paramètres

obtenu par identication correspond bien à un minimum. On peut également déduire de ces

courbesquelesparamètres

S _b

^et

Y _X

^{sont plus sensibles,et donc plus facileàcaler.}

Nous avons également tracé sur la gure 4.9 l'évolution du critère pour une variation de deux

paramètres simultanément (variance d'ordre 2). Dans la plupart des cas, la variance d'ordre 2

sutàévaluerlavariancedelasortied'unmodèle(Henderson-Sellersetal.,1993;LiangetGuo,

2003). Chaque couple de paramètres est traité en considérant les autres paramètres constants.

Sur ces gures, les isolignes extérieures représentent une augmentation de 1 % du critère. On

peutdistinguerdeuxtypesdegraphes.Lespremiers,telsquepourlecouple

(Q ₀ , B)

^parexemple,

montrent clairement que le point d'identication (représenté par une croix), correspond bien à

w Q w Y F 0 χ 0 κ 0 Y _X ^∗ J ˆ

0.5 0.5 0.13 1.97 2.26 2.88 4.26

TABLEAU 4.2 Résultats d'identication pour le modèle adimensionnel avec

w _Q = 0.5

^et

w _Y = 0.5

Figure 4.8 Sensibilité autourdu point d'identication

unminimumdansl'espacerestreintàdeuxparamètres.Parcontreonpeutvoirquepourcertains

couples comme

(Q ₀ , S _b )

^{, il peut exister un axe selon lequel le critère est quasiment à sa valeur}

minimale. Ainsi, le modèle peut être très sensible à une variation d'un paramètre seul (par

exemple

S _b

^{),maistrèspeusensibleàune variationsimultanée dedeuxparamètres(parexemple}

Q ₀

^et

S _b

^).

Dans le casdu modèle de transfert développé pour cette application, il estpossible d'améliorer

l'identiabilité en réduisant le nombre de paramètres nécessaires pour décrire la dynamiquede

l'écoulement.Pour ce faire,nous utilisonslemodèle adimensionnel développé etcalé

précédem-ment.La gure4.10 présentela sensibilitédu critère autourdu point d'identication pour une

variation simultanée de deux paramètres. Le résultat montre clairement que l'identiabilité est

améliorée avec le modèle adimensionnel. Toutefois, on peut encore observer un axe particulier

pour le couple

(χ, Y _X ^∗ )

^{, ce qui montre qu'un lien existe entre ces deux} paramètres. Ceci peut s'expliquer par le fait que leparamètre

χ

^{représente la dénivelée totale sur lalongueur du bief}

rapportée àlahauteur d'eaudanslebief, elle-même liée àlahauteur d'eauàl'aval.D'après ces

résultats graphiques, on peut écrire que le critère ne varie quasiment pas si

χ

^et

Y _X ^∗

^vérient

l'équation :

Y _X ^∗ = 0.907 + χ

^(4.14)

Nousavonsintégrécetteéquationdanslemodèleadimensionnel,cequipermetderéduireencore

lenombredeparamètresàidentieràtrois.L'identicationdecenouveaumodèle,appelémodèle

adimensionnelréduit,conduitaumêmejeudeparamètresqueprécédemment.Unenouvelleétude

desensibilité(gure4.11)semblemontrerquelenombredeparamètresaétéréduitaumaximum.

Le modèle adimensionnel réduitest alors parfaitement identiable.

Ce casd'étude a permis d'illustrerl'intérêt de l'étude desensibilité pour analyser lapertinence

duchoixdesparamètres.Nousavonségalementpuvoiràtraverscetteapplicationqueminimiser

lenombredeparamètres dumodèle permettait deréduire lesproblèmes d'identiabilité.

B

Q 0

S b

Q 0

n

Q 0

Y X

Q 0

S _b

B

n

B

Y _X

B

n

S b

Y _X

S b

Y _X

n

Figure 4.9 Sensibilité autourdu point d'identication

χ

F

κ

F

Y _X ^*

F

κ

χ

Y _X ^*

χ

Y _X ^*

κ

Figure 4.10 Sensibilité autourdu point d'identication avec lemodèleadimensionnel

χ

F

κ

F

κ

χ

Figure 4.11 Sensibilité autourdu point d'identication avec lemodèleadimensionnel réduit

Validation

Etant donné quelapérioded'étude estrelativement courte,ilestpeujudicieux delascinderen

deux an de procéder à une validation du modèle sur une période diérente que pour

l'identi-cation. En revanche, nous disposons d'une donnée supplémentaire qui est lahauteur d'eau en

un point intermédiaire nommé BDT (voir gure 4.2). Le modèle développé ici donne en sortie

ledébit avaletlahauteur d'eauamont.Maispuisqu'il estbasésurleséquations delaphysique,

il est toutà fait possible d'obtenir, par une méthode similaire, le débit ou la hauteur d'eau en

toutpointdubiefàpartirdesentrées,àsavoir

q ₀

^et

y _X

^{.Toutefoisdansun soucideconcision,le}

détail du calculn'est pas présenté ici,seul lerésultat est présentésurla gure 4.12. Onpeuty

voir que, malgré unelégère sous-estimation desvaleursde pointe, lemodèle reproduit très bien

les variations delahauteur d'eauà ce point intermédiaire.

15 16 17 18 19 20

−0.5 0 0.5

temps (jours)

hauteur (m)

Validation : y BDT

réel simulé

Figure 4.12 Validation aupoint intermédiaire (avec

w _Q = 1

^et

w _Y = 1

⁾

Conclusion

Cetteapplication a toutd'abord permis d'établirune méthoded'identication fréquentielle

e-cace. Cetteméthode, renduepossible par la présencede modesfréquentiels dominantsdus aux

phénomènes demarée, présente plusieurs avantages :

elle évite les passages entre domaine fréquentiel et domaine temporel introduisant des

algo-rithmesnumériquesde calcul;

entemporel,lecalculducritèresefaitsurtoutelasériededonnées,alorsqu'iciilestréduitaux

27valeurscorrespondant auxmodesdominants, cequi permetde diminuerconsidérablement

lestemps de calcul;

il n'est pas nécessaired'approcher la fonction de transfert par une fonction de transfert

sim-pliée (parexemple dutype premier ordreavec retard).

Nousavonségalement puaborder,à traverscette application,lesproblèmes d'identiabilité dus

à une sur-paramétrisation du modèle. Ces problèmes ont été mis en évidence par une étude

de sensibilité portant sur l'inuence de variations simultanées de deux paramètres (variance

d'ordre2).Lasynthèsed'unmodèleadimensionneléquivalentapermisdediminuerlenombrede

paramètres à identier, réduisant ainsiles problèmes d'identiabilité. Les résultatsde l'analyse

de sensibilité ont enn permis d'aboutir à une version minimale du modèle, décrit par trois

paramètres uniquement (

F

^,

χ

^et

κ

^).

Dans le document Modélisation intégrée des écoulements pour la gestion en temps réel d un bassin versant anthropisé (Page 96-106)