CHAPITRE III MÉTHODOLOGIE
3.6 Instrument de collecte de données pour l’Objectif 2
Afin de répondre au deuxième sous-objectif, qui est de mettre à l’épreuve la grille d’analyse construite à partir du chapitre II et présentée dans la section 3.7 de ce mémoire, et ainsi répondre à notre deuxième objectif, qui est de documenter l’apport effectif des exposés types, nous avons choisi d’analyser la prestation que Sam a présentée lors de la séance de cours portant sur la situation du Flocon de Von Koch.
Dans cette section, nous décrivons la situation et proposons une analyse a priori, nous précisons également la façon dont s’est déroulée la séance de cours portant sur cette situation et nous présentons finalement la grille d’analyse.
3.6.1 Présentation de la situation : le Flocon de Von Koch
Lors de cette séance de cours particulière, les étudiants participants avaient à travailler pour construire un exposé oral portant sur la situation du Flocon de Von Koch (voir annexe E) qui est une fractale.
Comme présenté dans la figure 3.3, il s’agit d’un triangle équilatéral au départ, à partir duquel un nouveau triangle équilatéral est construit sur chacun des côtés. Pour obtenir la troisième figure, il faut procéder de la
même façon, en construisant un nouveau triangle équilatéral sur chacun des côtés de la deuxième figure. Il est demandé aux étudiants de déterminer la formule permettant d’obtenir le périmètre de n’importe quelle figure de cette suite en fonction de la mesure du côté de départ. Ainsi, la suite est illustrée en mots, donc dans le registre verbal, et par la schématisation des trois premières figures de la suite, donc dans le registre schéma. Précisons que les figures sont essentielles pour comprendre la description de la situation en mots. La question amène les étudiants à déterminer une formule, ils doivent donc arriver à une représentation dans le registre formel du périmètre de n’importe quelle figure de la suite selon la mesure du côté de départ.
Plusieurs formules, représentations dans le registre formel, peuvent répondre à la situation. En voici quelques exemples.
Figure 3.3 Schéma des trois premières figures de la suite du Flocon de Von Koch
100 &é()*è,(- = .4
31 *
× 2é()*è,(- 45 ∆
!"!#!$%
Cette première formule possible provient d’un raisonnement sur le périmètre total de la figure initiale. Puisque chacun des côtés d’une figure est !
) de la longueur des côtés de la figure précédente, le périmètre est !
) fois le périmètre de la figure précédente.
&é()*è,(- = 3 × *-75(- 4+58 9ô,é 45 ∆ )8),)#; × <.2 31 × 2>
*
Pour arriver à cette deuxième formule possible, il faut s’appuyer sur le fait que chacun des côtés de la figure initiale est séparé en trois et que seuls deux de ces trois sections sont conservées au final. Ainsi, nous prenons en fait () de la longueur de chacun des trois côtés du triangle initial. En créant un nouveau triangle équilatéral dont nous effaçons un des trois côtés, nous doublons cette longueur.
&é()*è,(- = 4*× 3 ×,-./0- 2!/* 3ô5é 2/ ∆ 8*8589:
)" où n représente le nombre d’itération(s).
Cette troisième formule possible est celle à laquelle Sam arrive à la fin de son exposé. Nous avons donc fait l’exercice de ressortir les sept raisonnements à la base de cette formule. L’exposé oral s’adressant à des élèves de 2e et 3e secondaire, nous nous attendons à ce que ces raisonnements soient explicités.
Raisonnement 1 : Dans un triangle équilatéral, tous les côtés sont isométriques. Raisonnement 2 : La fractale est construite en partant d’un triangle équilatéral.
Chaque côté de ce triangle est séparé en trois parties isométriques. La partie du milieu devient un côté d’un triangle équilatéral construit à
l’extérieur de la figure. Finalement, la partie du milieu est effacée pour ne garder que le contour de la figure obtenue.
Raisonnement 3 : Le périmètre d’une figure est la somme de la mesure de tous
les côtés de cette figure.
Raisonnement 4 : Puisque tous les côtés de la figure sont isométriques, il suffit
de connaître le nombre de côtés et la mesure d’un seul côté pour obtenir le périmètre de cette figure en multipliant ces deux valeurs.
Raisonnement 5 : Le nombre de côtés d’une figure de la suite du Flocon de Von
Koch dépend de la figure précédente : il y a toujours quatre fois plus de côtés que dans la figure précédente.
Raisonnement 6 : La mesure du côté d’une figure de la suite du Flocon de Von
Koch dépend de la figure précédente : la longueur du côté est trois fois plus petite que la longueur du côté précédent (par construction de la fractale).
Raisonnement 7 : Multiplier 8 fois par un même nombre # revient à multiplier par une puissance dont la base est ce nombre # et l’exposant est le nombre de fois 8 que ce nombre apparaît.
3.6.2 Description du déroulement de la séance du Flocon de Von Koch
La séance s’est déroulée en plusieurs phases. D’abord, la chercheuse a affiché au tableau l’énoncé et le schéma qui l’accompagne afin de présenter la situation sur laquelle les étudiants devront travailler. Chacun des étudiants a aussi reçu l’énoncé de la situation (voir annexe E) en version papier, laissant ainsi la possibilité de travailler directement sur les schémas imprimés. Les consignes verbales ont servi à expliquer la tâche à accomplir : construire un exposé oral répondant à la situation du Flocon de Von Koch s’adressant à des élèves de 2e et 3e année du secondaire. Aucune autre consigne n’a été donnée et aucune discussion autour des raisonnements à mobiliser n’a été menée avec les étudiants. Ensuite, les étudiants ont travaillé seuls, puis en équipes de deux à cinq personnes pendant les 20 premières minutes afin de résoudre la tâche et préparer
102 une présentation de leur exposé. Trois étudiants volontaires ont ensuite présenté l’exposé qu’ils avaient préparé, chacune de ces présentations a duré de 7 à 10 minutes. Une discussion de groupe a pris place après chacune des prestations. Ces discussions ont permis aux étudiants de soulever des éléments intéressants ou à améliorer à la suite de chacune des prestations. Ainsi, les deux dernières prestations ont été alimentées par les commentaires émis par le groupe. Dans l’ensemble de la séance, la chercheuse avait pour rôle d’observer, elle a donc tenté autant que possible de ne pas influencer la préparation des étudiants durant le travail d’équipe et de relancer les questions qui lui étaient posées au reste du groupe.
Cette séance de cours a été enregistrée de façon audio et vidéo à l’aide de deux caméras, l’une sur trépied à l’arrière de la classe et l’autre était tenue par la chercheuse afin de pouvoir observer les productions personnelles (sur papier) des étudiants et enregistrer leurs raisonnements en construction durant la phase de travail en équipe ainsi que pour avoir une meilleure vision de ce qui était écrit au tableau pendant les présentations de chacun des étudiants.
Pour répondre à notre deuxième objectif, concernant l’apport effectif des exposés types, nous avons choisi d’analyser la première prestation, celle de Sam. Il s’agit de la toute première présentation d’un exposé après l’expérience des exposés types du cours MAT2024 vécue par les étudiants quatre mois auparavant. Cela implique une plus grande spontanéité puisqu’aucun commentaire n’a été donné par les autres étudiants ou la chercheuse avant cette prestation. L’analyse de la prestation de Sam permet ainsi d’avoir accès aux possibles retombées des exposés types sur la formation pratique de cet étudiant.