Glissement double

En réalité, les cristaux peuvent se déformer par cisaillement sur plusieurs plans cristallogra-phiques. Pour illustrer cela, nous restons en 2D et nous supposons que le cristal peut cisailler selon deux directionsθ1etθ2. Ceci est illustré sur la figure 9.10.

Figure 9.10. Schématisation 2D du glissement double

Études de cas 133

1) Écrire les cissionsτ1 et τ2 appliquées à chaque système de glissement, en fonction de la contrainte appliquéeσet des anglesθ₁etθ₂.

2) L’écart entre les deux directions de glissement est supposé indépendante de l’orientation du cristal par rapport à la sollicitation. Est-ce justifié ?

3) Tracer l’évolution des cissions en fonction deθ₁, en supposantθ₂−θ₁<90^◦. En déduire une méthode pour déterminer le plan et la direction de glissement dans un cristal sollicité mécanique-ment.

4) Tracer l’évolution de la limite d’élasticité du cristal en fonction deθ1. Commenter.

T

ROISIÈME PARTIE

LES ÉLECTRONS DANS UN SOLIDE

135

Chapitre 10

Modèle de Drude

Parmi l’ensemble des propriétés physiques et mécaniques des matériaux solides, la conductivité thermique et électrique des métaux a été très largement étudiée. Le point de départ de ces étude a été la découverte de la notion d’électron par J.J. Thomson en 1897. En effet, trois ans plus tard, P.

Drude développait une théorie de la conduction dans les métaux. Cette théorie aura un succès très important. Elle est encore utilisée aujourd’hui lorsque l’on veut obtenir rapidement des ordres de grandeurs, avant de passer à des modèles plus sophistiqués prenant en compte les effets quantiques dans les solides.

Dans ce chapitre, nous décrivons le modèle de P. Drude. Le succès de ce modèle est directement lié à sa simplicité. Dans un premier temps, nous examinerons ses hypothèses de base et les premiers résultats qui en découlent, à savoir les propriétés de conduction des métaux. Ensuite, nous exami-nerons plus en détails certaines autres propriétés expliquées par ce modèle. Ce sont en particulier celles traitant de l’interaction entre le gaz d’électrons et un rayonnement électromagnétique.

10.1. Description du modèle 10.1.1. Le gaz d’électrons

La figure 10.1 donne un schéma de description des métaux par le modèle de Drude. Selon ce schéma, chaque atome, de numéro atomiqueZ, c’est-à-dire avecZ électrons etZ protons, mettra un certain nombre de ses électrons, notéZc, à la disposition d’un gaz dit gaz d’électrons. Dans la figure 10.1,eest la charge du proton, opposée à celle de l’électron, soit environ1,6.10⁻¹⁹C.

Dans le modèle de Drude, un métal est donc formé d’un réseau d’ions et d’un gaz d’électrons.

Les électrons mis à la disposition du gaz par chaque atome sont au nombre deZ_c. Ce sont ceux situés sur les couches électroniques externes. Ils sont appelés électrons de conduction.

Par exemple, pour le sodiumN a, un seul électron est mis en commun (Zc = 1). La structure électronique deN aétant1s²2s²2p⁶3s, seul l’électron de la couche3ssera mis en commun. Les ionsN a⁺ainsi formés auront la structure électronique1s²2s²2p⁶du NéonN eavec deux couches

137

Figure 10.1. Description schématique du modèle de Drude

complètes. De la même façon, l’aluminiumAlmettra en commun trois électrons par atome, ceux de la coucheM. La structure électronique des ionsAl³⁺ainsi formés sera donc aussi celle du néon N e.

On peut facilement estimer le nombre d’électrons de conduction par unité de volume de métal.

En effet, une mole de matériau contient6,022.10²³atomes (nombre d’Avogadro). Ainsi, siρest sa densité etAsa masse atomique, alors le nombrend’électrons de conduction par unité de volume du matériau est :

n= 6,022.10²³.Zcρ A

On obtient par exemple à température ambiante2,65.10²²électrons de conduction par centimètre cube dans le sodium (avec une valence de1), et18,1.10²²dans l’aluminium (avec une valence de 3).

Dans le modèle de Drude, l’interaction d’un électron de conduction avec les autres électrons et avec les ions est négligée. Ainsi, en l’absence de champ externe, l’électron se déplace uniformément sur une ligne droite. Lors de l’application d’un champ extérieur, le mouvement de l’électron est obtenu en appliquant les lois classiques de la mécanique, en négligeant les champs additionnels produits par les autres électrons et les ions.

En fait, l’interaction de chacun des électrons de conduction avec les ions est schématisée par un potentiel attractif constant dans le métal, de sorte que les électrons sont piégés dans une boîte de potentiel (figure 10.2 et chapitre 2.2). Plus le potentiel servant à schématiser cette interaction sera grand (en valeur absolue), plus la probabilité de présence d’un électron à l’extérieur du métal sera faible. Dans ce modèle, on considère que le potentiel est suffisamment important pour que les électrons restent confinés dans le matériau. Les surfaces du métal constituent donc des parois rigides d’une boîte à intérieur de laquelle évoluent les électrons. Le fait de négliger les interactions électron-électron revient à se placer dans l’approximation des électron-électrons indépendants. Le fait de négliger les interactions électron-ion correspond à l’approximation des électrons libres.

Modèle de Drude 139

Figure 10.2. Description du matériau comme une boîte dans laquelle le gaz d’électrons évolue, d’après [QUÉ 88]

10.1.2. Les collisions

L’application directe des lois classiques de la mécanique à l’électron dans une boîte peut conduire à des résultats aberrants. En effet, si on considère par exemple l’application d’un champ électrique−→ E constant dans le temps, alors chaque électron est soumis à une force électrostatique−e−→

E, où−eest la charge (négative) de l’électron. Les lois de la mécanique conduisent à une accélération constante des électrons dans le sens opposé à ce champ, et donc à une vitesse croissant linéairement dans ce sens pour atteindre une valeur infinie. Ce simple raisonnement nous montre qu’il est nécessaire d’introduire dans le modèle de Drude une force de freinage des électrons. Cette force est schématisée par des collisions au sein du matériau.

Comme dans une théorie cinétique classique, des collisions sont donc considérées à l’intérieur de la boîte. Ce sont des événements instantanés qui modifient brutalement la vitesse des électrons. Ces collisions ont une probabilité de1/τ par unité de temps. Le termeτest appelé temps de relaxation.

Il joue un rôle fondamental dans la théorie de la conduction des métaux. Ce temps signifie qu’un électron sélectionné de façon aléatoire à un instant donné, d’une part voyagera en moyenne pendant un tempsτ avant d’avoir une collision, et d’autre part a en moyenne déjà voyagé pendant un temps τdepuis sa dernière collision.

Figure 10.3. Schématisation naïve des collisions dans le modèle de Drude, d’après [ASH 76]

Dans le modèle de Drude, le temps de relaxation est indépendant de la position et de la vitesse de l’électron. Une schématisation simpliste conduirait à imaginer que les collisions sont des chocs entre les électrons et les ions de la structure (figure 10.3), ce qui conduirait à un temps de relaxation τde l’ordre de grandeur du temps de déplacement d’un électron entre deux ions. Il faut à tout prix

éviter ce genre d’image. En effet, elle conduit à une estimation erronée de ce temps de relaxation.

Nous verrons dans le paragraphe suivant que des mesures de conductivité électrique peuvent donner une estimation deτ(de l’ordre de dix femto-secondes). Nous verrons dans le chapitre suivant que la vitesse des électrons dans le gaz peut atteindre environv = 10⁶m/sà température ambiante. Ceci conduit à un libre parcours moyen des électronsl=vτ de l’ordre de100, qui n’est pas comparable avec la distance entre des ions dans un métal, elle-même plutôt de l’ordre de1. Il faut donc utiliser les collisions dans le modèle de Drude simplement comme un moyen de schématiser, par une force de freinage, le ralentissement des électrons de conduction.

Dans le modèle de Drude, les collisions sont également supposées être le seul mécanisme à participer à l’équilibre thermique du matériau. Après chaque collision, l’électron repart dans une direction aléatoire, indépendante de sa direction de déplacement avant la collision, et avec une vitesse correspondant à la température locale du matériau. Ainsi, plus la zone du matériau est chaude, plus l’électron repartira avec une vitesse importante de la collision.

10.2. Quelques propriétés physiques 10.2.1. Conductivité électrique

La loi d’Ohm stipule que l’application d’un champ électrique−→

E dans un matériau produit au même endroit une densité de courant−→

J proportionnelle à ce champ. La densité de courant−→ J est un vecteur parallèle au flot d’électrons, dont l’amplitude est la quantité de charge traversant par unité de temps une surface unité perpendiculaire à ce flot. D’une façon générale, la loi d’Ohm s’écrit donc sous la forme−→

J = σ.−→

E, oùσest le tenseur des conductivités du matériau. En pratique, la densité de courant est souvent produite dans la direction du champ, et son amplitude est souvent supposée ne pas dépendre de la direction d’application de ce champ. Dans ce cas, le tenseur des conductivités s’écritσ=σI, oùIest le tenseur identité et oùσest appelée la conductivité électrique du matériau. La loi d’Ohm s’écrit alors, en introduisant la résistivitéρdu matériau comme l’inverse de sa conductivité :

Considérons maintenant nélectrons se déplaçant dans le matériau à une vitesse−→v. Alors, la densité de courant ainsi créée sera parallèle à cette vitesse. Par unité de temps,n−→v électrons traver-seront une surface unité perpendiculaire à−→v. Enfin, chaque électron portant une charge−enégative, la densité de courant produite sera−→

J =−ne−→v.

En chaque point du matériau, les électrons se déplacent dans des directions différentes, avec des vitesses différentes correspondant à leur énergie thermique. La densité de courant dans le matériau sera donc obtenue en utilisant la vitesse moyenne de ces électrons en ce point. En l’absence de champ extérieur appliqué, cette vitesse moyenne sera nulle et aucune densité de courant n’est créée. Si un champ électrique−→

E est appliqué, chaque électron est soumis à une force additionnelle−→

F =−e−→ E. En écrivant simplement que cette force peut s’exprimer sous la forme−→

F =m−→γ, oùmest la masse de l’électron et−→γ son accélération, on en déduit que, à un instanttsuivant sa dernière collision, la

Modèle de Drude 141

vitesse de l’électron sera−→v =−(et/m)−→

E. La vitesse moyenne des électrons dans le matériau ne sera alors plus nulle, mais donnée sous la forme−→v =−(eτ /m)−→

E, oùτest le temps de relaxation.

On en déduit que la relation entre la densité de courant et le champ appliqué s’écrit sous la forme :

−

Tableau 10.1. Résistivitéρ(enµΩ.cm) et temps de relaxation (en10⁻¹⁵s) de différents métaux à deux températures, d’après [ASH 76]

L’équation 10.1 donne la conductivité électrique d’un métal en fonction de sa densité en élec-trons de conductionn, du temps de relaxationτet des caractéristiques de l’électron (charge−eet massem). En fait, cette expression permet, en mesurant expérimentalement la conductivitéσou la resistivitéρd’un métal, d’estimer le temps de relaxationτ.

Le tableau 10.1 donne une estimation de ce temps de relaxation, à partir de mesures de résistivi-tés, pour différents métaux et à deux températures. On remarque une forte variation de la résistivité avec la température. Ensuite, on remarque que le temps de relaxationτest de l’ordre de la femto-seconde, soit10⁻¹⁵sà10⁻¹⁴s.

10.2.2. Conductivité thermique

La loi de Fourier stipule qu’un gradient de température−−→

grad(T)dans un matériau provoque localement une densité de flux de chaleur proportionnelle−→ϕ =−λ.−−→

grad(T). Le tenseurλest celui de la conductivité thermique du matériau.

Comme dans le cas de la loi d’Ohm, on fait souvent l’hypothèse en thermique, sur des matériaux homogènes, que la densité de flux thermique−→ϕ est dans la même direction que le gradient de tem-pérature, et ceci quelle que soit cette direction. Alors, le tenseurλdevientλI, oùI est le tenseur identité, et oùλest un paramètre positif appelé conductivité thermique du matériau. La loi de Fourier s’écrit alors :

−

→ϕ =−λ−−→

grad(T)

Dans le modèle de Drude, on fait l’hypothèse que les électrons sont également les éléments caloporteurs du matériau. Pour obtenir une première estimation de la conductivité thermique, consi-dérons un transfert de chaleur dans une direction. En chaque pointx, la moitié des électrons arrivent du côté chaud, l’autre moitié du côté froid. SoitE(T)l’énergie d’un électron à la températureT.

Cette température a été obtenue lors de la dernière collision. Les électrons arrivant àxdu côté chaud auront eu en moyenne leur dernière collision àx−vxτ, oùv_xest leur vitesse moyenne etτle temps de relaxation. Ils auront une énergieE(T(x−v_xτ)), et leur contribution à la densité de flux ther-mique seran/2(leur densité) foisv_x(leur vitesse) fois leur énergie, soit(n/2)v_xE(T(x−v_xτ)).

De façon similaire, les électrons arrivant du côté froid, avec une vitesse moyenne−v_x, auront une contribution de(n/2)(−v_x)E(T(x+v_xτ)). En sommant ces deux contributions, et en faisant l’hy-pothèse que la variation de température est très faible sur la distancev_xτ, on obtient la densité de flux thermique suivante dans la directionx:

ϕx=nv_x

2 [E(T(x−vxτ))− E(T(x+vxτ))]≈ −nv²_xτdE dT

dT dx

Le passage en dimension3nécessite de calculer la vitesse quadratique moyennev²des électrons dans les trois directions. Dans l’hypothèse d’une répartition identique de la vitesse dans les trois directions, on a< v_x²>=< v_y²>=< v_z²>= ¹₃v². De plus, le termendE/dTreprésente la capacité calorifique du matériau Cv (voir chapitre 7). On a alors l’expression suivante de la conductivité thermique :

Dans cette équation,vest la vitesse quadratique moyenne des électrons dans le gaz, etlleur libre parcours moyen. Malheureusement, l’expression contient à nouveau le temps de relaxationτ, qui est très difficile à estimer.

Modèle de Drude 143

10.2.3. Interaction avec un rayonnement électromagnétique

Nous pouvons utiliser le modèle de Drude pour étudier la propagation d’un rayonnement élec-tromagnétique dans le gaz d’électrons de densitén (nombre d’électrons de conduction par unité de volume). Dans ce modèle, le comportement d’un électron est supposé celui d’une particule de massem. Sous l’effet d’un champ électrique −→

E et d’une induction magnétique−→

B, l’équation du mouvement de l’électron peut s’écrire sous la forme (−→x est sa position courante) :

m−→¨x +m

Dans cette équation, l’électron, de charge−e, est soumis à la force électrostatique −e−→ E et à la force de Laplace−e−→x˙ ∧−→

B. En pratique, la force de Laplace peut être négligée. En effet, siv est la vitesse moyenne des électrons dans le gaz, cette force est dans un rapportv/cavec la force électrostatique. Or, la vitesse moyenne des électrons dans le modèle de Drude est au maximum de l’ordre de10⁶mm/s, de sorte que le rapportv/cest d’environ1/300.

En négligeant la force de Laplace, on peut chercher une solution stationnaire aux équations de mouvement de l’électron, c’est-à-dire sous la forme−→x =−→x₀e^−iωt, résultant d’un champ électrique de la forme−→

Finalement, la densité de courant étant donnée sous la forme−→

J =−ne−→v =−ne−→x˙, on peut

On définit ainsi une conductivité complexeσ_ωde la façon suivante :

−

→J =σω

−

→E avecσω= σ

1−iωτ (10.2)

Pour un champ électrique à fréquence nulle, on retrouve la valeur deσobtenue dans le cadre de l’étude de la conductivité électrique pour un courant continu.

La principale application de l’équation 10.2 est l’étude de la propagation d’un rayonnement électromagnétique dans un solide, à l’aide du modèle de Drude. Pour réaliser cette étude, on doit

tout de même mentionner que la conductivité complexeσω a été obtenue en supposant un champ dépendant du temps, mais pas de l’espace. Or, les rayonnements électromagnétiques sont en général fonctions de l’espace et du temps (voir le chapitre 1).

La densité de courant en un point donné du matériau, calculée par la relation 10.2, est entièrement déterminée par l’influence du champ électrique sur chaque électron (équation de mouvement) en ce même point, depuis sa dernière collision. Cette dernière collision a eu lieu en moyenne à une distance égale au libre parcours moyen des électrons. Ainsi, si la longueur d’onde du rayonnement est grande devant ce libre parcours moyen, on peut supposer que le champ est constant dans son action sur chaque électron, et on peut appliquer la relation 10.2. Ceci est en général le cas dans le domaine du visible, avec une longueur d’onde de l’ordre de1000à10000Angström. Dans le cas contraire, il est nécessaire de développer des approches locales, beaucoup plus complexes.

En supposant que la longueur d’onde du rayonnement est grande devant le libre parcours moyen des électrons de conduction dans le métal, on peut utiliser la relation 10.2 pour résoudre les équations de Maxwell écrites ici en unitésSIet en l’absence de densité de charges (−→

Eest le champ électrique, et−→

B est l’induction magnétique) :

loi de Maxwell-Gauss div(−→ E) = 0

La recherche de solutions stationnaires −→ E = −→

B₀ en utilisant la loi de Maxwell-Faraday, puis celle de Maxwell-Gauss. On obtient−→

B₀)peut maintenant être incorporée dans la loi de Maxwell-Ampère pour obtenir, en utilisant la relation 10.2, l’équation suivante portant sur le champ électrique :

−→div(grad(−→

E₀)) =−ω² c²−→

E₀avec= 1− σ ω0(i+ωτ)

Modèle de Drude 145

On reconnaît dans cette équation une équation de propagation classique dans un milieu de constante diélectrique:

−→div(grad(−→ E)) =

c²

∂²−→ E

∂t²

La constante diélectriques’exprime en fonction deσ, la conductivité électrique du matériau, de la pulsationωdu rayonnement, et du temps de relaxationτ. On a utilisé ici la relation0µ0c²= 1, valable en unités SI, oùc est la vitesse de la lumière,µ0 la perméabilité magnétique et0 la permittivité du vide. En unitésSI, ces quantités sont :

c= 3.10⁸m/s

µ₀= 1,25489896.10⁻⁶V s/Am 0= 8,85418782.10⁻¹⁰As/V m

Dans le cas d’un rayonnement avec une pulsation élevée, pour lesquellesωτ 1, la constante diélectrique décrivant le gaz d’électrons s’écrit sous la forme :

= 1−ω_p²

ω² avecωp= ne²

0m (10.4)

La fréquenceνp =ωp/2π, associée à la pulsationωp, est appelée fréquence de plasmon. Si la fréquence de l’onde électromagnétique est inférieure à cette fréquence de plasmon, alors la constante diélectrique donnée par la relation 10.4 est positive. Dans ce cas, la solution de l’équation de propagation donnant le champ électrique est une onde s’amortissant dans le solide. Inversement, pour des fréquences supérieures, l’onde solution se propage dans le gaz d’électrons.

métal λp(nm) λ0(nm)

Li 150 ≈200

Na 200 ≈210

K 280 ≈310

Ag 140 ≈160

Tableau 10.2. longueurs d’onde de plasmon calculéesλpet mesuréesλ0, d’après [ASH 76]

On met ainsi en évidence une longueur d’ondeλp=c/νpau dessus de laquelle les métaux sont opaques, et en dessous de laquelle ils sont transparents. Cette longueur d’onde, dite longueur d’onde de plasmon, est donnée sous la forme :

λp= c e

rπm n

La tableau 10.2 donne une comparaison entre les longueurs d’onde de plasmon mesurées,λ0, et calculées avec le modèle de Drude,λp. L’accord est relativement bon.

Chapitre 11

Modèle de Sommerfeld

Le modèle de Drude a été développé bien avant la physique quantique. Il était donc difficile dans ce modèle de traiter correctement le gaz d’électrons. En particulier, la distribution des vitesses des électrons était supposée suivre une statistique issue de la théorie cinétique des gaz. Or, les électrons ne peuvent pas être traités simplement comme des particules massiques ayant une cinétique donnée.

En effet, nous avons vu au chapitre 3 que les électrons étaient des fermions, c’est-à-dire possédaient un nombre quantique de spin demi-entier, et surtout obéissaient au principe de Pauli.

Le modèle de Sommerfeld repose sur l’approximation des électrons libres, comme le modèle de Drude. Cependant, la nature quantique des électrons est prise en compte, conduisant à une meilleure estimation de certaines quantités en jeu dans ce type de modèle. Ceci est expliqué dans le premier paragraphe de ce chapitre. Ensuite, les propriétés des matériaux sont à nouveau analysées à l’aide de ce modèle.

11.1. Description du modèle

11.1.1. Approximation des électrons libres

Comme dans le modèle de Drude, nous considérons un gaz d’électrons confinés dans une boîte de volumeV. De plus, nous gardons l’approximation des électrons indépendants, de sorte que l’on peut raisonner sur un seul électron, puis remplir la boîte en recommençant l’opération tout en respectant le principe de Pauli.

Nous allons en fait utiliser une boîte en forme de cube de côtéL, soitV =L³. Ce cube constitue un élément de volume représentatif du matériau, et non une boîte dans laquelle sont confinés les

Nous allons en fait utiliser une boîte en forme de cube de côtéL, soitV =L³. Ce cube constitue un élément de volume représentatif du matériau, et non une boîte dans laquelle sont confinés les

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